宋 強

(廣東理工學(xué)院 信息工程系，廣東 肇慶 526100)

0 引 言

眾所周知的車輛路徑問題(vehicle routing problem，VRP)是一個NP-Hard的組合優(yōu)化問題，在一些城市配送系統(tǒng)中，貨物被送到城市配送中心(city distribution center，CDC)，然后由帶有容量限制的車輛交付給最終客戶。這些車輛可能在工作日結(jié)束之前更早地返回倉庫，然后用于另一個送貨行程。這就引入了多行程車輛路徑問題的研究思路。

在多級配送系統(tǒng)中，尤其是在城市環(huán)境下，物流卡車不能直接給客戶送貨，而是先把貨物送到CDC，在CDC有現(xiàn)貨的時間段內(nèi)再進行最終的配送。通常情況下，考慮到城市路況的限制，只有采用電動三輪車或者小型貨車才能執(zhí)行送貨的要求，當(dāng)貨物在客戶點卸載后必須立即重新裝載。同時，貨物在工作日全天都可以被送到城市配送中心，這意味著在配送周期開始時這些貨物在CDC的倉庫是沒有現(xiàn)貨的。發(fā)貨時間的概念是與每個貨物相關(guān)聯(lián)的，這里假定貨物的發(fā)貨時間在工作日開始前是已知的。

在國內(nèi)，采用遺傳算法求解帶時間窗的VRP的研究并不少見。例如，葛顯龍等[1]基于第三方帶軟時間窗約束的車輛路徑模型，設(shè)計了一種改進遺傳算法對模型進行求解；王永鋒等[2]根據(jù)遺傳算法容易產(chǎn)生早熟、收斂速度慢、局部尋優(yōu)能力差等缺點，提出了將混沌搜索技術(shù)和遺傳算法相耦合的混沌遺傳算法來求解帶時間窗的物流配送車輛路徑問題；潘立軍等[3]設(shè)計了基于時差的插入法，提出了一種求解帶時間窗的取送貨問題的遺傳算法。

而針對帶時間窗的多行程VRP，國內(nèi)研究文獻數(shù)量較少。例如許爭爭等[4]以車輛容量和繞行時間限制為約束參數(shù)，以面向一個城市的集中式顧客接送服務(wù)為背景，設(shè)計了一種基于協(xié)作的3階段算法來求解多行程路徑問題；宋強[5]為了同時解決多行程車輛路徑問題和配送中心定位問題，采用模擬退火的算法來獲得最優(yōu)路線，并改善了當(dāng)前溫度控制的位置。

建立了車輛之間在時間上相互依賴的數(shù)學(xué)模型，引入混合遺傳算法求解該問題，介紹了與貨物有關(guān)的發(fā)貨時間的概念。在相關(guān)的國外文獻中較少有人采用改進的混合遺傳算法對帶時間窗的多行程車輛路徑問題(multi-trip vehicle routing problem with time windows, MTVRPTW)進行研究，已有的研究大都采用精確算法來求解問題。

例如，N. AZI等[6]提出了一個精確算法來解決單一車輛的MTVRPTW，該解決方法開發(fā)了一個帶資源限制的初級最短路徑算法；另外N. AZI[7]還采用了一個嵌入到分枝定價算法中的列生成方法來求解MTVRPTW，由于算法的局限性，該算法只能解決客戶數(shù)量50以內(nèi)的實例；F. HERNANDEZ等[8]使用和N. AZI類似的方法，為每個問題給出一個集合覆蓋公式，每一列表示一個行程而不是一個工作日；以上這3種精確方法都使用了F. DOMINIQUE等[9]提出的用于初級最短路徑問題的算法。

除此以外，M. BATTARRA等[10]研究了MTVRPTW的擴展問題，不同的貨物群集在一起，并且不能用相同的車輛運輸，他們提出的方法是一個兩級順序啟發(fā)式算法：獨立地考慮每個貨物并制定一組可行的路線，然后，再把路線分配給車輛；D. CATTARUZZA等[11]采用遺傳算法來解決多行程車輛路徑問題，并采用Adsplit算法來評估染色體，引入的局部搜索算子用于對車輛重新分配行程；M. DREXL[12]介紹了車輛路徑調(diào)度在同歩性方面的問題，并引入了多行程的送貨方法。

但是以上這些啟發(fā)式算法均未能同時把時間窗、發(fā)貨時間和多行程的因素全部納入約束條件，而這3個約束條件正是筆者研究的重點。討論了城市環(huán)境下帶時間窗的多行程車輛路徑問題(multi-trip vehicle routing problem with time windows，MTVRPTW)，結(jié)構(gòu)如下文如述：第2節(jié)對這個問題進行了定義；第3節(jié)提出了一種基于局部搜索的混合遺傳算法(hybrid genetic algorithm, HGA)來求解提出的MTVRPTW；第4節(jié)給出了仿真實驗的研究結(jié)果；第5節(jié)進行了全文總結(jié)。

1 問題的定義和相關(guān)符號

MTVRPTW可以在一個完整的無向圖G=(V,E)上進行定義，V={0,…,N}表示頂點的集合，E={(i,j)|i,j∈V,i

這里給定一個時間范圍TH來定義工作日的持續(xù)時間，它可以被看作是與倉庫相關(guān)的時間窗。因而假設(shè)[E0,L0]=[0,TH]，并且D0=0。MTVRPTW需要確定一組路線并把每條路線分配給每輛車，這樣總的行駛時間就會最小并滿足下列條件:

1)每條路線都從倉庫開始和結(jié)束;

2)每個路線的開始行駛時間不早于與客戶相關(guān)的每條路線本身的最大發(fā)貨時間Ri;

3)每個客戶只能被一個路線訪問;

4)客戶i的服務(wù)從相應(yīng)的時間窗TW[Ei,Li]開始;

5)客戶的需求總和在任何路線上都不超過車載容量Q;

6)每輛車行駛完最后的路線返回倉庫的時間不遲于TH。

假定每個客戶i可以被回程車輛服務(wù)，也就是說，Ri+T0i+Ti0≤TH和Di≤Q，否則不存在可行的解決方案。

符號σ表示一條路線。大寫字母∑表示分配給一輛車的路線集合，也被稱為旅程，旅程是由不同的路線(v1,…,vn)⊕(w1,…,wm)組成，符號⊕表示路徑的連接。例如(v1,…,vn)⊕(w1,…,wm)表示兩條路徑的連接，如果v1和wm都表示倉庫的話，就會產(chǎn)生一條閉合路線。σ1⊕σ2意味著同一輛車先執(zhí)行路線σ1后執(zhí)行σ2。在路線σi上，車輛訪問客戶的時間用τσi表示，車輛離開倉庫后在路線σi上的行駛時間由Tσi表示。

符號“∈”表示“屬于”。例如σ∈∑意味著路線σ屬于旅程∑，v∈σ意味著客戶v屬于路線σ。但值得注意的是，在不考慮發(fā)貨時間時，滿足條件Tσi+1=Tσi+τσi。另一方面，在考慮到發(fā)貨時間時，應(yīng)滿足條件Tσi+1=max{Tσi+τσi,maxvi∈σi(Rvi)}。

如果車輛在Li之前到達客戶vi的位置，該路徑規(guī)劃就是可行的。

2 方 法

提出了一種改進的混合遺傳算法 (hybrid genetic algorithm, HGA)用于求解MTVRPTW。該解決方案的主要思路可以用算法1表示。該算法是針對D. CATTARUZZA等[13]提出的基因算法解決方案的一個改進，主要改進之處在于選擇雙親染色體產(chǎn)生子染色體后，基因算法對子染色體進行訓(xùn)練以達到可行的效果。而本算法是采用了局部搜索的方法對子染色體進行改進以組成新的種群。

算法1：改進的混合遺傳算法

1:初始化種群

2:while不滿足終端規(guī)則do

3:選擇雙親染色體Ψ=(Ψ1,…,ΨN)和Ψ=(Ψ1,…,ΨN)

4:產(chǎn)生一個子染色體Ψ=(Ψ1,…,ΨN)

5:用LS改進Ψ=(Ψ1,…,ΨN)

6:IfΨ=(Ψ1,…,ΨN)是不可行 then

7:修復(fù)Ψ=(Ψ1,…,ΨN)

8:end if

9:把Ψ=(Ψ1,…,ΨN)插入到種群

10：if 種群大小Ψ=(Ψ1,…,ΨN) then

11:選擇幸存者

12:end if

13:end while

首先，π隨機染色體的生成是為了創(chuàng)建一個初始種群，這些個體采用局部搜索(local search，LS)進行了改進。采用傳統(tǒng)的二進制錦標(biāo)賽過程進行選擇，通過對雙親進行交叉選擇產(chǎn)生了下一代，修復(fù)了不可行染色體。當(dāng)種群達到π+μ維度時，按照質(zhì)量和對種群的多樣化貢獻相應(yīng)地消除μ個體(正如T. VIDAL等[14]提出)。在后面的內(nèi)容中提供了關(guān)于LS方法的細節(jié)，并采用輔助分割過程從一個染色體獲得MTVRPTW的解決方案。

2.1 解決方案的表示和搜索空間

一個染色體是由N個客戶節(jié)點組成的一個不帶行程分隔符的有序排列Ψ=(Ψ1,…,ΨN)，Ψ可以視為一個旅行商問題(traveling salesman problem，TSP)的解決方案，通過分裂染色體(插入行程分隔符和分配行程給車輛)被轉(zhuǎn)化為一個可行的MTVRPTW解決方案。從這一點來看，Ψ通常被稱為一個巨網(wǎng)分割結(jié)構(gòu)，即由車輛行駛路線和客戶節(jié)點構(gòu)成一個巨網(wǎng)，根據(jù)Ψ的分割方法來構(gòu)建不同MTVRPTW的解決方案。

在搜索階段，在適應(yīng)度函數(shù)中過載和時間窗違規(guī)都是允許的，分別通過系數(shù)λ和θ進行懲罰。輔助分割過程用于從Ψ中獲得一個MTVRPTW解決方案ξ。下面介紹兩個符號:T∑(ξ)和TW∑(ξ)分別代表在方案ξ中旅程∑所需的行駛時間和可能產(chǎn)生的時間窗違規(guī)。Lσ(ξ)的是路線σ上的載貨量，這里σ∈∑ 表示σ是旅程∑的一條路線。染色體Ψ的適應(yīng)度函數(shù)F(Ψ)通過輔助分割可以找到求解最佳解決方案的成本ξ，定義如式(1)：

(1)

在以上表達式中，如果從Ψ中通過輔助分割獲得一個可行的解決方案ξ，染色體Ψ就稱為可行。

2.2 用于帶時間窗VRP的局部搜索

局部搜索在帶時間窗的VRP面前要比在經(jīng)典VRP中變得更加復(fù)雜，不能直接在固定時間內(nèi)檢查其可行性。在本研究中，采用了T. VIDALET等[15]提出的方案(即Y. NAGATA等[16]提出的擴展計劃)用于求解一大類帶時間窗的問題。給定一個路線ρ，數(shù)值變量T(ρ)，TW(ρ)，E(ρ)，L(ρ)，D(ρ)分別表示最小持續(xù)時間、ρ的最小時間窗違規(guī)、從允許最小持續(xù)時間和時間窗違規(guī)的路線ρ上的第一個客戶開始的最早和最晚服務(wù)時間，以及被服務(wù)客戶的累積需求。給定兩條路徑ρ1和ρ2，持有的關(guān)系如式(2)～式(6)：

T(ρ1⊕ρ2)=T(ρ1)+T(ρ2)+Tv1,v2+ΔWT

(2)

TW(ρ1⊕ρ2)=TW(ρ1)+TW(ρ2)+ΔTW

(3)

E(ρ1⊕ρ2)=max{E(ρ2)-Δ,E(ρ1)}-ΔWT

(4)

L(ρ1⊕ρ2)=min{L(ρ2)-Δ,L(ρ1)}+ΔTW

(5)

D(ρ1⊕ρ2)=D(ρ1)+D(ρ2)

(6)

其中， Δ=T(ρ1)-TW(ρ1)+Tv1,v2

ΔWT=max{E(ρ2)-Δ-L(ρ1,0)}

ΔTW=max{E(ρ1)-Δ-L(ρ2,0)}

v1表示ρ1中的最后一個客戶，v2表示ρ2中的第一個客戶。

上面定義的這些數(shù)值變量可用于在連續(xù)時間內(nèi)對典型LS進行評估，在預(yù)處理階段可用于計算所有行駛路徑及其返程路徑。

2.3 發(fā)貨時間的介紹和多行程實例的應(yīng)用

該問題比帶時間窗的VRP(vehicle routing problem with time windows, VRPTW)多出兩個特點：車輛可以行駛多個行程；在整個工作時間范圍內(nèi)車輛可以完成貨物的終端配送。由于車輛將完成的行程不止一個，或者由于車輛需要等待可以運輸?shù)呢浳?，車輛在t>0時就可以開始一個行程。T. VIDAL等[15]證明了表達式(2)～式(6)的關(guān)系，并通過關(guān)聯(lián)運算證明了式(7)、式(8)之間的關(guān)系：

T(ρ)(t)=T(ρ)+max{0,E(ρ)-t}

(7)

TW(ρ)(t)=TW(ρ)+max{0,t-L(ρ)}

(8)

表達式(8)用來計算由于離開倉庫時間較晚而造成的時間窗違規(guī)。這里引入R(ρ)作為客戶在路線ρ上的最大發(fā)貨時間。我們定義R(vi)=Rvi并且具有下列關(guān)系：

R(ρ1⊕ρ2)=max{R(ρ1),R(ρ2)}

(9)

因而，發(fā)貨時間不會給以后介紹的路徑規(guī)劃增加任何復(fù)雜性。

下一步需要考慮的仍然是多行程方面。針對每一條路線σi，行程都是從Tσi=0開始的，通過Tσi=max{R(σi),Tσi-1+τσi-1}，可以計算時間窗違規(guī)和完成時間的變化。給定一個旅程∑=(σ1⊕…⊕σn)，式(8)用于計算∑中所有的行程，而Tσi+1可以用式(10)～式(11)計算出來：

(10)

Tσi+1=max{t,R(σi+1)}

(11)

車輛在行程σi∈∑上行駛，可采用式(7)和式(8)，在連續(xù)的時間內(nèi)對完成時間和時間窗違規(guī)的變化進行局部計算。而完整的計算需要O(∑max)，其中∑max表示在所有旅程中的最大行程數(shù)量。

2.4 修復(fù)過程

根據(jù)不可行性的特點，用懲罰因子乘以10，采用局部搜索可以修復(fù)不可行的染色體。如果由此產(chǎn)生的染色體仍不可行，λ和θ就會重新乘以10并重新應(yīng)用LS。

2.5 用輔助分割算法求解MTVRPTW

2.5.1 構(gòu)建輔助圖

事實上，不保證一定存在這樣一條可行的路徑，并允許存在關(guān)于時間和負載約束的不可行解。下面用一條弧(i,j)來表示對應(yīng)的路徑成本。

(12)

在這里，路徑成本不需考慮行程的具體路線，不考慮由于車輛延遲出發(fā)造成的時間窗違規(guī)。正如在文獻[17]中用于求解VRP的原始過程，考慮到在H上形成最短路徑的弧提供的解決方案的成本遠高于最佳方案，下面通過一個標(biāo)記過程來獲得在染色體Ψ上構(gòu)建的用圖H表示的用于MTVRPTW的解決方案。

2.5.2 分配行程給車輛

在多行程VRP(multi-trip vehicle routing problem, MTVRP)的環(huán)境下，特別是在MTVRPTW環(huán)境中，一次可以分配多個行程給同一輛車。時間窗違規(guī)完全取決于離開倉庫的時間和路線，并且不需要考慮圖H上的和弧相關(guān)的固定成本。

標(biāo)記過程可以定義如下：列舉出所有在染色體Ψ中從節(jié)點0到節(jié)點N的可能路徑，并構(gòu)建在節(jié)點N上具有較低成本的標(biāo)簽的最佳解決方案。從節(jié)點0開始，標(biāo)簽沿著圖進行逐步擴展。每個標(biāo)簽L都有M+3個字段域：前面的M個字段以降序存儲車輛行駛次數(shù)，第(M+1)個字段記錄總負載的不可行解，第(M+2)個字段存放前任節(jié)點，最后一個字段保存著采用表達式(1)評估的局部解決方案的成本，并作為標(biāo)簽L的成本c(L)。擴展一個標(biāo)簽時，需要構(gòu)造M個新的標(biāo)簽，每個標(biāo)簽都用于標(biāo)記每輛車的新行程的位置。當(dāng)達到節(jié)點N時，選擇和節(jié)點N相關(guān)的帶有最低成本c(L)的標(biāo)簽L，可以形成相關(guān)的解決方案。

為了加快這個標(biāo)記過程，按照下列規(guī)則淘汰支配標(biāo)簽: 讓L1和L2成為和同一個節(jié)點i∈V′相關(guān)的兩個標(biāo)簽。當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件時，稱為L1強勢支配L2：

(13)

在式(13)中，c(L)是和標(biāo)簽L相關(guān)的成本，δj(L1,L2)=max{0,Tj(L1)-Tj(L2)}，其中Tj(L)是和標(biāo)簽L相關(guān)的車輛j的行駛時間。這樣，對于給定兩個標(biāo)簽L1和L2，如果擴展L1而不以同樣方式擴展L2的話，就會受到更多時間窗違規(guī)引起的處罰。如果不等式(13)成立，L2就不能采用比L1更好的方法進行擴展，那么L2就會被淘汰。

后面初步的計算實驗顯示這個過程的時間效率比較低。為此提出了一種啟發(fā)式版本的支配規(guī)則，并引入一個參數(shù)γ≥1。當(dāng)且僅當(dāng)下列條件滿足時，稱為L1弱勢支配L2：

(14)

c(L1)≤c(L2)

(15)

值得注意的是當(dāng)γ=1時，弱勢支配規(guī)則等價于強勢的版本。γ>1時，不等式(14)很容易滿足，可以刪除大量的標(biāo)簽。添加條件(15) 是因為當(dāng)γ>1時，即使在條件下c(L2)

γ的值是按照與每個節(jié)點相關(guān)的標(biāo)簽數(shù)量進行動態(tài)調(diào)整的，采用式(16)表示:

(16)

這里|Li|是與節(jié)點i相關(guān)聯(lián)的標(biāo)簽數(shù)量，Lt是一個閾值參數(shù)，表示應(yīng)該與每個節(jié)點關(guān)聯(lián)的標(biāo)簽數(shù)量。應(yīng)用關(guān)系表達式(16)后，如果γ小于1，就會被置回為1，這是由于γ<1的強勢標(biāo)簽被保留。Lt越低，標(biāo)記過程也就越快，獲得解決方案的質(zhì)量也就越差。

3 數(shù)值實驗

3.1 自定義實例

Li計算如下:

1)如果si<240

_Li=240 概率為 0.7;

_Li=360 概率為0.2;

_Li=480概率為0.1.

2)如果240≤si<360

_Li=360概率為0.6;

_Li=480概率為0.4；

3)否則Li=480

發(fā)貨時間Ri由下面決定:

Ri=0概率為0.5；否則Ri隨機分布在 [0,Rσ]， 其中Rσ=minj∈σ{Tσ-sj,Lj-sj}和i∈σ。

最后Ei=Ri+S0+T0i，就可以創(chuàng)建帶有若干客戶和車輛數(shù)的多個樣例。

3.2 確定Lt

為了確定Lt的值，隨機生成一個帶有60個染色體的實例，其中客戶數(shù)N=20，車輛數(shù)M=8。然后，采用帶有不同Lt值的強勢支配規(guī)則和弱勢支配規(guī)則分別通過輔助分割過程進行評估，結(jié)果如表1。

可以注意到，使用強勢支配規(guī)則分割一個染色體平均需要超過3分鐘，這證明了引入弱勢支配規(guī)則的合理性。從表1可以看到獲得解決方案的質(zhì)量在有所下降，成本增加，但是Lt遞減的過程下降更快。

表1 支配規(guī)則的比較Table 1 Comparison of dominated rules

注：對一個M=8和N=20的樣例的60條染色體進行輔助分割(時間單位:秒)。

3.3 仿真結(jié)果

為了驗證本算法的有效性，在MATLAB 2013a的環(huán)境下進行編程，并進行了相關(guān)測試和分析。其中實驗電腦配置為Intel Core I7/8G/Win8.1操作系統(tǒng)。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的相關(guān)參數(shù)指定如下。

客戶數(shù)為20；配送中心坐標(biāo)值為(20,30)，客戶坐標(biāo)值為(0,50)之間的隨機值；配送車輛總數(shù)為8，車輛載貨量為10；車輛行駛速度為60；假定每輛車可能產(chǎn)生的行程數(shù)為3， 客戶需求采用均勻分布的隨機數(shù)，范圍為1～4；客戶服務(wù)時間采用均勻分布的隨機數(shù)，范圍為5～10 min，3個時間間隔[6,9]、[12,15]和[18,21]分別用于生成3個不同行程的時間窗[Ei,Li]以及Ri的值；車輛的配置成本為200，由于遲到產(chǎn)生的違反時間窗的成本為300，單位里程的運輸成本為30。

分別采用人工蜂群算法(artificial bee colony，ABC)[19]，雜草優(yōu)化算法(invasive weed optimization，IWO)[20]，粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)[21]，和筆者提出的改進混合遺傳算法(hybrid genetic algorithm，HGA)進行了對比。其中ABC參數(shù)設(shè)置為：算法最大迭代次數(shù)800次，雇傭蜂數(shù)量100只，觀察蜂數(shù)量100只，偵查蜂步數(shù)為50，加速度系數(shù)上限為1，慣性權(quán)重阻尼比為0.99。IWO參數(shù)設(shè)置為：算法最大迭代次數(shù)800次，初始種群數(shù)目為10，最大種群數(shù)目為30，最小種子數(shù)目為2，最大種子數(shù)目為10，方差縮減指數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差初始值為0.5，標(biāo)準(zhǔn)差最終值為0.001。PSO算法參數(shù)設(shè)置為：算法最大迭代次數(shù)為800次，種群數(shù)目為100，權(quán)重為1，慣性權(quán)重阻尼比為0.99，個人學(xué)習(xí)參數(shù)為1.5，全局學(xué)習(xí)參數(shù)為2。 HGA算法參數(shù)設(shè)置為：最大迭代次數(shù)800次，種群數(shù)目50，交叉概率0.8，變異概率0.2，減速系數(shù)為1，局部搜索概率為0.4，局部搜索歩長為10。

圖1～圖4為采用不同算法進行3個行程貨物配送的優(yōu)化路線圖。

圖1 HGA算法優(yōu)化多行程路線Fig. 1 The multi-trip roadmap of HGA algorithm optimization

圖2 ABC算法優(yōu)化多行程路線Fig. 2 The multi-trip roadmap of ABC algorithm optimization

圖3 IWO算法優(yōu)化多行程路線Fig. 3 The multi-trip roadmap of IWO algorithm optimization

圖4 PSO算法優(yōu)化多行程路線Fig. 4 The multi-trip roadmap of PSO algorithm optimization

圖5 算法收斂Fig. 5 The algorithm convergence graph

各個仿真程序運行獲得的收斂曲線如圖5。在圖5的仿真結(jié)果中，在相同的數(shù)學(xué)模型條件下，采用HGA獲得的最優(yōu)成本為33 568；采用ABC獲得的最優(yōu)成本為37 450；采用PSO獲得的最優(yōu)成本為33 950；采用IWO獲得的最優(yōu)成本為35 065。通過比較證明，這四種算法中HGA獲得的成本最低。

4 結(jié) 語

介紹了一種帶時間窗和發(fā)貨時間的多行程車輛路徑問題。這個問題特別適用于城市物流環(huán)境，即物流卡車把貨物不斷地送到城市配送中心，再由配送中心倉庫中的有容量限制的電動三輪車等小型車輛進行多次地配送。提出了一個基于輔助分割過程的改進混合遺傳算法來處理這個問題，結(jié)合時間窗、發(fā)貨時間和多行程等約束條件進行數(shù)學(xué)建模，引入了一組實例，通過和文獻中提出的人工蜂群算法、雜草優(yōu)化算法、粒子群算法進行對比，仿真實驗結(jié)果證明，該改進的混合遺傳算法具有較高的可行性和使用效率。

同時需要說明的是，遺傳算法是尋優(yōu)的一種計算方法，多行程的路徑尋優(yōu)問題的復(fù)雜性在于網(wǎng)絡(luò)路徑交通動態(tài)的本身，雖然考慮了路徑時間問題，但路徑的實際時間是隨著交通流等多種因素的影響而變化的，比如交通阻塞、車輛故障、緊急狀況等，如果把這些因素納入約束條件，必將導(dǎo)致動態(tài)尋優(yōu)的過程會更加復(fù)雜，這些可以作為以后的研究內(nèi)容進一步研究。