董冠文，李自勇*

（甘肅機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

強迫振動是在外界周期性干擾力持續(xù)作用下，振動系統(tǒng)被迫產(chǎn)生的振動。它是靠外界振動源補充能量來維持振動的。金屬切削加工中產(chǎn)生的強迫振動不會迅速衰減，而是一種危害較大的振動。不論是金屬的精密加工還是一般切削加工，強迫振動往往是影響加工質(zhì)量及生產(chǎn)效率的關(guān)鍵問題。據(jù)不完全統(tǒng)計，在金屬切削加工過程中，強迫振動要占到30%[1],是不可避免的。因此，工程技術(shù)人員很有必要學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識來研究金屬在切削加工過程中產(chǎn)生強迫振動機理，掌握強迫振動的發(fā)生和變化規(guī)律，探討如何提高工藝系統(tǒng)的抗振性和積累消除振動的經(jīng)驗措施，使金屬工件的切削加工過程，既能保證較高的生產(chǎn)率，又可以保證金屬工件的加工精度和表面質(zhì)量，這對金屬切削加工的相關(guān)研究和實踐具有現(xiàn)實意義。

1 強迫振動數(shù)學(xué)模型的建立[1]

圖1 強迫振動的模型圖

如圖1（a）所示，一臺電動機安裝在一簡支梁的中部，以ω的角速度旋轉(zhuǎn)時，由于電動轉(zhuǎn)子不平衡而產(chǎn)生離心力P0，則P0沿著X方向的分力，為該系統(tǒng)外界周期性的干擾力。在這一干擾力的作用下，簡支梁將做不衰減的強迫振動。為了便于研究，我們將上述實際的振動系統(tǒng)簡化為圖1.（b）所示的單自由度欠阻尼強迫振動系統(tǒng)的振動模型。在此系統(tǒng)上除了彈性恢復(fù)力kx及阻尼力作用外，還始終活躍著一個簡諧激振力。

由牛頓運動定律，建立該系統(tǒng)的微分方程為：

則（1）可以改寫為以下形式

這是一個非齊次二階常系數(shù)線性微分方程式，（1-2）對應(yīng)的齊次方程為

（3）是一個二階常系數(shù)線性齊次方程，其特征方程為

將上式改寫成如下形式：

記為

把上述第二個方程的兩端除以第一個方程的兩端，得

因為

根據(jù)非齊次二階常系數(shù)線性微分方程式（2）右端，它有形如

為了求出E,F,將x1代入（2）比較系數(shù)即可，為此先來計算

將上式各式代入（2），比較系數(shù)可得方程組

因為

故有

因而，所求特解為

上述表達式可以寫成如下形式

記

表達式

稱為相位差。（2）的通解為

從（7）可以看到，金屬切削產(chǎn)生強迫振動由兩部分組成，第一部分是欠阻尼的自由振動，它是系統(tǒng)本身的固有振動，它隨著時間的增長而衰減，經(jīng)過一段時間，振動消失，第二部分是外力引起的強迫振動項，它的振幅不隨著時間的增長而衰減。

2 強迫振動項的研究

金屬切削產(chǎn)生強迫振動時，由于經(jīng)過一段時間，衰減振動很快就衰減掉了，而強迫振動一直持續(xù)下去，形成振動的穩(wěn)定過程。以此我們來分析這一項。

記

為靜變位

為頻率比

為阻尼比

有

引入放大系數(shù)R則

圖2 響應(yīng)曲線圖

圖3 響應(yīng)曲線圖右側(cè)局部放大圖

圖4 響應(yīng)曲線圖左側(cè)局部放大圖

3 共振的研究

金屬切削產(chǎn)生強迫振動時，最值得研究的問題是什么情況下，放大系數(shù)達到最大值，此時振幅最大。為此，對（8）求導(dǎo)令：

圖5 共振下的響應(yīng)曲線圖

4 結(jié)語

本文應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識詳細分析研究了金屬切削加工中產(chǎn)生強迫振動現(xiàn)象，工程技術(shù)人員在切削加工金屬工件時，應(yīng)避開共振區(qū)，避免造成安全事故。