李文姿

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西 太原 030031)

引言

濾波是控制理論界的研究熱點(diǎn)之一。在系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性無法獲知時(shí),將噪聲當(dāng)作能量有限的隨機(jī)信號,使系統(tǒng)從擾動(dòng)到估計(jì)誤差的閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于某個(gè)給定的值,從而設(shè)計(jì)所需的H∞濾波器。H∞濾波有效克服了維納濾波的缺點(diǎn),受到了諸多學(xué)者的關(guān)注[1-3]。另外,在實(shí)際應(yīng)用中,有時(shí)僅需關(guān)注系統(tǒng)狀態(tài)在一個(gè)有限時(shí)間段內(nèi)的行為,因此有限時(shí)間濾波問題的研究成為了控制理論研究的一個(gè)重要組成部分,也取得了很多成果[4-7]。

另一方面,不確定性是影響系統(tǒng)性能的一個(gè)關(guān)鍵因素。實(shí)際應(yīng)用中,難以避免的不確定因素常與指定的性能指標(biāo)是矛盾的,也會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。因此,許多學(xué)者在研究中,將系統(tǒng)的不確定性考慮進(jìn)去,使其在一定變化范圍內(nèi)能滿足系統(tǒng)所需要的各項(xiàng)指標(biāo)。目前,雖然該理論的發(fā)展已有豐碩的成果[8-9],但并不是所有的問題都已解決,隨著社會的發(fā)展,各類新系統(tǒng)的出現(xiàn),這些系統(tǒng)中含不確定性的控制理論研究給許多學(xué)者提出了新的挑戰(zhàn)。據(jù)此,本文研究了在有限的連續(xù)時(shí)間段內(nèi)脈沖奇異系統(tǒng)含不確定性時(shí)的濾波問題。

1 預(yù)備知識

研究如下的連續(xù)時(shí)間脈沖奇異系統(tǒng):

(1)

其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài),y(t)∈Rl為可控輸出,z(t)∈Rp是待測信號,ν(t)∈L2([0,∞),Rr)與ω(t)∈L2([0,∞),Rq)分別為測量噪音和過程噪音,時(shí)間列τj為脈沖點(diǎn)，A(t)=A+ΔA(t),ΔA(t)是不確定性時(shí)變矩陣,滿足

ΔA(t)=GF(t)H

(2)

A,B,M,C,D,G,H是有恰當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)已知矩陣,F(t)是時(shí)變不確定性矩陣,滿足FT(t)F(t)≤I,I為恰當(dāng)維數(shù)的單位陣。

為方便研究系統(tǒng)(1),假設(shè)滿足下列條件:

1)(E,A(t))正則且系統(tǒng)(1)脈沖自由。

3)對任意給定的d∈R+,ω(t)和ν(t)滿足

(3)

4)系統(tǒng)的狀態(tài)在脈沖點(diǎn)τj都左連續(xù)。

設(shè)計(jì)一個(gè)如下形式的n維線性濾波器:

(4)

(5)

其中

(6)

研究問題描述如下:

對系統(tǒng)(1) 和給定的噪音抑制水平γ>0,在有限的時(shí)間段內(nèi)考慮設(shè)計(jì)濾波器(4),使得濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(5) 是穩(wěn)定的,且在零初始條件下,對任意非零的η(t)∈L2([0,T],Rq+r),濾波誤差滿足

(7)

引理1[10]給定合適階數(shù)的矩陣Y,D和E,其中YT=Y,則Y+DFE+ETFTDT<0對所有滿足FTF≤I的F成立,當(dāng)且僅當(dāng)?ε∈R+使得Y+εDDT+ε-1ETE<0。

2 主要結(jié)論

定理1 假定(a1)-(a4)成立,如果能找到對稱陣P和正常數(shù)h滿足

(8b)

(8c)

h(λc1+γd)≤c2,

(8d)

其中λ=λmax(R-1P),那么在有限時(shí)間段內(nèi)濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的且滿足式(7)。

?t∈(τj,τj+1),j∈Z+,由(8a)可得

≤γηT(t)η(t),

再由(8b)知,

所以?t∈(τj,τj+1,j∈Z+有

≤h(λc1+γd)≤c2。

由定義1知在有限時(shí)間段內(nèi)濾波誤差系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的。

結(jié)合條件(8b),則

因此

≤V(0)-V(T),

下面研究濾波器的可解問題。

定理2 假設(shè)(a1)-(a4)成立,考慮系統(tǒng)(1)和濾波器(4), 給定正常數(shù)γ,若存在對稱陣P=diag{P11,P22},矩陣N1,N2,N3和正常數(shù)λ,ε,h,滿足(8c)和下列條件

(9a)

(9b)

P<λR,

(9c)

(9d)

則濾波問題可解。進(jìn)一步得到所求濾波器的未

證明 應(yīng)用Schur補(bǔ),(8a)等價(jià)于

(10)

(11)

根據(jù)引理1(11)式可等價(jià)于?ε∈R+使得

再應(yīng)用Schur補(bǔ)該不等式等價(jià)于

(12)

其中Δ1=ATP11E+ETP11A+εHTH。

同理,把(6)代入(8b),并對其應(yīng)用Schur補(bǔ),則(8b)等價(jià)于

(13)

3 結(jié)束語

文章討論了含不確定性的一類連續(xù)脈沖奇異系統(tǒng)的有限時(shí)間濾波問題。先給出了該濾波器存在所應(yīng)滿足的充分條件,再將該條件轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式的形式,從而解決了該濾波器的求解問題, 推廣了有限時(shí)間濾波理論。