李盛林

【摘要】類(lèi)比思維是數(shù)學(xué)研究中常用的一種思維方式，在中學(xué)階段數(shù)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中根據(jù)圓的性質(zhì)可以推導(dǎo)出橢圓的性質(zhì).本文利用類(lèi)比思維和推導(dǎo)法等數(shù)學(xué)研究方法對(duì)中學(xué)階段數(shù)學(xué)幾何學(xué)當(dāng)中圓與橢圓之間的性質(zhì)關(guān)系進(jìn)行了分類(lèi)研究，通過(guò)圓的基本性質(zhì)推導(dǎo)得出橢圓的基本性質(zhì)，可以為關(guān)注這一方面的教師們提供一些可信度較高的參考意見(jiàn)，提高中學(xué)生幾何學(xué)的學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】圓的性質(zhì)；橢圓的性質(zhì)；類(lèi)比思維

隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，社會(huì)各界對(duì)我國(guó)教育事業(yè)，特別是中學(xué)階段的數(shù)學(xué)幾何教學(xué)領(lǐng)域關(guān)注程度越來(lái)越高.在此種環(huán)境背景下，中學(xué)數(shù)學(xué)教師需要不斷進(jìn)行教學(xué)方法的創(chuàng)新性發(fā)展，根據(jù)中學(xué)階段學(xué)生們的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和對(duì)知識(shí)的接受水平，研究出更加具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的新型教學(xué)法.其中最具有代表性的就是利用類(lèi)比思維研究和推導(dǎo)圓和橢圓的性質(zhì)關(guān)系，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中具有良好的應(yīng)用價(jià)值.

一、根據(jù)圓的面積類(lèi)比求出橢圓的面積

圓的性質(zhì)有很多，因?yàn)閳A和橢圓之間較為相似，而類(lèi)比知識(shí)恰好能夠在其中得到全面的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)圓的面積性質(zhì)、非零斜率、弦性規(guī)律等內(nèi)容的了解，能夠?qū)?yīng)用到橢圓知識(shí)中去，從而更好地學(xué)習(xí)橢圓知識(shí)[1].

（一）性質(zhì)內(nèi)容

假設(shè)圓O的半徑為a，根據(jù)圓的面積計(jì)算公式可以得知圓的面積應(yīng)該為πa2，而由于兩條半徑構(gòu)成一條直徑，因此，可以將圓的面積計(jì)算理解為πa·a；通過(guò)這一性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行類(lèi)比分析，能夠?qū)E圓的面積進(jìn)行計(jì)算.與圓的半徑不同，橢圓當(dāng)中分別具有長(zhǎng)半軸和短半軸，當(dāng)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)度為b，則可以對(duì)橢圓的面積進(jìn)行求解，可以得到πab.

（二）類(lèi)比所得橢圓的性質(zhì)內(nèi)容

橢圓和圓在面積的計(jì)算當(dāng)中，都涉及了π的概念，而與圓面積相比，橢圓的面積計(jì)算，也是半徑的長(zhǎng)度和π之間的關(guān)系的研究，因此，可以將橢圓理解成為沿著豎直方向上的圓的等比例壓縮，而在水平方向上，長(zhǎng)度則始終保持不變，豎直方向上a轉(zhuǎn)變成為b，因此，結(jié)合圓的面積計(jì)算方法可以獲知橢圓的面積計(jì)算公式為πab.

二、根據(jù)圓的切線(xiàn)方程類(lèi)比出橢圓的切線(xiàn)方程

（一）性質(zhì)內(nèi)容

設(shè)圓O的方程為x2+y2=r2，而p（x0，y0）為圓上的某一點(diǎn)，則可以推理得出經(jīng)過(guò)點(diǎn)p的切線(xiàn)方程為x0x+y0y=r2.通過(guò)這一性質(zhì)可以與橢圓進(jìn)行類(lèi)比.在橢圓中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1，其中，a>b>0，而點(diǎn)p（x0，y0）則為橢圓上的一點(diǎn)，因此，可以類(lèi)比得到過(guò)點(diǎn)p的切線(xiàn)方程為x0xa2+y0yb2=1.

（二）類(lèi)比所得橢圓的性質(zhì)內(nèi)容

設(shè)橢圓在點(diǎn)p處的切線(xiàn)方程為y-y0=k（x-x0），通過(guò)與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行聯(lián)立，就可以獲得一個(gè)關(guān)于x的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如上文所示為x2a2+y2b2=1，通過(guò)聯(lián)立法可以用x對(duì)y進(jìn)行表示，從而消除y，得到一元二次方程.而在計(jì)算題干當(dāng)中，點(diǎn)p（x0，y0）與所計(jì)算的橢圓相切，表明方程只存在一個(gè)解，因此，可以得知，Δ=0，從而能夠得到過(guò)點(diǎn)p的切線(xiàn)的斜率k，通過(guò)化簡(jiǎn)方程，最終可以求得過(guò)點(diǎn)p的切線(xiàn)方程為x0xa2+y0yb2=1.

三、根據(jù)圓的非零斜率類(lèi)比出橢圓的非零斜率

（一）性質(zhì)內(nèi)容

在圓的第三個(gè)定理中，假設(shè)AB是圓O的半徑，P為圓O上的任意一點(diǎn)，分別連接PA和PB兩點(diǎn)后，直線(xiàn)PA，PB都會(huì)存在非零斜率，分別為kPA，kPB，而且kPAkPB=1.

（二）類(lèi)比所得橢圓的性質(zhì)內(nèi)容

因此，可知，如果AB為橢圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)產(chǎn)生的線(xiàn)段，而P為橢圓上的任意一點(diǎn)，此時(shí)，連接PA，PB，也會(huì)存在非零斜率，且kPAkPB=-b2a2.假設(shè)A（acosθ，bsinθ），而P（acosφ，bsinφ），那么B（-acosθ，-bsinθ）.經(jīng)過(guò)對(duì)PA，PB的非零斜率計(jì)算后，就能夠得出具體的結(jié)論.

四、圓的弦性定理類(lèi)比出橢圓的弦性定理

（一）性質(zhì)內(nèi)容

圓的第四個(gè)定理中，AB，CD是圓O的兩條弦，而直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)P，則PA·PB=PD·PC.

（二）類(lèi)比所得橢圓的性質(zhì)內(nèi)容

由上述內(nèi)容可以推斷出如果在條件相同的橢圓中，也會(huì)存在PA·PB=PD·PC.設(shè)兩條直線(xiàn)之間形成的傾斜角為θ、φ，相交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），那么兩條弦中AB的參數(shù)方程就能夠表示出來(lái)，繼而將AB的參數(shù)方程帶入到橢圓方程中，并且進(jìn)行進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，并且根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，就能夠驗(yàn)證這一定理.

五、圓的切線(xiàn)性質(zhì)類(lèi)比出橢圓切線(xiàn)定理

（一）性質(zhì)內(nèi)容

在圓的性質(zhì)中還存在一個(gè)切線(xiàn)定理，AB是圓C和x軸相交形成的直徑，且直線(xiàn)l和x軸垂直，此時(shí)經(jīng)過(guò)圓上任意一點(diǎn)P，且不同于A，B兩點(diǎn)，分別作直線(xiàn)PA和PB，與直線(xiàn)l相交于M，N連點(diǎn)，此時(shí)將MN線(xiàn)段的中點(diǎn)Q和圓C上的點(diǎn)P相連，則直線(xiàn)PQ是圓C的切線(xiàn)[2].

（二）類(lèi)比所得橢圓的性質(zhì)

由此可以推斷出，如果在條件相同的橢圓中，直線(xiàn)PQ也會(huì)是橢圓C的切線(xiàn).證明：橢圓上P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），而直線(xiàn)PA，PB的斜率為k1和k2，此時(shí)k1+k2=2b2x0a2y0，最終求得MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，推理出直線(xiàn)PQ和橢圓相切.

六、總結(jié)

綜上所述，在新課程改革不斷深化發(fā)展的背景下，我國(guó)中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教師需要不斷提高自身的專(zhuān)業(yè)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，在為學(xué)生們講解新的理論知識(shí)時(shí)，可以通過(guò)引入舊知識(shí)的方式，為學(xué)生們奠定良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，降低學(xué)生們?cè)诿鎸?duì)未知領(lǐng)域知識(shí)學(xué)習(xí)的心理負(fù)擔(dān).對(duì)中學(xué)生而言，利用類(lèi)比思維進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以幫助自身提高知識(shí)遷移和應(yīng)用能力，最終培養(yǎng)起全局思維的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王新宏.圓的性質(zhì)在橢圓中的推廣及其簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三版），2013（8）：15-16.

[2]趙愛(ài)祥.橢圓性質(zhì)及其應(yīng)用[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（4）：73-74.