周奎，徐宏文，方早，吳偉

（上海理工大學(xué) 環(huán)境與建筑工程學(xué)院，上海 200093）

結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別一直都是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的核心問(wèn)題之一。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展及傳感器技術(shù)、信號(hào)處理技術(shù)的進(jìn)步，使得測(cè)試信號(hào)能夠得到準(zhǔn)確、快速的分析處理，基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的損傷檢測(cè)成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[1-4]。目前，許多結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法需要利用結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)數(shù)據(jù)，如柔度曲率差、模態(tài)曲率差及模態(tài)應(yīng)變能差等，這些方法之所以可以進(jìn)行損傷識(shí)別是因?yàn)樗麄兯鶚?gòu)造的損傷指標(biāo)在損傷處發(fā)生的變化要比未損傷處發(fā)生的變化更加明顯，因而損傷前后數(shù)據(jù)的差值在損傷部位會(huì)明顯大于未損傷部位[5-7]，但是，這些方法需要結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)數(shù)據(jù)，這對(duì)于那些難以獲得無(wú)損結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)則無(wú)法進(jìn)行損傷檢測(cè)。研究表明，僅利用損傷結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)也可以進(jìn)行損傷識(shí)別，如僅用損傷結(jié)構(gòu)的柔度曲率矩陣、模態(tài)曲率矩陣等。由于這些損傷指標(biāo)在損傷部位有突變，觀察突變的位置來(lái)進(jìn)行損傷定位，但是，由于這些損傷指標(biāo)在損傷處的值與周?chē)臄?shù)據(jù)相差不大，容易誤判[8-9]。徐典等[10]提出了柔度曲率曲線最小二乘法擬合的方法，將擬合后的曲線與原始曲線之間包圍的面積作為損傷指標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。結(jié)果表明，該方法對(duì)梁結(jié)構(gòu)具有良好的損傷定位功能。徐飛鴻等[11]提出了模態(tài)曲率曲線最小二乘法擬合的方法，將擬合后的曲線與原始曲線之間包圍的面積作為損傷指標(biāo)，對(duì)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了損傷定位研究，取得了良好的效果。但是，目前關(guān)于這方面的研究大多數(shù)僅針對(duì)一維梁類(lèi)結(jié)構(gòu)。

本文提出柔度曲率多項(xiàng)式曲線擬合的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，并利用該方法對(duì)平板進(jìn)行損傷識(shí)別仿真模擬。利用損傷后的平板結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)振型和固有頻率分別在X方向和Y方向計(jì)算其柔度曲率。由于其柔度曲率值在損傷位置存在突變，用多項(xiàng)式曲線對(duì)柔度曲率值進(jìn)行擬合時(shí)，多項(xiàng)式曲線能夠較準(zhǔn)確地經(jīng)過(guò)或靠近未損傷位置的點(diǎn)，而損傷位置的點(diǎn)則距擬合曲線較遠(yuǎn)。然后用擬合值與原始值的差值構(gòu)造新的損傷指標(biāo)，可以分別得到X方向和Y方向的柔度曲率擬合差，將損傷指標(biāo)用Matlab繪制三維曲面圖，從圖像上能夠精確地識(shí)別出損傷位置。該方法只需結(jié)構(gòu)損傷后的模態(tài)振型數(shù)據(jù)，從而能夠運(yùn)用到一些難以獲得健康結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中。

1 基于柔度曲率曲線擬合損傷定位方法

1.1 彈性薄板柔度曲率

圖1 薄板有限元模型單元?jiǎng)澐諪ig.1 Element meshing of the finite element model of thin plate

將薄板 i 階振型的節(jié)點(diǎn)按照每列從小到大首尾相接的形式依次組成一個(gè)向量。

柔度矩陣的構(gòu)造體現(xiàn)了振型和頻率的綜合特征，由于高階模態(tài)對(duì)柔度的影響較小，所以，可以取前階振型構(gòu)造柔度矩陣，其表達(dá)式為n m ωm m

式中：表示第 個(gè)節(jié)點(diǎn)在第 階模態(tài)下的Z方向模態(tài)位移（撓度）； 表示第 階模態(tài)下的固有頻率。

Fave FCX FCY

分別將柔度平均值矩陣 按行和列進(jìn)行二次差分，可以得到X方向柔度曲率矩陣 和Y方向柔度曲率矩陣 。

X方向二次差分公式為

相應(yīng)地，Y方向二次差分公式為

1.2 多項(xiàng)式擬合曲線

選擇板的某一行（列），將行（列）的節(jié)點(diǎn)的損傷指標(biāo)值用多項(xiàng)式曲線擬合。通過(guò)選擇一個(gè)合適的多項(xiàng)式次數(shù)，可以使得擬合曲線盡可能地通過(guò)未損傷位置的節(jié)點(diǎn)值，而損傷位置的節(jié)點(diǎn)值由于有一個(gè)突變，所以，會(huì)使得該點(diǎn)距離擬合曲線較遠(yuǎn)。將擬合曲線上的數(shù)值與原始數(shù)值作差并平方，構(gòu)造出新的損傷指標(biāo)。將這個(gè)損傷指標(biāo)進(jìn)行三維曲面繪圖，通過(guò)觀察圖像中是否存在明顯突變位置進(jìn)行損傷識(shí)別。

多項(xiàng)式擬合曲線的表達(dá)式為

2 算例數(shù)值計(jì)算

利用專(zhuān)業(yè)有限元分析軟件ANSYS建立彈性薄板有限元模型。板尺寸選為長(zhǎng)1 m，寬1 m，厚0.003 m。將板的長(zhǎng)和寬各等間距劃分25個(gè)單元，即每個(gè)單元的尺寸為0.04 m×0.04 m。單元采用實(shí)體單元 Soild186，密度取 7 850 kg/m3，楊氏模量取泊松比取0.3。將有限元模型中的某個(gè)單元彈性模量減小50%來(lái)模擬損傷，具體如圖2所示。模態(tài)提取方法采用Lanczos法，采用稀疏矩陣方程求解器。Soild186單元每個(gè)單元有20個(gè)節(jié)點(diǎn)，位移模態(tài)的提取選擇板中面上的節(jié)點(diǎn)。提取薄板前10階模態(tài)振型和固有頻率，按照式（2）～（5）構(gòu)造平均柔度矩陣 Fave。 將平均柔度矩陣 Fave分別沿X方向和Y方向進(jìn)行二次差分得到X方向柔度曲率矩陣 FCX和Y方向柔度曲率矩陣 FCY。

圖2 單處損傷50%的四邊固支板有限元模型Fig.2 Four-side fixed plate finite element model with one 50%-level-damaged element

2.1 多項(xiàng)式擬合曲線的選擇

為了尋找合適的擬合曲線次數(shù)，分別選擇邊上（Y=2）和中間（Y=13）這兩行數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。結(jié)果如圖3所示。對(duì)于邊界和中部的柔度曲率k，通過(guò)8次多項(xiàng)式曲線擬合，曲線基本可以通過(guò)各個(gè)點(diǎn)，故可以選擇8次多項(xiàng)式擬合。

圖3 柔度曲率多項(xiàng)式曲線擬合Fig.3 Flexibility curvature polynomial curve fitting

為了檢驗(yàn)8次多項(xiàng)式是否能夠區(qū)分出損傷位置的點(diǎn)，選擇第5行數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，第9，10，11，12這4個(gè)點(diǎn)位于曲線外，而第10，11這2個(gè)點(diǎn)正好位于損傷位置，所以，8次多項(xiàng)式擬合能夠區(qū)分出損傷位置的點(diǎn)。在實(shí)際結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)時(shí)，由于損傷位置未知，無(wú)法對(duì)多項(xiàng)式次數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，但是，基于柔度曲率曲線擬合檢測(cè)平板的損傷規(guī)律是一致的，可以直接采用仿真模擬的結(jié)果得到的8次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，當(dāng)然，最好是進(jìn)行實(shí)際試驗(yàn)得到多項(xiàng)式次數(shù)的一般規(guī)律，然后應(yīng)用于實(shí)際平板損傷檢測(cè)。

圖4 損傷處（Y=5）柔度曲率多項(xiàng)式曲線擬合Fig. 4 Flexibility curvature polynomial curve fitting at the damage position (Y=5)

2.2 多項(xiàng)式曲線擬合損傷識(shí)別結(jié)果

通過(guò)Matlab三維曲面繪圖工具可以分別繪制柔度曲率及柔度曲率擬合差三維曲面圖，分別如圖5和圖6所示（見(jiàn)下頁(yè)）。

通過(guò)比較擬合前后的損傷指標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)：圖 5（a），5（b），5（c）中損傷位置存在微小突起，但是，損傷識(shí)別效果并不理想，難以進(jìn)行損傷識(shí)別；圖 6（a），6（b），6（c）中均存在一處明顯突變，且突變位置均為預(yù)設(shè)的損傷單元位置。仿真模擬表明，基于模態(tài)曲率多項(xiàng)式曲線擬合的方法能夠很好地進(jìn)行損傷定位。

圖5 單處損傷薄板結(jié)構(gòu)柔度曲率Fig. 5 Flexibility curvature of the thin plate-type structure with one damaged element

圖6 單處損傷薄板結(jié)構(gòu)柔度曲率擬合差Fig. 6 Curve fitting difference of the flexibility curvature of the thin plate-type structure with one damaged element

3 結(jié) 論

以四邊固定支承的薄板為研究對(duì)象，通過(guò)有限元軟件ANSYS計(jì)算得到了單處損傷程度50%彈性薄板結(jié)構(gòu)的前10階模態(tài)振型和固有頻率，并計(jì)算得到柔度曲率?；谌岫惹蕯M合數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差值構(gòu)造新的損傷指標(biāo)并繪制三維曲面圖，研究了基于模態(tài)曲率多項(xiàng)式曲線擬合的方法對(duì)板類(lèi)結(jié)構(gòu)的損傷定位效果，結(jié)果表明：基于柔度曲率多項(xiàng)式曲線擬合的方法能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行薄板結(jié)構(gòu)的損傷定位，相比僅采用模態(tài)曲率矩陣進(jìn)行損傷識(shí)別的方法，該方法能夠使損傷位置的突變程度更大，進(jìn)而更加容易發(fā)現(xiàn)損傷區(qū)域。同時(shí)，相比柔度曲率差等需要結(jié)構(gòu)損傷前后模態(tài)數(shù)據(jù)的方法，該方法只需損傷結(jié)構(gòu)的模態(tài)數(shù)據(jù)，能夠運(yùn)用到那些難以獲得無(wú)損結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中。

本文只對(duì)單個(gè)單元50%損傷進(jìn)行了數(shù)值模擬，沒(méi)有考慮小損傷、多損傷、實(shí)際信號(hào)中的噪音這些因素，所以，對(duì)于這些因素，仍需作進(jìn)一步的研究。