☉江蘇省靖江市第一高級(jí)中學(xué) 王國(guó)軍

“極限”是數(shù)學(xué)中較為重要的概念，在數(shù)學(xué)的眾多問(wèn)題中都有滲透，對(duì)于該類問(wèn)題的分析可以采用極限思想，從趨近性角度來(lái)洞察問(wèn)題的極端狀態(tài)，探索解題思路，下面將對(duì)極限思想進(jìn)行解題探討.

一、解題分析與應(yīng)用

1.函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)是高中階段最為重要的內(nèi)容，也是其他知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，利用極限思維研究函數(shù)是數(shù)學(xué)中較為常用的一種方式，在分析函數(shù)的變化趨勢(shì)、取值范圍、單調(diào)區(qū)間等方面有著極好的便利性，是解決問(wèn)題的重要思想方法.

例1已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex-a（x-1）2（a＞0），試分析f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析：分析函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，實(shí)際上就是分析函數(shù)的變化趨勢(shì)，需要繪制函數(shù)的圖像，可以借助函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用極限思想判定x→+∞和x→-∞時(shí)的變化趨勢(shì)，然后確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：令（x-2）ex+a（x-1）2=0，則（x-2）ex=-a（x-1）2.令g（x）=（x-2）ex，g′（x）=（x-1）ex.當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，且g（1）=-e＜0.

令h（x）=-a（x-1）2，由于a＞0，則函數(shù)h（x）的圖像開(kāi)口向下，h（1）=0，則其頂點(diǎn)為（1，0）.

分析可知當(dāng)x→-∞時(shí)，g（x）→0，即極限為0，h（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，h（x）→-∞，如圖1所示，由于a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）和h（x）的圖像必有兩個(gè)交點(diǎn)，則原函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

函數(shù)的曲線變化反應(yīng)的是因變量與自變量之間的聯(lián)系，其中隱含著較為重要的函數(shù)性質(zhì)，而函數(shù)的這種獨(dú)有的變化實(shí)際上就是數(shù)學(xué)上的極限，即曲線的趨向性.利用極限思想求解時(shí)需要借助導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)建函數(shù)研究的模型，然后從極限角度分析曲線的趨向，函數(shù)問(wèn)題的形式是多樣的，但從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，挖掘曲線的變化信息是最本質(zhì)的解法.首先在區(qū)間［0，1］上取兩組均勻分布的隨機(jī)數(shù)：x1，x2，x3，…，xN和y1，y2，y3，…，yN，然后將其組成N個(gè)點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，3，…，N），最后從中抽取出滿足yi≤f（xi）（i=1，2，3，…，N）的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)數(shù)為N1，由此就可以估算出積分

2.概率問(wèn)題

概率反映的是試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的一種可能性，是一種試驗(yàn)頻率，一般隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多、統(tǒng)計(jì)量的加大，頻率會(huì)越發(fā)準(zhǔn)確地還原事件的真實(shí)情況，因此是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，其本身就滲透著極限思想，利用極限思想來(lái)研究概率問(wèn)題更貼近概率本源.

例2y=f（x）是區(qū)間［0，1］上的連續(xù)函數(shù)，并且在區(qū)間上始終滿足0≤f（x）≤1，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式來(lái)估算積分則其近似值為多少？

分析：根據(jù)題目信息可知，x∈［0，1］，y∈［0，1］，由極限思想可以將其理解為N個(gè)點(diǎn)（xi，yi）組成了一個(gè)面積為1的區(qū)域，估算積分的值需要從區(qū)域中提取出滿足條件的點(diǎn)，則相當(dāng)于從中提取一塊面積，計(jì)算面積的比率.

解：N個(gè)點(diǎn)（xi，yi）組成了一塊面積為1的區(qū)域，而表示的是該區(qū)域的曲邊梯形圍城的面積，如

極限思想在概率研究中有著極為重要的地位，是其基礎(chǔ)理論建立的重要思想.微積分是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，在高中階段則可以采用極限的思想對(duì)其加以描述，即從區(qū)域面積角度構(gòu)建模型.另外，極限思想可以還原概率的抽象過(guò)程，假設(shè)出概率問(wèn)題的極端情形，從而獲得解決問(wèn)題的有效方法，因此，極限思想是構(gòu)建創(chuàng)造性解題思路的指導(dǎo)思想.

3.立體幾何問(wèn)題

極限思想在立體幾何中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在對(duì)幾何形狀、面積、角度、長(zhǎng)度的特定描述，可以從直觀角度完美呈現(xiàn)問(wèn)題研究的模型.幾何求解中的特值法和假設(shè)法，常通過(guò)設(shè)定幾何圖形的相關(guān)參數(shù)來(lái)構(gòu)建模型，其中就滲透著數(shù)學(xué)的極限思想，是極限思維的一種應(yīng)用.

例3如圖3所示，圓的直徑為AB，C是圓上的一點(diǎn)，PA垂直圓所處的平面，DE垂直平分PB，交AB于點(diǎn)D，交PB于點(diǎn)E，已知PA=AC，PC=CB.如果點(diǎn)Q位于線段PA上，分析是否存在一點(diǎn)Q，使得PB與平面QCD成45°角？

分析：本題目求滿足PB與平面QCD成45°角時(shí)點(diǎn)P的位置，實(shí)際上為幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)PB與平面QCD所成角為θ，二面角Q-CD-E的平面角為α，則兩者之間存在如下關(guān)系：隨著點(diǎn)Q的移動(dòng)，α的大小也會(huì)發(fā)生變化，可以使用極限思想，考慮點(diǎn)Q的極端位置P和A兩點(diǎn)處的情形，從而判斷θ為45°的可能性，則問(wèn)題的關(guān)鍵是首先確定二面角Q-CD-E的平面角，可以利用立體幾何知識(shí)確定.

解：分析可知，CE⊥PB，DE⊥PB，則PB⊥平面CDE，有CD⊥PB.又因PA垂直底面圓，則PA⊥CD.由可知CD⊥平面PAB，則有CD⊥DE，CD⊥DQ，所以二面角Q-CD-E的平面角為∠EDQ.

設(shè)PB與平面QCD所成角為θ，二面角Q-CD-E的平面角∠EDQ為α，則有分析可知當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P移向點(diǎn)A的過(guò)程中，α是逐漸增大的過(guò)程，位于點(diǎn)P、A時(shí)處于極端位置.

在立體幾何中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)顯著改變幾何形狀，進(jìn)而影響幾何的性質(zhì)，使得角度、線段長(zhǎng)度和幾何面積等發(fā)生變化，雖然這種變化的過(guò)程是復(fù)雜的，但一般存在著一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，求解時(shí)就可以首先建立一個(gè)問(wèn)題研究的模型，利用極限思想，設(shè)定幾何的特定情形來(lái)針對(duì)性研究，從而獲得具有說(shuō)服力的結(jié)論.

二、思想解讀與教學(xué)

極限思想是以所研究?jī)?nèi)容為載體，遠(yuǎn)高于知識(shí)內(nèi)容的一種策略性指導(dǎo)思想.因此，極限思想是基于認(rèn)知基礎(chǔ)上形成的，是對(duì)相關(guān)事物本源的深度挖掘，是對(duì)概念的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，利用極限思想可以更加逼真地還原事物的本來(lái)面目.

高中數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容都滲透著極限思想，簡(jiǎn)單到代數(shù)的數(shù)集，圖形中線的延伸，復(fù)雜到函數(shù)的漸近線、連續(xù)、極值等.另外數(shù)學(xué)的很多方法也都涉及極限思想，如常用的數(shù)學(xué)歸納法就是極限指導(dǎo)下的結(jié)論概括，球的體積與面積公式的推導(dǎo)所使用的就是極限思想.學(xué)習(xí)和使用極限思想不僅對(duì)于知識(shí)內(nèi)容的掌握有著重要作用，對(duì)于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維同樣有著重要意義.

教學(xué)中對(duì)于極限思想的滲透需要遵循一定的思維過(guò)程，要結(jié)合特定的情形逐步引導(dǎo)學(xué)生完成從感性認(rèn)識(shí)到理性思考的認(rèn)知過(guò)渡.首先需要建立在學(xué)生認(rèn)知沖突的基礎(chǔ)之上，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)用已學(xué)知識(shí)難以解決問(wèn)題，不能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的概念或符號(hào)，如數(shù)學(xué)中的無(wú)窮大、無(wú)窮小，可適時(shí)地引入“∞”.然后需要從知識(shí)聯(lián)系性角度完成知識(shí)的過(guò)渡，使學(xué)生深度認(rèn)識(shí)到極限思想理解數(shù)學(xué)知識(shí)的重要意義，如立體幾何中的棱錐的側(cè)面積，可以采用初中數(shù)學(xué)展開(kāi)圖的方式，建立幾何求解的相關(guān)公式.極限思想最為關(guān)鍵的階段是對(duì)思想的理性論證，應(yīng)立足于教材內(nèi)容，從規(guī)律總結(jié)、結(jié)論探究角度進(jìn)行，必須遵循科學(xué)的論證原則，如sinx和x的大小比較，可以采用數(shù)學(xué)上的特值法，也可以利用單位圓來(lái)直觀比較.教學(xué)中使用“認(rèn)知沖突——知識(shí)過(guò)渡——理性論證”的模式更能使學(xué)生深刻理解極限的思想方法.

總之，極限的思想方法是中學(xué)階段十分重要的內(nèi)容，利用極限思想不僅可以更為準(zhǔn)確地描述數(shù)學(xué)的概念公式，還可以廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題中，優(yōu)化解題過(guò)程，降低思維難度.極限思想是對(duì)事物本質(zhì)的一種趨近，學(xué)習(xí)和使用極限思想具有重要的意義，高中階段對(duì)于該思想的教學(xué)應(yīng)遵循科學(xué)的模式，以提高思想教學(xué)效率.