閆公敬，張憲忠

(齊齊哈爾大學(xué)，黑龍江 齊齊哈爾 161000)

1 引 言

非球面光學(xué)元件在光學(xué)系統(tǒng)中能夠校正像差，提升像質(zhì)，同時(shí)可以減小光學(xué)系統(tǒng)的尺寸與質(zhì)量，其作為光學(xué)系統(tǒng)的核心部件被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[1,2]。

對(duì)于凹非球面鏡，基于無(wú)像差點(diǎn)、補(bǔ)償器、CGH(Computer Generating Hologram)等補(bǔ)償手段通?？梢酝瓿砂济骁R的全口徑檢測(cè)。然而對(duì)于凸非球面鏡，若直接進(jìn)行全口徑檢測(cè)則需要口徑更大的補(bǔ)償元件，例如口徑更大的Hindle球、補(bǔ)償器、CGH等。這些輔助元件的尺寸甚至為檢測(cè)凸非球面的幾倍，這就對(duì)材料與工藝造成了難度[3-5]。

子孔徑拼接檢測(cè)作為一種以小檢大的測(cè)量手段，被廣泛應(yīng)用于大口徑平面鏡，球面鏡，非球面鏡的檢測(cè)。國(guó)外對(duì)拼接檢測(cè)的研究起源于20世紀(jì)80年代，由亞利桑那大學(xué)的C.J.Kim提出。亞利桑那光學(xué)中心與QED公司均對(duì)拼接檢測(cè)進(jìn)行了比較深入的研究。其中亞利桑那光學(xué)中心的蘇鵬博士提出了一種絕對(duì)拼接檢測(cè)算法，該算法可以在拼接檢測(cè)中實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)鏡與被檢測(cè)面的誤差解耦[6]；QED公司研制出了球面拼接儀SSI(Subaperture Stitching Interferometer)與非球面拼接儀ASI(Aspherical Stitching Interferometer)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非球面鏡的拼接檢測(cè)[7,8]。國(guó)內(nèi)對(duì)拼接檢測(cè)的研究起源于20世紀(jì)90年代，研究主要還停留在拼接算法上，其中國(guó)防科技大學(xué)的陳善勇等人對(duì)非球面拼接的幾何方法進(jìn)行了研究[9]，成都光電所的候溪等與浙江大學(xué)的田超等人對(duì)環(huán)形子孔徑拼接技術(shù)進(jìn)行了理論研究[10-11]，長(zhǎng)春光機(jī)所的王孝坤等人基于全局優(yōu)化算法對(duì)拼接檢測(cè)進(jìn)行了理論研究[12]，上海光機(jī)所的郭福東等人對(duì)拼接中的快速調(diào)整做了理論研究[13]，浙江大學(xué)的劉東等人在自由曲面拼接檢測(cè)方面進(jìn)行了研究[14]。

本文主要針對(duì)凸非球面非零位拼接檢測(cè)進(jìn)行了研究，建立了相應(yīng)的算法模型，并基于上述模型對(duì)一凸非球面進(jìn)行了拼接檢測(cè)，驗(yàn)證了拼接的可行性與精度。

2 拼接模型

拼接算法的流程如圖1所示。

圖1 子孔徑拼接流程圖 Fig.1 Flow chart of sub-aperture stitching testing

首先對(duì)被檢非球面鏡進(jìn)行子孔徑規(guī)劃，而后對(duì)各規(guī)劃子孔徑進(jìn)行畸變校正。

根據(jù)被檢測(cè)各子孔徑的相對(duì)位置完成各子孔徑在全局坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)準(zhǔn)后，即可對(duì)各子孔徑進(jìn)行非共路誤差計(jì)算。

在非球面非零位檢測(cè)中，利用標(biāo)準(zhǔn)球面鏡對(duì)非球面鏡進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，由于檢測(cè)中各光線并非沿鏡面法線入射，則檢測(cè)結(jié)果中會(huì)出現(xiàn)由于非球面相對(duì)球面的偏離造成的波像差。

對(duì)于同軸非球面，上述誤差主要是球差，其形式如圖2所示，對(duì)于離軸非球面，上述誤差形式中主要是像散與慧差，其形式如圖3所示。

圖2 同軸子孔徑檢測(cè)誤差 Fig.2 Testing error of coaxial sub-aperture

圖3 離軸子孔徑檢測(cè)誤差 Fig.3 Testing error of off-axis sub-aperture

在對(duì)各子孔徑進(jìn)行非零位檢測(cè)誤差剔除后，即可將各子孔徑數(shù)據(jù)進(jìn)行拼接計(jì)算。

假設(shè)將檢測(cè)子孔徑數(shù)目為N，其中第N個(gè)子孔徑為基準(zhǔn)子孔徑，第i個(gè)子孔徑的相位值可以表示為：

(1)

式中，Φi(x,y)為子孔徑i的檢測(cè)結(jié)果，fk(x,y)為調(diào)整項(xiàng)形式，L為定義好的調(diào)整項(xiàng)系數(shù)，對(duì)于非球面鏡檢測(cè)，其形式如式(2)所示[15]：

(2)

在求解拼接系數(shù)時(shí)，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，即：

(3)

式(3)可以寫(xiě)為線性方程組形式：

P=Q·R,

(4)

其中

(1)P是一個(gè)(N-1)×L行的向量，用P(j-1)k代表第((j-1)·L+k)行元素，j為子孔徑序號(hào)，k為拼接系數(shù)所對(duì)應(yīng)方程序號(hào)，則

[Φj(x,y)-Φi(x,y)] ,

(5)

(2)Q是(N-1)×L階矩陣，同理用Q[(j-1)k][(l-1)k′]代表第[(j-1)·L+k]行，第[(l-1)·L+k′]列元素，l為子孔徑的序號(hào)，k′為拼接系數(shù)對(duì)應(yīng)方程序號(hào)，則

Q[(j-1)k][(l-1)k′]=

(6)

(3)R為一個(gè)(N-1)×L行的向量，同理用R(j-1)k代表第((j-1)·L+k)行元素，則

R(j-1)k=ajk,

(7)

式中，ajk是對(duì)應(yīng)于第j個(gè)子孔徑方程fk(x,y)的拼接系數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述拼接算法的可行性，本文對(duì)一口徑為130 mm的凸雙曲面鏡進(jìn)行了拼接檢測(cè)，其中鏡面參數(shù)如下：二次曲面常數(shù)k為-1.812 8，頂點(diǎn)曲率半徑為1 227.65 mm。

檢測(cè)中使用口徑為150 mm，F(xiàn)數(shù)為11的球面標(biāo)準(zhǔn)鏡，子孔徑檢測(cè)半徑：

(8)

檢測(cè)光路如圖4所示。

圖4 檢測(cè)裝置圖 Fig.4 Experimental setup

檢測(cè)中，對(duì)被檢測(cè)鏡規(guī)劃了5個(gè)檢測(cè)子孔徑，其中子孔徑規(guī)劃路徑如圖5所示。檢測(cè)中，利用激光跟蹤儀對(duì)檢測(cè)光路進(jìn)行幾何量測(cè)量，以保證非球面鏡與干涉儀位置的正確性，從而保障子孔徑檢測(cè)時(shí)調(diào)整誤差與加工誤差的有效分離。

圖5 子孔徑規(guī)劃示意圖 Fig.5 Schematic diagram of sub-aperture arrangement

圖6 子孔徑檢測(cè)結(jié)果 Fig.6 Test results of sub-apertures

各子孔徑檢測(cè)結(jié)果如圖6所示。各子孔徑通過(guò)標(biāo)記點(diǎn)確定相對(duì)位置，對(duì)于中心子孔徑，其非零位檢測(cè)誤差如圖7所示，對(duì)于離軸子孔徑，其非零位檢測(cè)誤差如圖8所示。在對(duì)各子孔徑進(jìn)行非零位檢測(cè)誤差剔除后，全口徑拼接結(jié)果如圖9所示。

圖7 中心子孔徑非零位檢測(cè)誤差 Fig.7 Non-null retrace error of central sub-aperture(pv 0.431λ rms 0.116λ)

為了評(píng)價(jià)拼接精度，通常將拼接結(jié)果與全口徑檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。然而實(shí)際檢測(cè)中，之所以進(jìn)行拼接檢測(cè)，通常是由于無(wú)法對(duì)其直接進(jìn)行全口徑檢測(cè)。

為了在無(wú)法直接獲得全口徑檢測(cè)結(jié)果的情況下對(duì)拼接精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，本文采取自檢驗(yàn)評(píng)價(jià)法[16]。

其中自檢驗(yàn)子孔徑檢測(cè)結(jié)果如圖10所示，拼接結(jié)果與自檢驗(yàn)子孔徑檢測(cè)結(jié)果的殘差圖如圖11所示。殘差的PV與RMS值分別為0.016λ與0.003λ，驗(yàn)證了拼接檢測(cè)的精度。

圖8 離軸子孔徑非零位檢測(cè)誤差 Fig.8 Non-null retrace error of off-axis sub-aperture(pv 0.656λ rms 0.169λ)

圖9 子孔徑拼接結(jié)果 Fig.9 Stitching map of sub-aperture

圖10 自檢驗(yàn)子孔徑檢測(cè)結(jié)果 Fig.10 Testing map of self-examine sub-aperture

圖11 殘差圖 Fig.11 Residual map

4 結(jié) 論

本文對(duì)凸非球面鏡拼接檢測(cè)技術(shù)進(jìn)行了研究，該方法可以有效拓寬干涉儀測(cè)試的動(dòng)態(tài)范圍，無(wú)需其它輔助光學(xué)元件就能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)凸非球面的測(cè)量，這不僅提高了分辨率，降低了成本，而且縮

短了工期。同時(shí)結(jié)合工程實(shí)例，對(duì)一口徑為130 mm的凸非球面進(jìn)行了非零位拼接檢測(cè)，并基于自檢驗(yàn)的評(píng)價(jià)方式評(píng)價(jià)拼接精度，全口徑拼接結(jié)果與自檢驗(yàn)子孔徑結(jié)果的殘差圖PV與RMS分別為0.016λ與0.003λ，驗(yàn)證了本文拼接算法的可信性與精度。