李文瑤，孫雨彤，周廷明，張君，趙蕓赫

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對一種光學(xué)中心射線狀條紋成因的探究

李文瑤1，孫雨彤1，周廷明1，張君1，趙蕓赫2

（1.四川省溫江中學(xué)，四川 成都 611130；2.北京師范大學(xué)物理學(xué)系，北京 100875）

對使用相機(jī)對路燈等光源進(jìn)行照射時，照片上呈現(xiàn)的放射狀條紋現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。理論研究上以正多邊形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射模型對該現(xiàn)象進(jìn)行了解釋，并采用將正邊形分割為個等腰三角形后疊加的方法對正多邊形小孔的衍射條紋進(jìn)行了理論推導(dǎo)，然后利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬結(jié)果驗(yàn)證了條紋數(shù)與正多邊形小孔邊數(shù)的關(guān)系，同時預(yù)測了孔的邊數(shù)、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離對衍射圖樣的影響。最后通過實(shí)驗(yàn)研究定性驗(yàn)證了理論模型的合理性。

放射狀條紋；正多邊形孔；夫瑯禾費(fèi)衍射；星芒

在晚上使用相機(jī)對著街上的燈光拍照，或在陽光強(qiáng)烈的時候透過樹葉的縫隙拍攝太陽時，會發(fā)現(xiàn)照片上有從光源中心發(fā)出的放射狀光線。這是攝影中常有的現(xiàn)象，因其現(xiàn)象獨(dú)特，被稱為“星芒”。星芒的尖角數(shù)與光圈的葉片數(shù)有關(guān)——光圈葉片數(shù)為奇數(shù)時，產(chǎn)生的星芒尖角數(shù)為2條；為偶數(shù)時，產(chǎn)生的星芒尖角數(shù)為條。

通過查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)對于這種星芒現(xiàn)象的理論解釋，僅有一些經(jīng)驗(yàn)交流稱其是因攝像機(jī)光圈的衍射現(xiàn)象造成的，沒有與實(shí)際聯(lián)系并進(jìn)行求解。因此，本研究利用正多邊形衍射孔的夫瑯禾費(fèi)衍射模型對該現(xiàn)象進(jìn)行了定性及理論分析，推導(dǎo)并模擬了多邊形孔的衍射圖像，預(yù)測了孔的邊數(shù)、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離對衍射圖樣的影響，并利用幾何對稱性解釋了邊數(shù)與條紋的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而通過實(shí)驗(yàn)研究將理論模擬結(jié)果與實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行對應(yīng)，定性驗(yàn)證了理論模型的合理性。

1 理論分析

在實(shí)際情況中，對比不同相機(jī)拍到的同一光源的圖片，可以發(fā)現(xiàn)不同相機(jī)拍出的照片中射線情況并不相同，但是，同一相機(jī)拍下的同一張照片中各個光源的射線情況相同。根據(jù)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，照片上的射線并不是光源向外發(fā)出的一道道亮光，而是與相機(jī)有關(guān)的、只存在于照片上的現(xiàn)象。

進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)：①光圈葉片數(shù)為奇數(shù)時，產(chǎn)生的星芒尖角數(shù)為2條；為偶數(shù)時，產(chǎn)生的星芒尖角數(shù)為條。②光圈越小，星芒尖角越尖銳。③光圈距離被拍攝的光源越遠(yuǎn)，星芒成像越大、越明顯。故推斷產(chǎn)生“星芒”現(xiàn)象的主要原因是相機(jī)的光圈近似正多邊形，如圖1所示。光在經(jīng)過相機(jī)的光圈時發(fā)生衍射，最后經(jīng)透鏡在CCD（相當(dāng)于衍射光屏）上呈現(xiàn)出這一現(xiàn)象。

圖1 光圈葉片工作示意圖

另外，在使用相機(jī)拍照時，光圈到光源之間的距離遠(yuǎn)大于光圈到成像屏上的距離，近似符合夫瑯禾費(fèi)衍射“無限遠(yuǎn)”的特點(diǎn)，可以看作等效無限遠(yuǎn)，故本文以正多邊形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射模型來解釋這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。

對于一個正多邊形孔的衍射，直接計(jì)算顯然并不容易。故采用將正多邊形孔分割為多個全等的等腰三角形孔，以其中某一個三角形為基礎(chǔ)，對其進(jìn)行坐標(biāo)變化后，積分求得整個孔在觀察屏上的光強(qiáng)表達(dá)式的方式來求解這個問題。

1.1 等腰三角形孔的衍射

首先，考慮最基本的情況，即當(dāng)發(fā)生衍射的小孔是一個頂角為、底邊長為的等腰三角形，之后再在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變換[1]。

圖2 等腰三角形孔的衍射

當(dāng)光的波長確定時，式（1）中的是一個常值（由此也可以看出，如果使用顏色不同的光，成像的規(guī)律是不會變化的，只是在分布上呈現(xiàn)定量的規(guī)律性差異）。同時，當(dāng)光的波長確定時，也是一個常值：

這里表示開孔平面上光的分布（，）它一般是均勻的，在此我們考慮它是均勻的。為方便代入計(jì)算，我們令：

將（4）（5）（6）式代入原式，那么對于此小三角形孔上發(fā)生衍射的振幅就可以通過以下積分計(jì)算：

（，）就是小孔發(fā)生衍射后在觀察屏上的振幅分布。

1.2 正多邊形孔的衍射

建立直角坐標(biāo)系，如圖3所示，將這個正多邊形分解，此正多邊形與單個等腰小三角形的面積和角關(guān)系就可以表示出來：

（8）

以等腰三角形1為基礎(chǔ)，沿逆時針方向?qū)ζ溥M(jìn)行坐標(biāo)變化：

將這一結(jié)果用矩陣來表示并進(jìn)行計(jì)算：

對正多邊形區(qū)域積分可得：

而光強(qiáng)為其復(fù)振幅與其共軛復(fù)振幅的乘積，故觀察屏上的光強(qiáng)表達(dá)式為：

另外，可以推斷，當(dāng)→∞時，這個多邊形小孔發(fā)生衍射將可以近似看作圓孔。

2 數(shù)值模擬

將推導(dǎo)出的上述關(guān)系編寫成代碼，使用MATLAB運(yùn)行程序并繪制觀察屏上的光強(qiáng)分布圖像（運(yùn)行環(huán)境：MATLAB2016b）。在此，我們考慮3個自變量，即孔的邊數(shù)、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離，對所涉及的3個變量，控制變量分別對其進(jìn)行研究，模擬其對成像的影響，得到3組圖像（其中，黑色正方形方格的實(shí)際大小為1 m2），如圖4、圖5、圖6所示。

觀察這3組圖，可以得出結(jié)論：①衍射圖像呈有共同起點(diǎn)的放射狀光束，且中間有一較大的光斑。②條紋以明暗相間的樣式延展，且由中心到四周發(fā)散，由明到暗并逐漸消失。③當(dāng)邊長與距離一定，邊數(shù)為奇數(shù)時，可觀察到2個尖角；邊數(shù)為偶數(shù)時，可觀察到個尖角。④當(dāng)邊數(shù)與距離一定時，以正六邊形為例，隨著孔徑的變大，呈現(xiàn)的圖像越來越小，可觀察到的范圍越來越大。⑤當(dāng)邊數(shù)與距離一定時，隨著焦距的變大，視野中可觀察到的范圍變小，條紋圖像越來越大。

圖4 a＝3e－5（m），焦距f＝10 m時，改變邊數(shù)n

圖5 當(dāng)邊數(shù)n＝6，焦距f＝10 m時，改變孔的邊長a（m）

圖6 當(dāng)孔邊長a＝3e－5（m），邊數(shù)n＝6，改變焦距f（m）

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)器材及裝置

為了驗(yàn)證理論結(jié)果，本研究制作了多個不同邊數(shù)的觀察孔片，為了避免“平行光”這一夫瑯禾費(fèi)衍射需要的條件受限，借助激光光學(xué)演示儀（型號J-2513）對這些裝片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。由于手工制作的裝片精度不夠高，無法精確地控制邊長和距離，只能定性地驗(yàn)證上文關(guān)于衍射孔邊數(shù)的結(jié)論。

圖7為實(shí)驗(yàn)環(huán)境，圖8為實(shí)驗(yàn)器材。

圖7 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

圖8 實(shí)驗(yàn)器材

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬圖象進(jìn)行對比，不難看出實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象符合星芒條數(shù)變化的規(guī)律。由于無法精確控制變量，且手工制作和拍攝存在一定誤差，結(jié)論②和③可以觀察到較為清楚的現(xiàn)象。圖9為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)對比圖。由圖9可以看到，星芒圖樣的棱角數(shù)與衍射孔邊數(shù)的關(guān)系與理論預(yù)言一致。另外，在每一條星芒射線中出現(xiàn)了明暗相見的條紋，這是波動光學(xué)現(xiàn)象的典型特征。至此，從實(shí)驗(yàn)上說明了星芒的出現(xiàn)是一種波動光學(xué)現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測相符。

4 結(jié)論

本研究基于正多邊形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射模型對照相機(jī)拍照時出現(xiàn)的“星芒”現(xiàn)象進(jìn)行了理論與實(shí)驗(yàn)研究，得出并解釋了星芒條數(shù)與光圈葉片數(shù)的變化規(guī)律，得出了“星芒大小與小孔邊長成反相關(guān)，與衍射屏到觀察屏的距離成正相關(guān)”的結(jié)論。然后通過自制小孔，對以上結(jié)論進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象基本符合理論。

［1］宋易知.任意正多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射成像探討［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2017，37（11）：48-51.

［2］鐘錫華.現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2012.

2095－6835（2018）18－0012－04

O436.1

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.18.012

李文瑤（2002—），女，四川成都人，四川省溫江中學(xué)高2017級學(xué)生。

趙蕓赫（1993—），女，吉林長春人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系2016級碩士研究生，研究方向?yàn)槲锢碚n程與教學(xué)論、IYPT問題解決。

〔編輯：劉曉芳〕