苗 露，李鴻艷，馮新喜

空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077

1 引言

多目標(biāo)跟蹤是利用傳感器量測對目標(biāo)數(shù)目和狀態(tài)進(jìn)行估計的過程，主要受到雜波、漏檢和虛警的影響[1]。傳統(tǒng)目標(biāo)跟蹤所利用的是點(diǎn)目標(biāo)模型，假設(shè)在每一觀測時刻每個目標(biāo)至多產(chǎn)生一個量測。隨著傳感器分辨率的提高，這種假設(shè)不再適用，探測單個目標(biāo)時會得到多個量測值，即可以得到更多的目標(biāo)運(yùn)動和形態(tài)信息[2]，這種目標(biāo)跟蹤稱之為擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤。

Mahler根據(jù)隨機(jī)有限集（RFS）理論[3]，推導(dǎo)出概率假設(shè)密度（Probability Hypothesis Density，PHD）濾波器的遞推方程，避免了傳統(tǒng)目標(biāo)跟蹤所利用的復(fù)雜數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)過程，但存在集值積分無法求解的難題。隨后，Mahler利用RFS的一階統(tǒng)計矩對多目標(biāo)的后驗概率密度進(jìn)行近似替代，提出了一階統(tǒng)計矩近似的PHD濾波器，并于2009年將PHD濾波器用于擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤，即ET-PHD（Extended Target PHD）濾波器。假定目標(biāo)運(yùn)動模型滿足線性高斯條件下，文獻(xiàn)[4]給出了高斯混合PHD（Gaussian Mixture PHD，GM-PHD）濾波器的實(shí)現(xiàn)，文獻(xiàn)[5]給出了擴(kuò)展目標(biāo)高斯混合PHD（ET-GM-PHD）濾波器的實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[6]利用核密度估計方法對經(jīng)過剪枝、合并后的PHD密度分布函數(shù)進(jìn)行狀態(tài)估計，將峰值點(diǎn)作為狀態(tài)估計值，使目標(biāo)估計結(jié)果更加精確。針對目標(biāo)漏檢時致使有用信息丟失和目標(biāo)相近造成濾波性能下降，文獻(xiàn)[7]對PHD濾波器的預(yù)測、更新方程加以修正，有效改善了目標(biāo)跟蹤性能。

根據(jù)Mahler的推導(dǎo)[8]，無論是ET-PHD濾波器、GMET-PHD濾波器還是GM-ET-CPHD濾波器，提高濾波器性能就需要對量測集進(jìn)行快速準(zhǔn)確的劃分，這在理論上是需要考慮所有可能的劃分。而實(shí)際中隨著目標(biāo)數(shù)和雜波量測增多，量測劃分?jǐn)?shù)將急劇增加，將引起計算災(zāi)難，這對擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)而言，實(shí)時性的要求難以滿足[9]。關(guān)于量測集劃分問題已經(jīng)提出了多種解決辦法，Granstrom等[5]提出了距離劃分、距離輔助劃分，Li等[10]提出了K-means聚類劃分，以上方法均是利用距離進(jìn)行劃分，在量測密度差別較大時效果不佳。Zhang等[11]提出了基于快速模糊自適應(yīng)共振理論（Adaptive Resonance Theory，ART）的劃分方法，能進(jìn)行穩(wěn)定快速的量測集劃分，但在多雜波環(huán)境下對多個擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，算法易出現(xiàn)“飽和”問題而產(chǎn)生額外錯誤劃分。文獻(xiàn)[12]提出CODHD算法，該算法基于凝聚性層次劃分，對簇合并計算過程和聚類有效性指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)聚類結(jié)果。本文基于該方法進(jìn)行量測集劃分，先通過自適應(yīng)橢球門限進(jìn)行量測預(yù)處理使無效雜波有效去除，再利用CODHD得到最優(yōu)聚類結(jié)果，利用FCM運(yùn)算得到量測劃分子集。

2 ET-GM-PHD濾波器

Mahler在ET-PHD濾波框架下將擴(kuò)展目標(biāo)用空間分布模型來描述，假設(shè)擴(kuò)展目標(biāo)滿足線性高斯運(yùn)動模型，傳感器觀測滿足線性模型，目標(biāo)存活概率和檢測概率相互獨(dú)立，多擴(kuò)展目標(biāo)的預(yù)測強(qiáng)度函數(shù)就可以通過高斯混合的形式來表示[13]。

假設(shè)在k時刻，擴(kuò)展目標(biāo)的狀態(tài)集表示為Xk=，量測集表示為和分別表示k時刻的第i個擴(kuò)展目標(biāo)的狀態(tài)和量測，Nx,k和Nz,k分別表示k時刻的擴(kuò)展目標(biāo)數(shù)和量測數(shù)。根據(jù)RFS理論，目標(biāo)的狀態(tài)方程為：

其中，i=1,2,…,Nx,k，F(xiàn)k表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，表示協(xié)方差為的零均值高斯白噪聲。

目標(biāo)的量測方程為：

其中，Hk表示觀測矩陣，表示協(xié)方差為的零均值高斯白噪聲。

在k時刻，預(yù)測PHD的GM可表示為：

量測更新PHD強(qiáng)度可通過預(yù)測PHD強(qiáng)度和偽似然函數(shù)相乘得到，即：

其中，量測偽似然函數(shù)為：

式中，λk=βFA,kVs為雜波量測個數(shù)的期望，ck(zk)=1/VS為觀測空間中雜波的空間分布，p∠Zk為對Zk的P劃分，W為某一劃分中的各非空集合，ωP和dw分別為P和W的權(quán)重。

在每一觀測時刻，每個擴(kuò)展目標(biāo)會產(chǎn)生多個量測，而傳感器得到的量測由真實(shí)目標(biāo)量測以及雜波量測構(gòu)成。假設(shè)在k時刻，傳感器獲得量測表示為Zk=則對其進(jìn)行劃分的所有可能結(jié)果為：

3 量測集劃分

3.1 自適應(yīng)橢球門限處理

雜波量測離散、均勻分布在觀測空間，若雜波和真實(shí)目標(biāo)量測一同進(jìn)行劃分，將產(chǎn)生額外錯誤劃分，最終影響濾波效果。在量測集劃分前，可采用橢球門限[14]方法進(jìn)行量測預(yù)處理，在不影響濾波精度的前提下，有效濾除無效雜波來改善跟蹤性能。

假設(shè)在k時刻，對預(yù)測步進(jìn)行計算后，第i個觀測和第j個高斯分量的殘差向量表示為：

ε(ji)的協(xié)方差矩陣表示為：

通過橢球門限判別對量測進(jìn)行預(yù)處理，滿足：

3.2 基于CODHD算法的量測集劃分

利用聚類實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展目標(biāo)量測集劃分是有效途徑，CODHD算法基于凝聚型層次聚類，在簇合并過程中對生成的不同劃分進(jìn)行聚類質(zhì)量評估得到最優(yōu)聚類結(jié)果。該算法對簇合并過程和聚類評估指標(biāo)加以優(yōu)化，使計算復(fù)雜度降低并提高聚類有效性。

對去除雜波后的量測集劃分過程如下：對量測進(jìn)行區(qū)間掃描生成合理劃分；層次式生成不同量測劃分，計算各劃分中的量測局部密度并將密度最大點(diǎn)作為聚類中心點(diǎn)，得到該中心點(diǎn)和更高密度量測之間的最小距離；將每次得到的聚類質(zhì)量構(gòu)造為質(zhì)量曲線并提取極大值點(diǎn)；通過剪枝[15]原理得到最優(yōu)聚類結(jié)果并進(jìn)行FCM運(yùn)算，得到量測劃分子集。

聚類質(zhì)量評估指標(biāo)Q定義為：

量測局部密度Ni計算過程如下：

（1）將量測標(biāo)準(zhǔn)差作為鄰域半徑：

（2）在鄰域半徑所構(gòu)成區(qū)域內(nèi)計算局部密度：

δi表示最小距離，；對于密度最高點(diǎn)有：。Q表示聚類中心量測密度與最小距離乘積之和的均值，若i為聚類中心，則Ni和（或）δi取較大值的可能性就越大，衡量指標(biāo)Niδi也就有較大值。

凝聚型層次聚類算法在起始階段將每個數(shù)據(jù)看做單獨(dú)子簇，根據(jù)簇合并準(zhǔn)則將子簇不斷進(jìn)行合并，最后使所有數(shù)據(jù)成為一個集合。假設(shè)k時刻量測集為Z={z1,z2,…,zn} ∈Rd×n，其中 d 為量測維度，n為量測個數(shù)。簇合并過程如下：

（1）初始化 S=S0。

（2）將量測進(jìn)行屬性值大小排序，生成序列Ai，在有限區(qū)間內(nèi)掃描，尋找量測x的第i維相似量測y。

（3）每過程 S 增大 Δ(Δ={Δ1,Δ2,…,Δd})，并在上一掃描區(qū)間基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)張，繼續(xù)掃描尋找相似量測進(jìn)行合并：

（4）S增大到所有量測劃分到一個集合。

圖1表示在不同劃分?jǐn)?shù)下得到的聚類質(zhì)量并構(gòu)造為質(zhì)量曲線。

圖1 不同劃分?jǐn)?shù)目下的聚類質(zhì)量

FCM通過隸屬度決定量測劃分，是傳統(tǒng)硬劃分K-means的改進(jìn)，對劃分歸屬模糊問題能進(jìn)行較好處理。將剪枝得到的聚類結(jié)果進(jìn)行FCM操作，可有效改善劃分效果，其實(shí)現(xiàn)過程如下：

（1）提取質(zhì)量曲線極值點(diǎn)，進(jìn)行剪枝操作得到聚類數(shù)l和聚類中心集V0=(v1,v2,…,vl)，進(jìn)行相關(guān)參數(shù)設(shè)置：權(quán)重指數(shù) m(m=2)，終止閾值 ε(ε=0.01)，迭代記步器t=0。

（2）計算、更新劃分矩陣Ut：

（3）更新聚類中心Vt+1：

量測集劃分的典型方法和改進(jìn)方法有距離閾值法、K-means聚類方法、ART方法等。距離閾值法為保證劃分中能包含正確的劃分子集，需要選取較大的閾值范圍，這造成較多錯誤劃分并使目標(biāo)狀態(tài)估計誤差增大。K-means算法由于K值難以選取且隨機(jī)選擇初始聚類中心，致使聚類結(jié)果不穩(wěn)定，在量測密度差異較大時難以進(jìn)行有效劃分。ART算法對輸入警戒參數(shù)β比較敏感，在多擴(kuò)展目標(biāo)的多雜波環(huán)境下，易造成算法“飽和”問題使權(quán)向量無法自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重以適應(yīng)訓(xùn)練模式，產(chǎn)生額外錯誤劃分，使跟蹤效果下降。

基于CODHD聚類劃分算法的量測集劃分在層次簇合并過程中對生成的不同劃分進(jìn)行聚類評估，得到最優(yōu)聚類結(jié)果后進(jìn)行FCM運(yùn)算得到量測劃分子集。由于簇合并過程中簇生成個數(shù)只與量測分布結(jié)構(gòu)有關(guān)，使其可識別量測密度差異；采用標(biāo)準(zhǔn)差作為鄰域半徑計算量測局部密度，能夠反映量測集的量測真實(shí)分布情況[16]；避免對量測數(shù)據(jù)直接進(jìn)行反復(fù)聚類，自適應(yīng)生成最佳聚類數(shù)和聚類中心后執(zhí)行FCM運(yùn)算，有效加快收斂速度。考慮真實(shí)擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤場景，在雜波環(huán)境下目標(biāo)個數(shù)未知并隨時間而不斷發(fā)生變化，并存在目標(biāo)緊鄰、分裂、量測生成數(shù)未知等情形，這都影響到多目標(biāo)跟蹤性能。所提方法根據(jù)量測分布情況自適應(yīng)得到最優(yōu)聚類結(jié)果，因此適合于在雜波和目標(biāo)量測未知情形下進(jìn)行快速準(zhǔn)確地擴(kuò)展目標(biāo)量測集劃分，確保目標(biāo)跟蹤的實(shí)時性。

3.3 擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法流程

基于CODHD算法對量測集劃分的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法流程歸結(jié)如下：

（1）已知k-1時刻的目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)Dk-1(x )，預(yù)測得到k時刻的目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)

（2）將新生目標(biāo)和存活目標(biāo)的高斯分量作為k時刻的狀態(tài)預(yù)測，進(jìn)行殘差和橢球門限值的計算，對量測集Zk進(jìn)行門限處理后只保留門限內(nèi)的有效量測

（3）參數(shù)初始化：k=n,Un={z1,z2,…,zn},S=S0，Qn=Q(Un)，將量測根據(jù)第i維屬性排序生成Ai。

（4）從k=n運(yùn)行至k=1：

②通過簇合并生成新劃分，計算Nx和δx，求得有效性指標(biāo)Qk；

③生成聚類質(zhì)量曲線。

（5）提取曲線極值點(diǎn)得到量測劃分，并利用剪枝原理獲得最優(yōu)聚類數(shù)和聚類中心。

（6）進(jìn)行FCM運(yùn)算獲得若干量測劃分子集，并將其對目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)進(jìn)行更新。

4 仿真結(jié)果及分析

為證明本文方法的有效性和可行性，假定在二維平面，傳感器對四個擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，觀測區(qū)域為[-500,500]m×[-500,500]m，采樣周期T=1 s，觀測時長為40 s。目標(biāo)運(yùn)動和觀測方程均滿足線性高斯模型，各擴(kuò)展目標(biāo)的初始狀態(tài)以及出生、消失時間見表1。

表1 目標(biāo)初始狀態(tài)和運(yùn)動軌跡

在不考慮目標(biāo)衍生的條件下，PHD濾波器的新生過程表示為強(qiáng)度是γk的泊松有限集。即：

擴(kuò)展目標(biāo)的存活概率Ps,k=0.99，檢測概率PD,k=0.95。每一觀測時刻，擴(kuò)展目標(biāo)的量測生成分別服從均值為10、15、20、30的泊松分布，雜波生成量測服從均值為30的泊松分布，并在觀測空間內(nèi)服從均勻分布。高斯項修剪門限Tp=10-4，最大高斯個數(shù)Jmax=200，融合門限U=4，橢球門限參數(shù)Pg=0.95。

進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真，將本文方法和距離劃分法、ART劃分法用于ET-GM-PHD濾波器進(jìn)行比較。采用最優(yōu)子模式分配（OSPA）距離[17]（參數(shù)設(shè)置p=2,c=80）對各算法性能做出評估：

圖2給出了擴(kuò)展目標(biāo)在雜波環(huán)境下的運(yùn)動軌跡，圖3和圖4是不同算法得到的目標(biāo)數(shù)估計和OSPA距離對比圖。

圖2 雜波環(huán)境下的目標(biāo)運(yùn)動軌跡

由圖3和圖4可知本文方法有更加準(zhǔn)確的目標(biāo)數(shù)估計結(jié)果以及更小的OSPA距離。這是由于通過橢球門限進(jìn)行量測預(yù)處理使雜波干擾降低，利用量測分布得到最優(yōu)聚類結(jié)果繼續(xù)進(jìn)行FCM運(yùn)算從而保證聚類劃分準(zhǔn)確度，而距離劃分和ART劃分在多雜波環(huán)境下進(jìn)行多擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤均產(chǎn)生了較多錯誤劃分，致使跟蹤效果下降。

圖3 目標(biāo)數(shù)目估計比較

圖4 OSPA距離比較

由圖5可知，本文劃分方法具有較高的運(yùn)行效率，這是因為在預(yù)處理階段將雜波進(jìn)行了有效濾除使后續(xù)劃分算法的計算復(fù)雜度降低，利用CODHD輸出最優(yōu)聚類結(jié)果避免了對量測數(shù)據(jù)直接進(jìn)行反復(fù)聚類并使FCM收斂速度加快。

圖5 劃分時間比較

5 結(jié)束語

針對雜波環(huán)境下，概率假設(shè)密度濾波器對擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤存在量測集劃分難且效率低的問題，提出基于CODHD聚類算法進(jìn)行劃分的方法。先利用橢球門限將量測集中的無效雜波量測進(jìn)行去除，再通過CODHD聚類劃分得到最優(yōu)聚類結(jié)果，進(jìn)行FCM運(yùn)算得到量測劃分子集。結(jié)果表明所提方法可以對量測集進(jìn)行快速準(zhǔn)確的劃分，保證在雜波環(huán)境下對多擴(kuò)展目標(biāo)的實(shí)時跟蹤。