劉辰辰，尹燕燕,2，劉 飛

(1.江南大學(xué) 自動化研究所，江蘇 無錫 214122； 2.科廷大學(xué) 工程學(xué)院， 澳大利亞 西澳大利亞州 珀斯市 WA6845)(*通信作者電子郵箱yanyan.yin@curtin.edu.au)

0 引言

近些年，多智能體的協(xié)同控制已經(jīng)取得了突破性的進展， 并在工程中得到了廣泛應(yīng)用，例如，無人潛航器、 智能電網(wǎng)、傳感器網(wǎng)絡(luò)和編隊控制[1-4]。多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制的一個基本問題是一致性控制，即利用智能體之間的信息交換設(shè)計一個分布式控制器，使得每個智能體最終達到一個共同的輸出或者狀態(tài)。

本文研究的是由一階和二階智能體組成的異構(gòu)多智能體系統(tǒng)，并已經(jīng)有眾多學(xué)者進行了相關(guān)的研究[5-8]：文獻[5]研究了由一階和二階智能體組成的混合階多智能體系統(tǒng)中二階智能體速度(二階狀態(tài))不可測的一致性問題，針對速度不可測的情況，在分布式控制器中構(gòu)建了一個輔助方程，實現(xiàn)了混合階多智能體系統(tǒng)的一致性；文獻[6]的研究將一階和二階組成的混合階智能體系統(tǒng)分成了兩個集群，通過構(gòu)建的分布式控制器使兩個集群的位置(一階狀態(tài))分別實現(xiàn)了不同的一致性目標， 而速度(二階狀態(tài))最終收斂到零；文獻[7]給出了固定拓撲和切換拓撲下的異構(gòu)多智能體一致性的充分條件；文獻[8]則研究了當(dāng)異構(gòu)多智能體系統(tǒng)具有隨機通信時延時的一致性控制問題。

系統(tǒng)執(zhí)行器故障在實際應(yīng)用中是普遍存在的現(xiàn)象:文獻[9]研究的非線性特性是指執(zhí)行器的死區(qū)特性，采用在線估計的方法得到逆模型，并以此來抵消執(zhí)行器的非線性特征；文獻[10]研究了多智能體系統(tǒng)的執(zhí)行器輸入具有非線性特性和執(zhí)行器存在故障的情況，應(yīng)用模糊邏輯系統(tǒng)逼近系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)，同時設(shè)計了執(zhí)行器的故障估計器。執(zhí)行器的輸入飽和是本文研究的另一個問題，也是實際應(yīng)用中普遍存在的現(xiàn)象[11-13]。在執(zhí)行器輸入飽和情況下，一致性問題近來引起了許多研究者的關(guān)注，并且已經(jīng)取得了一些理論結(jié)果：文獻[14]研究了線性多智能體系統(tǒng)的輸入飽和問題，將低增益理論[11-13]應(yīng)用于線性多智能體系統(tǒng)，通過求解Riccati方程得到低增益參數(shù)構(gòu)建了一組線性狀態(tài)反饋分布式控制律，實現(xiàn)了半全局的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨一致性;文獻[15]考慮了線性多智能體系統(tǒng)執(zhí)行器的速率和位置的飽和問題，求解Riccati方程得到低增益參數(shù)構(gòu)建了分布式控器， 使得執(zhí)行器存在位置和速率飽和的線性多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)了半全局一致性;文獻[16]研究了多智能體系統(tǒng)的執(zhí)行器具有飽和及死區(qū)特性的情況，同時，還考慮了系統(tǒng)輸入的未知擾動，利用低和高的反饋增益構(gòu)建了一個新的分布式控器，實現(xiàn)了具有執(zhí)行器缺陷的線性多智能體系統(tǒng)半全局-領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性。

在實際應(yīng)用中，不僅存在智能體輸入飽和的情況， 還存在智能體的速度(二階狀態(tài))也飽和的情況，在以上文獻的基礎(chǔ)上，本文研究考慮了同時具有執(zhí)行器輸入飽和與速度飽和的混合階多智能體系統(tǒng)半全局一致性問題。一方面，以往文獻在處理執(zhí)行器的輸入飽和問題時，往往通過一個趨于零的增益將系統(tǒng)的輸入量控制在飽和的邊界以下，從而避免飽和的出現(xiàn)，但這樣的增益范圍較小，而且在實際應(yīng)用中趨于零的增益很難實現(xiàn)；另一方面，現(xiàn)有文獻中有關(guān)二階系統(tǒng)速度飽和問題的研究較少。鑒于此，本文同時考慮了混合階多智能體系統(tǒng)的輸入飽和與速度飽和問題，分別構(gòu)建了無領(lǐng)航者和有領(lǐng)航者的分布式控制器。在控制器輸入量無需避免飽和函數(shù)上下界的前提下，只針對二階多智能體系統(tǒng)的通信環(huán)節(jié)增加了增益參數(shù)，并用Lyapunov穩(wěn)定性理論求出了增益的取值范圍。相比以往的處理方法，本文研究簡化了計算，增大了增益的取值范圍，從而能縮短多智能體系統(tǒng)一致性的收斂時間；同時，本文還考慮了智能體通信權(quán)重小于1時的一致性問題，只要多智能體系統(tǒng)的通信拓撲圖是無向且連通的，根據(jù)文中得到的控制器能夠保證混合階多智能體系統(tǒng)最終達到一致。

1 問題描述

具有輸入飽和與速度飽和的混合階多智能體系統(tǒng)可以定義如下：

(1)

其中:ζi∈R，ηi∈R分別是第i個智能體的位置和速度；μi∈R是第i個智能體的輸入；?u、?v則分別為第i個智能體的輸入與速度飽和函數(shù)。對這個混合階多智能體系統(tǒng)，作出以下假設(shè):

假設(shè)1 所有智能體的初始位置ζi和初始速度ηi是有界的，即給定一個包含零點的有界集合χ∈R和γ∈R,使得ζi(0)∈χ(i∈In)和ηi(0)∈γ(i∈Im)。

假設(shè)2 混合階多智能體系統(tǒng)的通信拓撲圖是無向且連通的。

定義1[17]飽和函數(shù)?(s)可以用式(2)表示:

?(s)=sgn(s)inf(|s|,Δ)

(2)

其中，Δ>0是?(s)的最大值。由文獻[15]可以得到以下不等式成立：?v(s2)·?u(s1-ks2)≤?v(s2)·?u(s1),且?(ks)s≥0,其中k是一個正定常數(shù)。

定義2 本文研究的半全局一致性問題描述如下：考慮一組具有輸入飽和與速度飽和的混合階多智能體系統(tǒng)， 它包括m個二階智能體和n-m個一階智能體，在假設(shè)1和假設(shè)2成立的前提下，通過分布式控制器(μi,i∈In)的控制，所有智能體的位置和速度最終達到一致。 即,當(dāng)智能體的初始位置(ζi(0)∈χ,i=1,2,…,n)和初始速度(ηi(0)∈γ,i=1,2,…,m)有界，在t→∞，多智能體系統(tǒng)無領(lǐng)航者時，所有智能體的位置誤差和速度最終收斂到零;

多智能體系統(tǒng)有領(lǐng)航者時，所有智能體的位置與領(lǐng)航者的位置誤差和速度最終收斂到零。

1)V(x)→∞(‖x‖→∞);

2 分布式一致性控制

2.1 無領(lǐng)航者一致性控制

本節(jié)考慮了無領(lǐng)航者的混合階多智能體系統(tǒng)，基于智能體之間的信息交換以及智能體自身的狀態(tài)，構(gòu)建了分布式控制器(3)。

(3)

其中:A=[aij]∈RN×N是通信拓撲圖的連接矩陣，如果智能體vi和vj之間存在信息交換，那么aij>0,否則aij=0。不失一般性，aii=0(i=1,2,…,N)。

定理1 考慮一組具有執(zhí)行器輸入飽和與速度飽和的混合階多智能體系統(tǒng)，在多智能體的輸入值大于飽和函數(shù)上下界時，假定假設(shè)1和假設(shè)2成立，在控制器(3)的控制作用下，混合階多智能體系統(tǒng)(1)可以達到一致。

下面通過Lyapunov穩(wěn)定性理論和Lasalle不變集原理分析了此系統(tǒng)在控制器(3)的控制作用下的穩(wěn)定性，并依此計算通信增益參數(shù)k1選取范圍。

式(1)可以改寫為以下形式:

(4)

選擇如下Lyapunov函數(shù)[9]:

對于任意的ζi≠ζj(i,j∈In)或ηi≠0(i∈Im),V1(ζ,η)是正定的。 因為χ和γ的有界性，因此下列不等式是成立的：

其中，h是一個正定常數(shù)。定義ΛV(h):={(ζ,η)∈Rn:V1(ζ,η)≤h}，對V1(ζ,η)沿著式(4)求時間的導(dǎo)數(shù)，可得:

因為通信拓撲圖GN是無向且連通的，所以由假設(shè)2可得aij=aji,由此可得:

以及

因此，V1(ζ,η)的導(dǎo)數(shù)可寫為如下形式：

由定義1，可得:

因此，

首先，對i∈In,考慮|k1Γi|≤Δu時，可得:

接下來，運用Lasalle不變集原理。

進一步得到：

由以上性質(zhì)及系統(tǒng)的通信拓撲圖的對稱性可得：

所以，M可以表示為：

因此，對?(ζ,η)∈ΛV(h)(〗0},當(dāng)t→∞時，在控制器(3)的控制作用下，混合階多智能體系統(tǒng)(1)可以達到一致。

2.2 有領(lǐng)航者一致性控制

本節(jié)考慮了有領(lǐng)航者的混合階多智能體系統(tǒng)，基于智能體之間的信息交換以及智能體自身的狀態(tài)，構(gòu)建了分布式控制器(5)。

ui=

(5)

定理2 考慮一組具有執(zhí)行器輸入飽和與速度飽和的混合階多智能體系統(tǒng)，在多智能體的輸入值大于飽和函數(shù)上下界時，假定假設(shè)1和假設(shè)2成立，在控制器(4)的控制作用下，混合階多智能體系統(tǒng)(1)可以達到領(lǐng)航跟隨一致。

下面，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論和Lasalle不變集原理分析了此系統(tǒng)在控制器(5)的控制作用下的穩(wěn)定性，并依此計算通信增益參數(shù)k2選取范圍。

定義ei=ζi-ζ0,式(1)可以改寫為以下形式:

(6)

選擇如下Lyapunov函數(shù):

對于任意的ei≠ej(i,j∈In)或ηi≠0(i∈Im),V2(e,η)是正定的。因為χ和γ的有界性，因此下列不等式是成立的。

其中，h是一個正定常數(shù)。定義ΛV(d):={(e,η)∈Rn:V2(e,η)≤d},對V2(e,η)沿著式(6)求時間的導(dǎo)數(shù)，可得:

進一步，對i∈In,考慮當(dāng)|k2Xi|>Δu時，有

令?=max(Xi)(i∈In),可得:

同樣的，運用Lasalle不變集原理，可以得到S的最大不變集M為：

這表明在只需要計算一個增益取值范圍且有領(lǐng)航者的情況下，對?(ζ,η)∈ΛV(h)(〗0},當(dāng)t→∞時，混合階多智能體系統(tǒng)(1)在控制器(5)的控制下，可以達到領(lǐng)航跟隨一致。

3 仿真分析

本章對所提出的異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的一致性算法(3)和(5)進行了仿真驗證，作為對比，選取了和文獻[6]相同的異構(gòu)多智能體系統(tǒng)，并加入了輸入和速度的飽和特性。設(shè)v1、v2和v3是二階智能體，v4、v5和v6是一階智能體，v0是領(lǐng)航者。圖1(a)為無領(lǐng)航者的多智能體系統(tǒng)的通信拓撲圖，圖1(b)為有領(lǐng)航者的多智能體系統(tǒng)的通信拓撲圖。假設(shè)智能體之間的通信信息存在部分缺失，通信拓撲圖的連接矩陣如下：

圖1 多智能體系統(tǒng)的通信拓撲圖

3.1 仿真算例1

考慮當(dāng)智能體系統(tǒng)無領(lǐng)航者時的情況，假設(shè)Δu=0.3和Δv=0.2,智能體的初始值設(shè)置為:

[ζ1(0),ζ2(0),ζ3(0),ζ4(0),ζ5(0),ζ6(0)]=

[50 20 -30 30 0 -15]

[η1(0),η2(0),η3(0)]=[-0.2 0 0.2]

第一組增益的仿真結(jié)果如圖2所示。由于選擇的增益參數(shù)沒有在計算的取值范圍內(nèi)，可以看出，多智能體系統(tǒng)位置狀態(tài)和速度都沒有達到一致。第二組增益的仿真結(jié)果如圖3、4所示。由于選擇了正確的增益參數(shù)，由圖3可以看出，多智能體系統(tǒng)位置與速度最終達到一致；圖4則顯示了多智能體的輸入飽和特性的演化曲線，可以看出，最終每個智能體的輸入最終收斂為零。

圖2 通信增益時的仿真結(jié)果

3.2 仿真算例2

考慮當(dāng)智能體系統(tǒng)有領(lǐng)航者時的情況，假設(shè)Δu=0.3和Δv=0.2,智能體的初始值設(shè)置為：

[ζ0(0),ζ1(0),ζ2(0),ζ3(0),ζ4(0),ζ5(0),ζ6(0)]=

[10 45 20 -25 30 0 -15]

[η1(0),η2(0),η3(0)]=[-0.2 0 0.2]

圖3 通信增益時的仿真結(jié)果

圖4 通信增益時的智能體輸入

圖5 通信增益時的仿真結(jié)果

圖6 通信增益時的仿真結(jié)果

4 結(jié)語

針對由一階智能體與二階智能體組成的具有輸入和速度飽和的異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的半全局一致性問題,在無需避免控制器的輸入超出飽和函數(shù)邊界且二階狀態(tài)(速度)存在飽和的情況下，本文提出了無領(lǐng)航者和有領(lǐng)航者的分布式控制器，并通過Lyapunov穩(wěn)定性理論計算出了控制器增益的最大取值范圍。由理論分析得出，只需要計算一個增益的取值，便可以同時解決輸入和速度的飽和問題。由仿真分析可以看出，無論系統(tǒng)中有無領(lǐng)航者，當(dāng)通過計算選取正確的通信增益時，就可以保證異構(gòu)多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性?？紤]當(dāng)智能體間的通信具有Markov跳變的通信擾動，同時智能體的執(zhí)行器具有死區(qū)時，增益的變化同時會影響到通信干擾的大小，因此，如何去除執(zhí)行器的死區(qū)問題同時又不會使通信干擾過大是未來的研究重點。