□ 方志遠 □ 張秀文

青島科技大學機電工程學院 山東青島 266061

1 研究背景

齒輪傳動廣泛應(yīng)用于機械、汽車、航空航天及機器人等領(lǐng)域中，是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)［1-2］。由于齒輪時變嚙合剛度和傳動中間隙的存在及其它因素，會導致齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜的動力學行為，其中包括準周期振動、混沌振動等［3-4］，這些振動往往伴隨無規(guī)律的隨機振動。在齒輪加工過程中，由于環(huán)境、人為因素，每個齒輪的結(jié)構(gòu)尺寸并不完全相同，從而導致在實際傳動過程中對運行結(jié)果產(chǎn)生影響［5］。因此，對于隨機參數(shù)對齒輪影響的研究是非常有必要的。

在很長一段時間內(nèi)，國內(nèi)外學者對隨機非線性系統(tǒng)進行了很多理論分析和試驗研究。WANG等［6］對非白噪聲誤差激勵下的齒輪傳動系統(tǒng)建模問題進行了深入討論。盧劍偉等［7］利用分岔圖及最大李雅普諾夫指數(shù)等，對考慮隨機裝配側(cè)隙的齒輪副系統(tǒng)動力學性能進行了分析。陳會濤等［5］建立了單對齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)非線性動力學模型，分析了齒輪綜合傳遞誤差波動和外部載荷對系統(tǒng)振幅和動態(tài)嚙合力的影響。Velex等［8］對非線性隨機參數(shù)系統(tǒng)的振動可靠度進行了計算。陳思雨等［9］研究了輪齒隨機間隙對齒輪系統(tǒng)動力學響應(yīng)的影響。劉夢軍等［10］研究了分析系統(tǒng)非線性隨機動力特性及全局初值特性的方法。

分階式雙漸開線齒輪是綜合了漸開線齒輪和雙圓弧齒輪優(yōu)點的一種新型齒輪［11］，其與普通漸開線齒輪最大的區(qū)別在于工作齒廓由兩段相錯的漸開線組成，中間以一段圓弧包絡(luò)線或一段過渡曲線連接，齒頂與齒根兩段漸開線齒廓呈階梯式布置，而普通漸開線齒輪的工作齒廓僅由圓弧構(gòu)成。

筆者建立基于雙漸開線齒輪傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動力學模型，討論在隨機振動情況下嚙合阻尼比對雙漸開線齒輪擾動及系統(tǒng)動力學的影響。

2 雙漸開線齒輪振動模型

建立雙漸開線齒輪振動模型，需要根據(jù)齒輪的不同情況，綜合考慮嚙合剛度、輸入力矩、阻尼比、齒側(cè)間隙、激勵頻率等多種因素的隨機擾動。建模時不考慮齒面摩擦的情況，采用集中質(zhì)量法。將雙漸開線齒輪振動模型簡化為齒輪副扭轉(zhuǎn)振動力學模型，如圖1所示。

圖1中，雙漸開線齒輪主動輪P和從動輪G的基圓半徑分別為Rp、Rg，將傳動軸、軸承和箱體等的支承剛度和阻尼系數(shù)分別用組合等效值 kpy、kgy、cpy、cgy來表示。mp和mg分別為主從動輪的質(zhì)量，Ip和 Ig分別為主從動輪的轉(zhuǎn)動慣量，ωp和 ωg分別為主從動輪的激勵頻率，e為齒輪嚙合綜合誤差，km和cm分別為齒輪副嚙合的綜合剛度系數(shù)和綜合阻尼系數(shù)。

齒輪的靜態(tài)傳遞誤差e（t）是客觀存在且隨時間變化的周期函數(shù)，以嚙合頻率為基準對e（t）進行傅里葉級數(shù)展開：

式中：ωh為無量綱激勵頻率。

考慮到由e（t）引起的高頻內(nèi)部激勵和由輸入扭矩波動引起的低頻外激勵，忽略輸出扭矩的波動，于是有：

式中：Tp為輸入扭矩；Tpm為輸入扭矩的平均值；Tpn（t）為輸入扭矩的變化值；Tg為輸出扭矩；Tgm為輸出扭矩的平均值。

雙漸開線齒輪振動模型具有4個自由度，分別為主從動輪繞旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動自由度和沿Y軸方向的平移自由度，4 個自由度的振動位移分別為 θp、θg、yp、yg，速度分別為加速度分別為

根據(jù)推導，可以得到系統(tǒng)的分析表達式為：

式中：mp、mg、Ip、Ig分別為主從動輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；cpy和cgy分別為主從動輪的平移振動阻尼系數(shù)；kpy和kgy分別為主從動輪的平移振動剛度系數(shù)；βb為雙漸開線齒輪的螺旋角；Fg和Fg分別為主從動輪受到的外力。

根據(jù)式（4）～式（7），可以推導出：

對式（8）～式（11）進行無量綱化處理，令 x1=yp，x2=為齒輪傳動的相對扭轉(zhuǎn)位移，為齒輪傳動的相對扭轉(zhuǎn)速度，得到狀態(tài)方程：

式中：Fb1和Fb2分別為主從動輪軸上軸承對齒輪的無量綱作用力；k1和k2分別為主從動輪的無量綱嚙合剛度；c1Δ、c2Δ、c3Δ和 c4Δ分別為無量綱阻尼比的隨機擾動系數(shù)；c為無量綱阻尼比；Fah為齒輪綜合嚙合剛度誤差；FΔ為無量綱輸入力矩的隨機擾動量；ωΔ為無量綱激勵頻率的隨機擾動因數(shù)；Fm為無量綱切向平均作用力；kp（t）和 ky（t）分別為主從動輪嚙合剛度隨時間變化的函數(shù)；kpy（t）為主從動輪耦合后隨時間變化的函數(shù)；fh（x5）為齒輪嚙合非線性函數(shù)。

3 非線性動力學特性分析

不同的參數(shù)變量變化使系統(tǒng)的運動特性變化不同，所以在不同的參數(shù)情況下，系統(tǒng)會有不同的響應(yīng)。當雙漸開線齒輪受到外界擾動時，系統(tǒng)響應(yīng)特性會隨之發(fā)生變化。為了確定嚙合阻尼比作為隨機擾動因素對系統(tǒng)動力學性能的影響，首先不加入隨機擾動，分析動力學性能，然后加入隨機擾動，并與無隨機擾動的系統(tǒng)進行對比，從而得到不同隨機擾動情況下的系統(tǒng)嚙合阻尼規(guī)律。選用變步長的龍格-庫塔法對系統(tǒng)動力微分方程逐步積分，選取系統(tǒng)的無量綱參數(shù)如下：Fah=0.05，ωh=0.34，F(xiàn)m=0.01，F(xiàn)b1=0.2，F(xiàn)b2=0.2，F(xiàn)Δ=0，k1=1.5，k2=1.5，ωΔ=0。取初始狀態(tài) x1（0）=0，x2（0）=0，x3（0）=0，x4（0）=0，x5（0）=0，x6（0）=0，在隨機狀態(tài)下以嚙合阻尼為分岔參數(shù)，取c=0.18并依次減小嚙合阻尼的大小，令c1Δ=0.012，c2Δ=0.012，c3Δ=0.012，c4Δ=0.012。

將所取數(shù)值代入式（12），利用四階龍格-庫塔法進行數(shù)值分析仿真，從而得到無隨機擾動和有隨機擾動兩種不同情況的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，如圖2～圖5所示，圖中X1為無量綱位移，X2為無量綱速度。

由圖2～圖5可以看出，當c=0.18時，動態(tài)響應(yīng)為近似橢圓形狀，隨機振動對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響微乎其微；當c=0.14時，動態(tài)響應(yīng)為非圓閉合曲線，無隨機振動的動態(tài)響應(yīng)為一條光滑的閉合曲線，而有隨機振動的動態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)多條纏繞的曲線，此時可以明顯看出隨機振動對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響；當c=0.07時，動態(tài)響應(yīng)與c=0.14時基本保持相同，但是纏繞的曲線增多，且有隨機振動的動態(tài)響應(yīng)曲線明顯增多，說明隨機振動對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生影響。當c=0.058 5時，動態(tài)響應(yīng)的圖像為封閉曲線，變化趨于混亂，幅值明顯增大，且有隨機振動的動態(tài)響應(yīng)變化幅度相對明顯。

4 結(jié)束語

▲圖2 c=0.18時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

▲圖3 c=0.14時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

▲圖4 c=0.07時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

▲圖5 c=0.058 5時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

建立雙漸開線齒輪振動模型，對其非線性動力學進行分析，在確保無關(guān)參數(shù)不影響試驗的情況下，加入隨機振動進行分析，獲得不同嚙合阻尼下的動態(tài)響應(yīng)，從而反映不同隨機擾動情況下系統(tǒng)嚙合阻尼的變化規(guī)律［12］。分析結(jié)果表明，隨著嚙合阻尼的變小，動態(tài)響應(yīng)愈發(fā)趨于不規(guī)則。有隨機振動的動態(tài)響應(yīng)和無隨機振動的動態(tài)響應(yīng)變化趨勢接近，有隨機振動的動態(tài)響應(yīng)相對變化程度較大，說明隨機振動會對雙漸開線齒輪傳動產(chǎn)生不利影響。影響雙漸開線齒輪傳動的非線性因素有很多，實際使用過程中都是隨機變化的，需要特別注意。