呂蓉蓉，徐亮，薛辰，陸宇平

（南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇南京211100）

隨著機(jī)載傳感器和通信包近幾年的迅猛發(fā)展，對能在空中長時間停留的飛行器平臺的需求越來越大。大柔性飛行器可帶來更好執(zhí)行任務(wù)的能力，體現(xiàn)在更長的巡航時間、承受更重的負(fù)載、需要更好的氣動性能等。能夠執(zhí)行軍事上的偵察、收集情報(bào)等任務(wù)以及民用范圍內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)中繼、氣象信息采集。

Shearer和Cesnik[1-4]研究了大柔性飛行器非線性動力學(xué)和控制問題。研究提出了一種雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)來控制簡化版大柔性飛行器模型的軌跡。Gibson，Annaswamy 和 Lavretsky[5-6]將 線 性 LQR/LTR控制器與自適應(yīng)LQR/LTR控制器對大柔性飛行器的穩(wěn)定作用作了比較。Che，Gregory和Cao[7-8]提出了一個LQR控制器增廣L1自適應(yīng)輸出反饋控制器的控制方案。

本文針對陣風(fēng)擾動下具有不確定性的大柔性飛行器設(shè)計(jì)基于LQR的模型參考自適應(yīng)控制器來跟蹤其俯仰角指令。

1 大柔性飛行器模型描述

本文具體的研究對象是飛翼式柔性飛機(jī)，幾何模型如圖1所示。此飛翼式柔性飛機(jī)的機(jī)翼全展長有72.8 m，半弦長為2.44 m，距柔性機(jī)翼兩端六分之一全翼展長處具有10°的上反角，并安置5個發(fā)動機(jī)，平均等距離坐落在翼展上。還有3個吊艙，分別位于中心和距兩端六分之一展長處。飛機(jī)中心處的吊艙重約27.23 kg，可承受的有效載荷范圍為0～227 kg，227 kg是其滿載時的重量；兩邊的吊艙重約22.70 kg。機(jī)翼截面的慣性、彈性和氣動特性參數(shù)如表1所示[9]。本文所用的模型是在空間柔性懸臂梁的非線性結(jié)構(gòu)變形基礎(chǔ)上，結(jié)合定常氣動力模型，運(yùn)用有限元法進(jìn)行離散，導(dǎo)出其動能、勢能及合外力對應(yīng)的廣義力，然后基于Lagrange方法推導(dǎo)出的大柔性飛行器非線性氣彈與飛行動力學(xué)模型：

圖1 飛翼式柔性飛機(jī)幾何模型

表1 飛翼式柔性飛機(jī)相關(guān)參數(shù)

2 大柔性飛行器模型簡化

2.1 線性化

為了方便后續(xù)大柔性飛行器控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，需要將非線性的模型轉(zhuǎn)化為線性模型。本節(jié)采用傳統(tǒng)近似線性化方法[10]，在配平求得的平衡點(diǎn)附近進(jìn)行雅可比[11]線性化，可得到線性化系統(tǒng)形式如下：

經(jīng)計(jì)算，該線性系統(tǒng)可控可觀并且穩(wěn)定。

2.2 模型降階

1981年，Moore[12]提出了系統(tǒng)內(nèi)平衡實(shí)現(xiàn)理論，是從可控可觀性的角度對漸進(jìn)穩(wěn)定系統(tǒng)一種平衡降階方法。其主要思想為，將系統(tǒng)分為強(qiáng)子系統(tǒng)和弱子系統(tǒng)，對部分弱可控可觀的狀態(tài)量進(jìn)行忽略，對原模型的輸入輸出特性不會造成影響。這種方法的缺點(diǎn)是計(jì)算量特別大，但是是最常用的降階方法之一。

考慮如式所示的線性系統(tǒng)，定義其可控性Gram矩陣Wc、可觀性Gram矩陣Wo分別為：

由線性時不變系統(tǒng)完全可控可觀的判據(jù)可得，當(dāng)且僅當(dāng)Gram矩陣Wc正定，系統(tǒng)完全可控；當(dāng)且僅當(dāng)Gram矩陣Wo正定，系統(tǒng)完全可觀[13]。同時可以得出，Wc、Wo是以下Lyapunov方程的解：

并且，若A是漸近穩(wěn)定的，則Wc、Wo是其（4）唯一的對稱解。

對于線性系統(tǒng)（2）而言，倘若存在非奇異變換矩陣T，能將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為其等價系統(tǒng)，其中，該系統(tǒng)對應(yīng)的可控性 Gram 矩陣、可觀性 Gram矩陣都是相等的對角陣，即：

則稱該變換T為平衡變換，原系統(tǒng)的平衡系統(tǒng)，也稱為平衡實(shí)現(xiàn)[14]。并有為系統(tǒng)的Hankel陣奇異值。

平衡截?cái)嘟惦A法的主要思路是舍棄小于σr的Hankel矩陣奇異值所對應(yīng)的狀態(tài)分量，則會得到輸入輸出特性基本沒有改變的平衡截?cái)嘟惦A系統(tǒng)模型該方法的缺點(diǎn)是與原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益有偏差，優(yōu)點(diǎn)是能在頻率范圍內(nèi)與原系統(tǒng)近似。

3 基于LQR的模型參考自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

3.1 線性二次型（LQR）控制器設(shè)計(jì)

因?yàn)楸疚囊O(shè)計(jì)的是基于線性二次型（LQR）控制器的模型參考自適應(yīng)控制器，所以在此之前先設(shè)計(jì)適用于飛機(jī)縱向控制的LQR控制器[15]。LQR控制器是根據(jù)被控系統(tǒng)的狀態(tài)量以及輸入量的二次積分型函數(shù)來制定一個評價函數(shù)作為衡量系統(tǒng)性能的指標(biāo)，使得該評價函數(shù)達(dá)到最小值，從而獲得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣。

考慮系統(tǒng)（2），系統(tǒng)性能指標(biāo)的評價函數(shù)為：

其中，z為被控系統(tǒng)輸出，zcmd為參考輸出，誤差e=z-zcmd。Q、R均為正定的權(quán)重矩陣。LQR控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使得最優(yōu)控制輸入ubl之后系統(tǒng)的輸出能夠跟蹤參考輸出，并能使得系統(tǒng)性能指標(biāo)的評價函數(shù)最小。Q和R矩陣一般通過試湊法得出，Q選取得越大則要求系統(tǒng)的誤差越小，R越大則要求系統(tǒng)的控制能量消耗越小，兩者之間相互制衡，通過選取合適的Q和R矩陣，可以使誤差與控制輸入達(dá)到平衡的狀態(tài)。

加入姿態(tài)跟蹤的誤差積分：

增廣系統(tǒng)（2），得：

寫為：

則增廣系統(tǒng)性能指標(biāo)的評價函數(shù)為：

最優(yōu)控制輸入為：

正定矩陣P滿足Riccati方程：

3.2 基于LQR的模型參考自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

在系統(tǒng)（2）中加入不確定性[16-18]：

其中，u∈Rm表示系統(tǒng)的控制輸入，x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)量，Λ表示系統(tǒng)控制通道異常，為取值0到1之間的未知對角陣（0代表損壞，1代表完好）。f(x)=ΘTΦ(x)是非線性參數(shù)匹配不確定性，并且基于狀態(tài)量。Φ(x)∈RN是連續(xù)的局部回歸矢量，Θ∈RN×m是未知的常參矩陣。

將誤差加入增廣系統(tǒng)（15），可得：

則輸出為：

對于參考模型的構(gòu)建，可以使用上一節(jié)設(shè)計(jì)LQR控制器得到的狀態(tài)反饋矩陣KT，該構(gòu)建參考模型的方法在飛行器的姿態(tài)跟蹤的自適應(yīng)控制方法中應(yīng)用廣泛。描述參考模型為：

最終基于LQR控制器的模型參考自適應(yīng)控制器的輸入為：

將式帶入增廣系統(tǒng)（16），可得：

狀態(tài)向量的跟蹤誤差為：

令控制器跟蹤誤差為零，則控制器輸入為：

將此控制輸入（22）代入增廣系統(tǒng)（20）：

狀態(tài)誤差的導(dǎo)數(shù)記為：

對于系統(tǒng)（22），使其漸進(jìn)穩(wěn)定的控制律為：

其中，自適應(yīng)控制是（21），控制輸入是（18），Γ，Pm是正定對稱矩陣，同時Pm滿足：

其中，Qm是正定矩陣。

自適應(yīng)控制律中Γ為：

自適應(yīng)律分解為：

模型參考自適應(yīng)控制器的最終控制輸入為：

4 仿真分析

本節(jié)對Von karman紊流下的大柔性飛行器進(jìn)行俯仰角跟蹤?？紤]不確定性，令Λ=0.7I，Φ(x)=x。初始時刻是飛行器的平衡狀態(tài)下。跟蹤目標(biāo)zcmd在0～10 s時為 10°，10～20 s時變?yōu)?-10°，20 s后歸零，仿真時間為30 s。

LQR控制器參數(shù)：Q=0.05I，Q(81,81)=107，R=I。

自適應(yīng)增益為：Γu=10-3I，ΓΘ=10-3I。

陣風(fēng)下的仿真結(jié)果如圖2-4。

圖2 陣風(fēng)擾動下模型參考自適應(yīng)控制器作用的俯仰角輸出跟蹤曲線

圖3 陣風(fēng)擾動下模型參考自適應(yīng)控制器作用的操縱舵面偏角

圖4 陣風(fēng)擾動下模型參考自適應(yīng)控制器作用的操縱舵面和發(fā)動機(jī)的控制輸入

從圖2仿真結(jié)果可以看出，即使在有陣風(fēng)的擾動下，模型參考自適應(yīng)控制器依然能良好地跟蹤俯仰角。盡管在指令變化時，飛行器由于慣性作用出現(xiàn)了超調(diào)，但是反應(yīng)時間很短，迅速地跟蹤到-10°的俯仰角。

從圖3、4看出，舵面上偏，產(chǎn)生正的俯仰力矩，即俯仰角增大；根據(jù)牛頓第三定律，發(fā)動機(jī)產(chǎn)生反方向的推力，使飛行器產(chǎn)生抬頭力矩，增大俯仰角。

5 結(jié)論

文中針對大柔性飛行器設(shè)計(jì)了一種基于LQR控制器的模型參考自適應(yīng)控制器。首先，由于大柔性飛行器是一種強(qiáng)耦合的非線性模型，為了后續(xù)設(shè)計(jì)控制器，需要將其轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)。接著，由于大柔性飛行器建模時為了體現(xiàn)“柔性”而采用了有限元的思想，造成其狀態(tài)空間的維數(shù)過高，給控制器的設(shè)計(jì)帶來困難，所以選取平衡截?cái)喾ㄟM(jìn)行模型的降階。然后在控制器的設(shè)計(jì)中，先設(shè)計(jì)LQR控制器，再在此基礎(chǔ)上加入了模型參考自適應(yīng)控制律，仿真結(jié)果顯示，即使在陣風(fēng)的擾動下，其依然具有良好的姿態(tài)跟蹤控制效果。