金秀葉

【摘 要】針對解決問題教學(xué)中削弱難度、缺少梯度以及忽略跨度的現(xiàn)狀，可以以挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)作為驅(qū)動源來實施解決問題的教學(xué)，具體而言，需從過程經(jīng)驗、生活經(jīng)驗、認知經(jīng)驗和操作經(jīng)驗四個角度來展開，形成解決問題教學(xué)的有效策略，并著力幫助學(xué)生克服解決問題學(xué)習(xí)的困難。

【關(guān)鍵詞】挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)；解決問題；經(jīng)驗積累；生活；模型

在新課程改革的過程中，教材將“解決問題”的內(nèi)容貫穿在所有的數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域中，分散在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，不再集中編排，不再強調(diào)人為的歸類，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)造了一個實踐應(yīng)用的機會。這樣的編排更具挑戰(zhàn)性、思考性。而筆者發(fā)現(xiàn)，在解決問題教學(xué)中還存在以下問題。

第一，削弱難度，問題設(shè)置過分降低難度，難以調(diào)動學(xué)生思維的積極性與主動性，不能保證思維活動持久地進行。

第二，缺少梯度，很多問題設(shè)置欠缺層次，沒有遵照由小到大、由易到難、層層推進的原則，題組練習(xí)單薄缺少對比。

第三，忽略跨度，教學(xué)設(shè)計沒有主次、輕重之分，問題的設(shè)置缺少內(nèi)在聯(lián)系和前后知識的銜接。

解決問題教學(xué)如果不具備新穎性和挑戰(zhàn)性，就不能引起學(xué)生的興趣和求知欲，也就不可能引發(fā)真正意義上的學(xué)習(xí)活動。挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)可以在解決問題教學(xué)中發(fā)揮出優(yōu)勢。

一、儲存過程經(jīng)驗，理解編排意圖

新編人教版教材中安排了“解決問題”專題課，例題編寫體例一般為：低段“知道了什么”“怎樣解答”“解答正確嗎”；高段“閱讀與理解”“分析與解答”“回顧與反思”三個程序。教師必須先教會學(xué)生解題的基本流程和方法，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，懂得對題目中的已知條件展開分解。

（一）理順信息，有序思考，關(guān)注解題的完整過程

以人教版五年級上冊小數(shù)乘法中的“分段計費”問題為例（如下圖）。

1.閱讀與理解，引導(dǎo)學(xué)生分析題意，尤其是“收費標準”。啟發(fā)學(xué)生思考：（1）“3km以內(nèi)7元”什么意思？（2）什么時候每千米1.5元？（3）什么是“不足1km按1km計算”？通過這些問題深入理解收費標準：一是分段計費；二是不足1千米按1千米計算，也就是按“進一法”取整數(shù)。

2.分析與解答，對兩種方法溝通理解之后，教師可沿用例題情境進行適當?shù)淖兪骄毩?xí)，如（1）如果行駛的里程是9.1 km，你們還能用剛才的方法計算出車費嗎？（2）行駛10.9km呢？讓學(xué)生通過算式的對比，發(fā)現(xiàn)“分段計費”的方法都是用7元加后段里程車費，用“先假設(shè)再調(diào)整”的方法都是用假設(shè)車費再加上2.5元。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再來引導(dǎo)學(xué)生進一步探索其中的原因。

3.回顧與反思，教師不僅要讓學(xué)生對解題方法進行驗證，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考行駛里程與車費之間的聯(lián)系及變化情況。“回顧與反思”不只停留于讓學(xué)生檢驗答案是否正確，而是引導(dǎo)學(xué)生判斷思考過程的合理性，增強解決問題的策略意識。

（二）變式練習(xí)，豐富過程，提高學(xué)生的思維水平

解決問題的學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計可以恰當?shù)刈兏鼏栴}情境或改變思維角度，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力。例題學(xué)習(xí)后可以適當安排一些變式練習(xí)，對于克服簡單的機械重復(fù)、培養(yǎng)靈活的解題能力具有十分重要的意義。如“分段計費”學(xué)習(xí)后可以設(shè)計這樣的挑戰(zhàn)性練習(xí)。

某市自來水公司鼓勵市民節(jié)約用水，采取按分段計費的方式收取水費。

（1）小明家上個月的水費是36.2元，你知道他們家用了多少噸水嗎？

（2）若小可家上個月的用水量是18.5噸，需繳水費多少元？

一方面，通過逆向練習(xí)使學(xué)生掌握條件與問題間的邏輯關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的思維水平，以此來培養(yǎng)學(xué)生逆向解決問題的能力，同時也能讓學(xué)生學(xué)會用結(jié)果來檢驗學(xué)習(xí)過程；另一方面，從教材上的“二級階梯收費”到練習(xí)中的“三級階梯收費”，學(xué)生在解決問題的過程中思維步步深入，實現(xiàn)了良好的跨躍。學(xué)生經(jīng)歷了解決問題的完整過程，掌握了解決問題的方法，反思得到的結(jié)果，教材的改進，教學(xué)行為的跟進，為實現(xiàn)“解決問題”的課程目標提供了清晰的教學(xué)思路。

二、借助生活經(jīng)驗，喚醒生活記憶

學(xué)生解決問題的經(jīng)驗來自于豐富的現(xiàn)實原型，教師在課堂上要有意識地利用各種生活情境喚醒他們對生活原型的記憶。

（一）激活“內(nèi)存”， 對接經(jīng)驗，提供相應(yīng)的生活原型

人教版五年級上冊第4頁（如上圖），本題生活氣息濃郁，教材的本意是呈現(xiàn)解題的步驟，體現(xiàn)了對學(xué)生書面語言表達能力的培養(yǎng)。但這樣的呈現(xiàn)方式似乎過于直接，相當于已經(jīng)告訴學(xué)生“往返兩次”就是4個單程，這樣一味地降低教學(xué)難度，限制了學(xué)生的思維發(fā)展，同時也使習(xí)題本身失去了挑戰(zhàn)性。生活中，筆者遇到過這樣的情況，開學(xué)初，學(xué)校進行出操訓(xùn)練，第一次先到操場熟悉場地，回教室稍做休息后，再進行第二次訓(xùn)練，然后又回教室。問學(xué)生：“今天你被‘往返兩次了嗎？如果教室到操場的距離大約200米，那我們剛剛走了多少米呢？”學(xué)生頓時恍然大悟——往返兩次有4個200米呢。一個生活中的實例化解了教學(xué)難點，不禁感嘆，生活中處處有數(shù)學(xué)。筆者建議去除解題步驟的呈現(xiàn)，不妨直接問：想一想，可以先算什么再算什么？自己寫一寫解題思路。這樣的提問更容易暴露學(xué)生的認知水平，對學(xué)生來說更具思維含量，也更具挑戰(zhàn)性，同時也實現(xiàn)了“生活數(shù)學(xué)”與“純數(shù)學(xué)”的對接。

（二） 走進生活，整體認知，化解經(jīng)驗匱乏的尷尬

在日常教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于生活中的很多實際問題無從下手，概念模糊，主要原因是生活經(jīng)驗的匱乏，教師如何開展有效的教學(xué)活動，使學(xué)生積累數(shù)學(xué)的生活經(jīng)驗?zāi)兀?/p>

人教版六年級下冊“圓柱的表面積”一課中有這樣的練習(xí)題（如上圖）。教過這個單元的教師都知道，生活經(jīng)驗的匱乏是導(dǎo)致解決問題能力缺失的一個重要原因。解答類似這樣的題目時，學(xué)生不停地問什么是“壓路機”，對此沒有一點概念，甚至看到圖片還無法想象“壓路的面積”。如果說學(xué)生對壓路機是陌生的，那么對于衛(wèi)生紙（如右圖）肯定是熟悉的，在講解時可以把它歸為一類，用相似的生活例子幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。如可以用成卷衛(wèi)生紙代替壓路機的輪子滾動一周，留在桌面上的這片衛(wèi)生紙的面積就相當于“壓路的面積”，也就是圓柱的側(cè)面積。重視聯(lián)系學(xué)生的生活實際，引導(dǎo)學(xué)生用圓柱側(cè)面積公式解決問題。在解決這樣的問題后再小結(jié)：生活中哪些情況也是計算圓柱的側(cè)面積呢？學(xué)生展開聯(lián)想，想到了生活中的一些原型，如滾筒刷、透明膠帶、廣告紙、通風(fēng)管等（如下圖）。

在日常生活中，教師要關(guān)注知識間的聯(lián)系與變通，為學(xué)生提供盡可能多的生活原型，由一道題豐富到一組題型，這樣變通后，總結(jié)經(jīng)驗，以便將解題方法運用到相同類型的題目中。

三、釋放認知經(jīng)驗，挖掘“隱性”信息

教師在教學(xué)時要注意培養(yǎng)學(xué)生尋找隱藏條件的能力，如果揭露了隱含的條件，審題的障礙也就掃除了。那么，在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生尋找隱含的信息呢？下面是嘉興市2008學(xué)年和2013學(xué)年的期末檢測題，與傳統(tǒng)命題相比有很大程度的改良。

傳統(tǒng)教學(xué)無疑離不開程序化教學(xué)：先找關(guān)鍵句，再找單位“1”，單位“1”已知用乘法，單位“1”未知用除法；比單位“1”多用“1+”， 比單位“1”少用“1-”……可是當傳統(tǒng)試題被“改良”后，關(guān)鍵句變得更為精簡，單位“1”也被隱藏起來了，學(xué)生的認知經(jīng)驗就顯得局限性了。

（一）明晰概念，理解意義，厘清隱性的數(shù)量關(guān)系

盡管這樣一來，正確率大大降低了，但我們應(yīng)該對這樣的命題方式拍手叫好。因為我們必須清楚地認識到：只有經(jīng)過“改良”的命題方式才能將學(xué)生從傳統(tǒng)教學(xué)模式中解放出來，才能真正考查學(xué)生對知識的理解。

例如，家電商場以1840元的價格賣出某臺彩電，賺了15%。這臺彩電的進價是多少元？在平時的教學(xué)中，我們就要側(cè)重分析關(guān)鍵句的意義，不是模式化地找單位“1”，而是理解“賺了15%”是什么意思，誰跟誰比“賺了”。不管是“賺”還是“賠”都應(yīng)該與商品的進價相比，進價與售價相比才是衡量一件商品“賺”與“賠”的標準，售價比進價多就是“賺”，比進價少就是“賠”——所以“賺了15%”是指賺了的錢是進價的15%。理解了這層意思，單位“1”的問題也就迎刃而解了，再也不需要死記硬背。主要理解為以下兩個層次。

層次一：賺了15%表示賺的錢是進價的15%，即進價+賺的錢=售價。

層次二：賺了15%也就是售價是進價的115%，即進價×115%=售價。

（二）注重內(nèi)化，遷移轉(zhuǎn)化，樹立整體教學(xué)的思想

以分數(shù)解決問題為例，有的關(guān)鍵句中不是很明顯地帶有一些指向性特征的詞語，也不是部分數(shù)與總數(shù)的關(guān)系，這類解決問題的單位“1”比較難找，對于省略句式要培養(yǎng)學(xué)生“補充找”的習(xí)慣。

例如，水結(jié)成冰體積增加[110]，冰化成水體積減少了幾分之幾？像這樣的水和冰兩種數(shù)量到底誰作為單位“1”？其實我們只要看誰是原來的數(shù)量。體積減少或增加都是與原來進行比較，所以原來的數(shù)量是單位“1”。比如水結(jié)成冰，原來的數(shù)量就是水，那么水就是單位“1”，也就是冰比水體積增加；冰融化成水，原來的數(shù)量是冰，所以冰的體積是單位“1”。這樣一來，方便面“加量不加價”的問題中，求贈量前多少克就是求原來的重量，一切的量都歸結(jié)為現(xiàn)在與原來比，原來的量是現(xiàn)在與之比較的標準，學(xué)生緊緊圍繞知識的共性，樹立整體學(xué)習(xí)的思想。

四、積累操作經(jīng)驗，建立數(shù)學(xué)模型

模型思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思想之一，需要教師在課堂中適當?shù)嘏囵B(yǎng)。在解決問題教學(xué)中，教師要多舉一些實例，在充分經(jīng)歷、體驗感悟的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生進一步積累相應(yīng)的操作經(jīng)驗，完成從生活情境到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)變過程，從而提升數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用水平。

（一）數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用模型，感悟變中不變的道理

以蘇教版四年級下冊第91～92頁的相遇問題為例，這樣的課如何上出新意，值得深思。筆者是這樣處理的，在線段圖上貼上磁條，引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解兩人1分鐘走的路程，并移到線段圖的下面。

借助磁條來重點理解“60+70”的意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，進一步解釋了“速度和”的概念，從而理解速度和×相遇時間=路程，學(xué)生對整個教學(xué)過程的感悟是深刻的。而要讓學(xué)生掌握這一數(shù)學(xué)模型，就要運用所建立的模型思想解決生活中的實際問題，使他們感受到模型的實際運用。教師可以在學(xué)生經(jīng)歷了建立數(shù)學(xué)模型解決某個問題之后，引導(dǎo)學(xué)生利用這一模型解決類似的問題。這樣的設(shè)計，一方面是為了讓學(xué)生更為直觀地理解“速度和”的概念，另一方面是為日后接觸“速度差”做鋪墊。如下圖中的第二個問題，可以用64×6-60×6來解決，也可以用（64-60）×6來解決，求6分鐘后小星距離少年宮有多少米就是求兩人相距的路程。如果有這樣的理念穿插在里面，學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)會更加深刻。

（二）深化模型，感悟聯(lián)系，關(guān)注知識聯(lián)結(jié)和延伸

數(shù)學(xué)知識有的相對獨立，但更多的是相互之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，對突出問題進行對比分析，引導(dǎo)學(xué)生將某類問題有意識地作為整體進行處理顯得尤為重要。相遇問題是蘇教版解決問題策略中的一塊內(nèi)容，教材相當重視對學(xué)生解決問題策略的培養(yǎng)，很多內(nèi)容儼然已經(jīng)自成體系，學(xué)生對策略的感悟也比較深刻。以本節(jié)課為例，筆者設(shè)計了如下練習(xí)。

小明和小芳同時從學(xué)校出發(fā)，小明向東走去爸爸單位，每分鐘走60米；小芳向西走去圖書館，每分鐘走55米。經(jīng)過3分鐘，兩人相距多少米？

小明和小芳在環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點出發(fā)，反向而行。小明每秒跑6米，小芳每秒跑4米，經(jīng)過40秒兩人相遇。跑道多少米？

把直道上的相遇問題與環(huán)形跑道中的相遇問題有機整合起來，讓知識不再孤立與零碎。學(xué)生對直道上的相遇問題有一個先入為主的印象，這是一種基本模型，環(huán)形跑道只是一種變式，把變式還原為基礎(chǔ)形式，這樣的設(shè)計貼近學(xué)生的思維層次（如下圖）。類似的問題都是在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用模型解決同類型問題，主要是引導(dǎo)學(xué)生從兩個方面去認識，首先是形式層面，初步了解相遇問題的表面特征；其次是應(yīng)用層面，怎樣的問題可以運用這樣的策略去解決。

解決問題教學(xué)必須做到與學(xué)生的實際生活相聯(lián)系，以現(xiàn)階段學(xué)生的知識背景和生活經(jīng)驗展開教學(xué)，通過一些富有挑戰(zhàn)性的問題引發(fā)學(xué)生的思考，并能解決生活中的一些數(shù)學(xué)問題。讓學(xué)生積累解決問題的經(jīng)驗，提高應(yīng)用意識，增強應(yīng)用能力，是我們永遠的追求。

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（浙江省平湖市東湖小學(xué) 314200）