張 琪， 張英堂， 李志寧， 李青竹， 鄭建擁

(1. 94019部隊， 新疆 和田 848000； 2. 陸軍工程大學石家莊校區(qū)車輛與電氣工程系， 河北 石家莊 050003)

磁性體(如未爆彈[1]和水下車輛等[2])產生的磁異常信號可由磁傳感器測得。磁標量傳感器具有相對于坐標軸方向不敏感的優(yōu)勢[3]，但僅能測得總場強度信號，獲得的信息量較少。磁矢量傳感器不僅能測得磁性目標在3個正交方向的磁場矢量，由多個磁矢量傳感器構成的張量探頭還能獲得磁梯度張量信息。磁梯度張量不僅具有信息量大、分辨率高的優(yōu)勢，而且能有效屏蔽地磁背景場的干擾。

WYNN[4]首次提出了磁偶極子的單點定位理論；ZHANG等[5]指出磁偶極子的定位算法是歐拉反褶積的一種特例；NARA等[6]通過計算磁梯度張量矩陣的逆與3個正交方向上的磁場矢量的乘積來估算磁偶極子的位置；張朝陽等[7]研究了磁偶極子模型的適用條件；NARA等[8]通過將歐拉方程轉化為積分形式，提出了一種具有更高精度的新型定位方法，得到了具有磁通面積分的解析解。磁性目標的位置雖然可以通過解析法直接反演得到，但在實際應用中，由磁傳感器測得的磁異常信號通常是磁性目標產生的異常場和地磁背景場的疊加，很難將二者進行有效分離。

為消除地磁場的影響，李光等[9]和于振濤等[10]分別設計了正六面體和正三角形的磁梯度張量探測系統(tǒng)，實現(xiàn)了磁偶極子的單點定位，但并未經試驗驗證；GANG等[11]利用5個三軸磁通門磁傳感器構建了十字形探測陣列，并提出了一種基于高階磁梯度張量的磁性目標定位算法，可實時定位靜止磁性目標。上述方法雖然從理論上實現(xiàn)了磁偶極子的定位，但在實際應用中，不僅需要搭建復雜的磁傳感器陣列探測系統(tǒng)，而且需要對單個三軸磁傳感器的自身誤差和三軸磁傳感器軸系之間的對正誤差等進行嚴格校正。鑒于此，筆者首先在歐拉反褶積公式的基礎上，推導了基于磁梯度張量的改進定位算法，給出了附加約束方程，然后設計了一字形磁傳感器陣列探測系統(tǒng)，并通過仿真對比分析了改進算法和直接反演法在受到地磁背景場、地磁場梯度和系統(tǒng)運動的影響時的定位誤差，最后通過相關定位試驗得到了精度更高的定位解。

1 定位理論

1.1 磁梯度張量

二階磁梯度張量表示磁場三分量在3個互相正交方向上的空間變化率，其矩陣形式為

(1)

式中：G為二階磁梯度張量矩陣；Bi(i=x,y,z)為磁場矢量；Bij(i,j=x,y,z)為二階磁梯度張量分量。

1.2 直接反演法

當探測距離大于2.5倍的磁性目標長度時，可將該磁性目標簡化成磁偶極子模型[7]。在該條件下，磁矩矢量為m=(mx,my,mz)的磁偶極子在距離其r=(rx,ry,rz)T處產生的磁場矢量和二階磁梯度張量分量可分別由下式計算得到：

(2)

(3)

根據(jù)歐拉反褶積公式[5]，磁性目標的位置r、磁場矢量B和二階磁梯度張量矩陣之間的線性關系為

Gr=-3B,

(4)

則磁性目標的位置矢量可表示為

r=-3G-1B,

(5)

即

(6)

式(6)即磁偶極子的單點定位算法，亦稱直接反演法。若已知任一觀測點的磁場三分量和二階磁梯度張量分量，即可反演出磁性目標的位置。其中：磁場三分量可由三軸磁傳感器直接測得；二階磁梯度張量分量可通過磁梯度張量探頭計算得到。

1.3 改進的定位算法

由于地磁場梯度較小，一般不超過0.02 nT/m，因此磁梯度張量基本不受地磁場的影響。然而，實測磁場矢量卻不可避免地包含地磁場分量，且二者難以分離。另外，磁異常數(shù)據(jù)的導數(shù)階次越高，其定位精度越高，但高階導數(shù)的計算，尤其是高階垂向導數(shù)的計算受高頻干擾的影響較大。因此，為了有效降低地磁場對定位精度的影響，對式(4)等號兩邊分別求水平方向的偏導數(shù)，即

(7)

三階磁梯度張量矩陣僅包含7個獨立的張量分量，因此式(7)又可表示為

(8)

由于式(8)是欠定方程組，因此還需引入額外的方程。二階磁梯度張量矩陣是對稱陣，對于磁偶極子，其絕對值最小的特征值對應的特征向量b3=(b3x,b3y,b3z)垂直于m和r所在的平面[12]，故滿足

b3xrx+b3yry+b3zrz=0。

(9)

聯(lián)立式(8)、(9)，得到方程組

(10)

式中：Bijk(i,j,k=x,y,z)為三階磁梯度張量分量。

因此，磁偶極子的位置矢量可表示為

(11)

式(11)即改進的定位算法，若已知任一觀測點的二階和三階磁梯度張量分量，即可反演出磁性目標的位置，且該解具有唯一性。

1.4 磁探測系統(tǒng)

由于一字形傳感器陣列的探測效率較高，單次掃描就可以獲得大量的磁異常數(shù)據(jù)，因此將m(m≥3)個三軸磁傳感器依次等間距排布，構成一字形探測陣列，如圖1所示。在某一探測高度，以某一恒定速度v移動傳感器陣列系統(tǒng)，并以相同的采樣周期同步采樣n次，便可得到m×n個采樣點處的磁場三分量數(shù)據(jù)。

相比三角形、正方形、直角四面體和正四面體結構，十字形結構張量探頭的測量誤差最小[13]。為了獲得磁性目標的磁梯度張量數(shù)據(jù)，首先，以單個磁傳感器為研究對象，提取其在各采樣點處的磁場三分量數(shù)據(jù)；然后，以磁傳感器陣列為研究對象，提取其在各軸線上的采樣結果；最后，以連續(xù)3條軸線上的采樣結果為分析對象，選擇5個最鄰近且能夠構成十字形的采樣點，以獲得磁梯度張量數(shù)據(jù)。為便于描述，本文將這樣的5個采樣點稱之為類十字形張量探頭，如圖2所示。

結合測得的磁場三分量數(shù)據(jù)，利用有限差分法即可得到類十字形張量探頭中央的二階磁梯度張量。由于磁感應強度在無源空間中的散度和旋度均為0，因此二階磁梯度張量矩陣僅包含5個獨立分量，具體公式為

(12)

式中：Bij(i=1,2,3,4;j=x,y,z)為各采樣點處的磁場分量；dx和dy分別為相鄰采樣點在X和Y方向上的距離。

進一步地，利用有限差分法可近似得到張量探頭中央的三階磁梯度張量分量，其公式為

(13)

1.5 誤差分析

為了研究所述方法的定位效果，引入目標位置的絕對誤差(Absolute Error，AE)和均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)作為定位結果的評價指標，其公式為

(14)

2 仿真分析

定義一個磁偶極子，并將其放置于坐標原點，磁化傾角和磁化偏角分別為30°和45°，總磁矩為1 000 A·m2。其中：x軸的正方向朝北，y軸的正方向朝東，z軸的正方向垂直向下。假設測區(qū)的平均地磁場強度為53 000 nT，地磁傾角和地磁偏角分別為56°和-16°。利用6個三軸磁傳感器組成一字形陣列探測系統(tǒng)，并放置在Z=-10 m和X=-20 m兩平面的交線上，其中，1號磁傳感器位于點(-20 m，-20 m，-10 m)處。相鄰磁傳感器之間的間距為0.2 m，采樣間隔為0.1 m，磁傳感器的測量精度為0.1 nT。測區(qū)大小為20 m×20 m，且磁探測系統(tǒng)能夠實現(xiàn)對整個測區(qū)的數(shù)據(jù)采集。

需要說明的是，仿真中的磁傾角、磁偏角和磁矩等參數(shù)均為任意選取，也可以選擇其他值以驗證所述方法的有效性。

2.1 地磁背景場對定位誤差的影響

若考慮地磁背景場的影響，即當磁傳感器的測量值包含地磁場分量時，直接反演法、改進算法的定位誤差分別如圖3、4所示。可知：直接反演法在3個方向上的定位誤差較大；相比之下，改進算法在3個方向上的定位誤差明顯小得多。通過進一步計算可知：直接反演法和改進算法估算結果的RMSE分別為1382 579.82m和24.83m。由此可知：直接反演法受地磁背景場的影響較大，定位精度較低；而改進算法基本不受地磁背景場的影響，定位精度較高。

2.2 地磁場梯度對定位誤差的影響

為了消除地磁背景場的影響，將地磁基站的觀測值與磁傳感器的測量值的差值作為磁偶極子的磁異常矢量值。假設基站與磁探測系統(tǒng)之間的距離為800 m，平均地磁場梯度為0.02 nT/m，直接反演法、改進算法的定位誤差分別如圖5、6所示。可知：直接反演法在3個方向上的定位誤差變小，但整體誤差水平仍然較高；而改進算法無明顯變化，其在3個方向上的定位誤差遠小于直接反演法。通過進一步計算可知：直接反演法和改進算法估算結果的RMSE分別為104.33 m和24.83 m。由此可知：消除地磁背景場后，直接反演法的定位精度略有提高，但是受地磁場梯度的影響，其定位誤差仍然較大，整體誤差水平較高；而改進算法基本不受地磁場梯度的影響，整體誤差水平較低。

2.3 系統(tǒng)運動對定位誤差的影響

同時忽略地磁背景場和地磁場梯度的影響，僅改變磁探測系統(tǒng)的姿態(tài)。假設系統(tǒng)俯仰角和橫傾角分別為0.1°和0.05°，直接反演發(fā)、改進算法的定位誤差分別如圖7、8所示?？芍褐苯臃囱莘ㄔ?個方向上的定位誤差較大，而改進算法在3個方向上的定位誤差明顯小于直接反演法。通過進一步計算可知：直接反演法和改進算法估算結果的RMSE分別為1 254.54 m和20.44 m。由此可知：直接反演法受系統(tǒng)運動的影響較大，定位精度較低；而改進算法基本不受系統(tǒng)運動的影響，定位精度較高。

3 試驗驗證

為了驗證所述方法的實際應用效果，建立由傳感器模塊、數(shù)據(jù)采集模塊和PC操作模塊等組成的磁探測系統(tǒng)，如圖9所示。將5個三軸磁通門傳感器依次等間隔地安裝在鋁制支架上，構成一字形陣列結構。相鄰磁傳感器之間的間隔為0.25 m，陣列結構的單次步進距離為0.1 m。

為了消除地磁背景場的影響，首先利用磁探測系統(tǒng)測得測區(qū)的平均地磁場強度，然后在測區(qū)內放置一個小磁鐵，并將其視作磁偶極子模型，最后通過等間距地移動一字形磁傳感器陣列實現(xiàn)磁異常數(shù)據(jù)的采集。改變小磁鐵的位置，進行4組定位試驗，2種方法的定位結果如表1所示。由表1可知：在實際探測過程中，改進算法的RMSE始終小于直接反演法，說明改進算法的實際定位精度較高。由于受到磁傳感器的零點漂移誤差、靈敏度不一致誤差、三軸非正交誤差、傳感器周圍的軟磁和硬磁干擾誤差等影響，實際定位結果相比磁性目標的真實位置仍存在一定的誤差，但改進算法已基本滿足工程實踐需要，實用性更強。

表1 2種方法的定位結果 m

4 結論

仿真及試驗結果表明：相比直接反演法，本文所提改進算法受地磁背景場、地磁場梯度和系統(tǒng)運動的影響更小，定位精度更高，實用性更強。但改進算法仍存在一些不足，利用有限差分法估算得到的高階磁梯度張量不僅與傳感器的測量精度、基線長度有關，而且容易受到噪聲干擾的影響，因此，在下一步的工作中需要研究系統(tǒng)誤差對定位結果的影響，并可通過對磁探測系統(tǒng)進行校正和補償來提高定位精度。