王永帥，陳增強(qiáng),2，孫明瑋，孫青林

（1. 南開大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，天津 300350; 2. 天津市智能機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350）

時(shí)滯系統(tǒng)廣泛存在于現(xiàn)代過(guò)程控制工業(yè)中，例如冶金、化工、煉油等工業(yè)。一般認(rèn)為純遲延時(shí)間與過(guò)程的時(shí)間常數(shù)T之比大于0.3則說(shuō)明該過(guò)程是具有大遲延的工藝過(guò)程。滯后時(shí)間越大，系統(tǒng)越難控，而且對(duì)控制品質(zhì)極為不利，因此，大時(shí)滯系統(tǒng)受到了理論和應(yīng)用領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。O.J.M.Smith[1]于1957年提出了著名的針對(duì)純滯后系統(tǒng)的Smith預(yù)估器[2-3]，有效解決了控制量不能及時(shí)作用于被控對(duì)象的問(wèn)題。但是，Smith預(yù)估器不具備任何抑制擾動(dòng)的能力，當(dāng)存在外界干擾時(shí)，控制性能將會(huì)大大下降。由此出現(xiàn)了自適應(yīng)控制[4-5]、預(yù)測(cè)控制算法[6-7]、魯棒控制算法[8]和各種智能算法等[9-10]。但是只能解決時(shí)滯時(shí)間較小的控制問(wèn)題。

20世紀(jì)80年代末，韓京清研究員提出了自抗擾技術(shù)，由于能夠?qū)崟r(shí)估計(jì)和補(bǔ)償擾動(dòng)，受到了控制領(lǐng)域的廣泛關(guān)注，并成功應(yīng)用于各種不確定系統(tǒng)。針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)，韓京清[11]研究員提出了無(wú)視時(shí)滯法、一階慣性環(huán)節(jié)近似法、輸入預(yù)測(cè)法和輸出預(yù)測(cè)4種方法，但是隨著時(shí)滯增大控制效果變差。由于自抗擾技術(shù)的各種實(shí)用優(yōu)點(diǎn)和需調(diào)參數(shù)太多等原因，美國(guó)克利夫蘭州立大學(xué)的高志強(qiáng)教授[12]提出了線性自抗擾方法，大大簡(jiǎn)化了調(diào)參工作量，而且線性自抗擾的分析相對(duì)容易，現(xiàn)在已經(jīng)有很多文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行了理論分析[13-16]。

因此，將具有實(shí)時(shí)估計(jì)補(bǔ)償擾動(dòng)能力的線性自抗擾技術(shù)與解決純時(shí)滯問(wèn)題的Smith預(yù)估器相結(jié)合，來(lái)解決大時(shí)滯系統(tǒng)的控制問(wèn)題。已有學(xué)者進(jìn)行了一些相關(guān)研究，文獻(xiàn)[17]在模型大約已知的條件下，將ADRC-Smith與基于時(shí)滯的擾動(dòng)補(bǔ)償觀測(cè)器、PI-Smith在魯棒性能和抗擾能力方面進(jìn)行了比較，并進(jìn)行頻域分析，說(shuō)明了ADRC-Smith控制性能更好，并對(duì)化學(xué)反應(yīng)器濃度控制進(jìn)行了仿真測(cè)試，對(duì)鍋爐的氧濃度控制進(jìn)行了仿真測(cè)試和實(shí)際結(jié)果的對(duì)比；文獻(xiàn)[18]分析了ADRC-Smith的性能，并通過(guò)改進(jìn)差分算法整定控制參數(shù)，最后與ADRC、PI-Smith、PI 3種控制器進(jìn)行仿真比較。

在上述基礎(chǔ)上，本文研究了在被控對(duì)象準(zhǔn)確已知和大約已知兩種情況下，LADRC-Smith控制方法的穩(wěn)定條件和Smith預(yù)估器參數(shù)選擇問(wèn)題，通過(guò)MATLAB仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，并仿真分析了參數(shù)攝動(dòng)對(duì)系統(tǒng)各個(gè)性能指標(biāo)的影響。

1 線性自抗擾的基本原理

線性自抗擾以線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(linear extended state observer，LESO)為核心，包含了狀態(tài)和擾動(dòng)估計(jì)、誤差反饋和擾動(dòng)補(bǔ)償幾部分，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖 1 一階系統(tǒng)線性自抗擾控制結(jié)構(gòu)Fig. 1 Diagram of LADRC for first-order systems

下面以一階系統(tǒng)為例，假定不含時(shí)滯的一階被控對(duì)象用微分方程表示為

式(1)所描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

根據(jù)式(2)設(shè)計(jì)的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為

2 大時(shí)滯系統(tǒng)的LADRC-Smith設(shè)計(jì)

通常，一階大時(shí)滯被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型為

Smith 預(yù)估器原理結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖 2 Smith預(yù)估器結(jié)構(gòu)Fig. 2 Diagram of Smith predictor

這樣，當(dāng)Smith預(yù)估器參數(shù)與被控對(duì)象相同時(shí)，進(jìn)入LESO的被控輸出，和在時(shí)間上同步，從而得到一階系統(tǒng)的整個(gè)LADRC-Smith結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖 3 LADRC-Smith系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig. 3 Diagram of the LADRC-Smith system

3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(3)和式(5)，可以得到表達(dá)式：

結(jié)合狀態(tài)誤差反饋控制率式(4)，可以得到系統(tǒng)的典型單回路反饋控制結(jié)構(gòu)框圖如圖4。

圖 4 LADRC-Smith單回路結(jié)構(gòu)Fig. 4 The single loop diagram of LADRC-Smith

其中：

從而可以得到系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)：

3.1 條件分析

下面從被控對(duì)象模型準(zhǔn)確已知和大約已知兩個(gè)方面分析LADRC-Smith的條件穩(wěn)定性。

3.1.1 被控模型準(zhǔn)確已知

命題1 當(dāng)被控對(duì)象模型準(zhǔn)確已知時(shí)，Smith預(yù)估器與被控模型參數(shù)完全相同，只要3個(gè)控制參數(shù)為正，系統(tǒng)輸出是穩(wěn)定的。

證明

只有分子中包含時(shí)滯，不會(huì)影響系統(tǒng)的最終穩(wěn)定性，因此可以利用勞斯判據(jù)對(duì)系統(tǒng)特征方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析[19]。

證畢。

3.1.2 被控模型大約已知

假設(shè)：

證明

閉環(huán)特征方程為

對(duì)被控系統(tǒng)特性進(jìn)行仿真發(fā)現(xiàn)，針對(duì)大慣性環(huán)節(jié) ，當(dāng)時(shí)間常數(shù)T攝動(dòng)較小時(shí)(即)，和輸出非常接近；當(dāng)較小時(shí)，可以進(jìn)行Taylor展開，但對(duì)于大時(shí)滯對(duì)象，Taylor展開不適用，而Pade近似更精確。所以，為了能夠定性分析，作如下近似：

從而，式(16)可以轉(zhuǎn)化為

式中

根據(jù)勞斯判據(jù)，定性得到了一個(gè)近似的穩(wěn)定充分條件：

證畢。

3.2 仿真驗(yàn)證

3.2.1 Smith預(yù)估器參數(shù)與被控對(duì)象相同

由圖5可以看出，當(dāng)Smith預(yù)估器的參數(shù)與被控對(duì)象完全相同時(shí)，只要3個(gè)被調(diào)參數(shù)為正，系統(tǒng)輸出最終是穩(wěn)定的，但是動(dòng)態(tài)過(guò)程跟參數(shù)選擇十分密切，參數(shù)調(diào)節(jié)與性能關(guān)系將在下面討論。

3.2.2 Smith預(yù)估器參數(shù)與被控對(duì)象不同

當(dāng)Smith預(yù)估器參數(shù)與被控對(duì)象參數(shù)不相同時(shí)，按照命題2的近似充分條件選擇Smith預(yù)估器參數(shù)，控制參數(shù)隨意給定，然后進(jìn)行仿真驗(yàn)證，如圖6所示。

圖 5 被控對(duì)象準(zhǔn)確已知時(shí)的階躍響應(yīng)Fig. 5 Step response when plant is accurately known

圖 6 被控對(duì)象大約已知時(shí)的階躍響應(yīng)Fig. 6 Step response when plant is approximately known

可以看出，當(dāng)Smith預(yù)估器參數(shù)與被控對(duì)象不相同時(shí)，根據(jù)命題2選擇參數(shù)，由于是近似條件，系統(tǒng)最終可能不穩(wěn)定，與控制參數(shù)選擇也相關(guān)，所以，命題2有一定的局限性，但也有一定的參考意義，控制參數(shù)與性能的關(guān)系將在下面分析。

4 參數(shù)分析與設(shè)計(jì)原則

4.1 系統(tǒng)參數(shù)

Smith預(yù)估器參數(shù)為

圖 7 LADRC-Smith奈氏曲線圖Fig. 7 Nyquist diagram of LADRC-Smith

表 1 被控對(duì)象參數(shù)攝動(dòng)的穩(wěn)定邊界值Table 1 Stable boundary when parameters perturbation

4.1.1 K變化對(duì)系統(tǒng)的影響

如表2和圖8可以看出：

表 2 K變化的性能指標(biāo)Table 2 Performance index when K changes

圖 8 K變化的階躍響應(yīng)(帶擾動(dòng))和Bode圖Fig. 8 Step response with disturbance and Bode diagram for K

如表3和圖9可以看出：

表 3 T變化的性能指標(biāo)Table 3 Performance index when T changes

圖 9 變化的階躍響應(yīng)(帶擾動(dòng))和Bode圖Fig. 9 Step response with disturbance and Bode diagram for

如表4和圖10可以看出：

表 4 變化的性能指標(biāo)Table 4 Performance index when changes

表 4 變化的性能指標(biāo)Table 4 Performance index when changes

GM/dB 3.28 5.44 5.8 5.53 5.02 PM/(°) 69.2 63.8 58.5 53.1 47.8 (×10–4) 5.18 5.18 5.18 5.18 5.18 DM/s 2 330 2 150 1 970 1 790 1 610 Mp/% 29.53 15.04 0.18 14.73 29.13 tr/s 19 982 7 388.5 3 753.5 7 388.5 26 320 Md/% 15.94 15.93 15.93 15.93 16.68 td/s 14 362 5 595 3 804 5 679 21 525

圖 10 變化的階躍響應(yīng)(帶擾動(dòng))和Bode圖Fig. 10 Step response with disturbance and Bode diagram for

下面進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)如上同一被控對(duì)象，選擇同一控制參數(shù)設(shè)計(jì)3個(gè)Smith預(yù)估器、和：

進(jìn)行時(shí)域和頻域分析，如圖11所示。

表 5 不同Smith預(yù)估器的性能指標(biāo)Table 5 Performance index for different Smith predictors

圖 11 不同預(yù)估器的階躍響應(yīng)和Bode圖Fig. 11 Step response and Bode diagram for different predictors

4.2 控制參數(shù)

圖 12 變化的階躍響應(yīng)(帶擾動(dòng))和Bode圖Fig. 12 Step response with disturbance and Bode diagram for

表 6 變化的性能指標(biāo)Table 6 Performance index when changes

表 6 變化的性能指標(biāo)Table 6 Performance index when changes

b0(K/T) 0.1 0.5 1 2 3 GM/dB 5.98 5.85 5.77 5.8 5.95 PM/(°) 59.9 59.4 59 58.5 58.3 DM/s 1 810 1 830 1 880 1 970 2 080穿越頻率 (×10–4) 5.78 5.65 5.49 5.18 4.89

1) 系統(tǒng)響應(yīng)變慢，振蕩消失，出現(xiàn)了超調(diào)；

2) 當(dāng)擾動(dòng)出現(xiàn)時(shí)，擾動(dòng)偏離量和擾動(dòng)恢復(fù)時(shí)間增加，抗擾性能變?nèi)酰?/p>

3) 增益裕度先減小后增加，相角裕度減小，時(shí)滯裕度增加，穿越頻率減小。

圖 13 變化的階躍響應(yīng)(帶擾動(dòng))和Bode圖Fig. 13 Step response with disturbance and Bode diagram for

表 7 變化的性能指標(biāo)Table 7 Performance index when changes

表 7 變化的性能指標(biāo)Table 7 Performance index when changes

wc 0.001 0.01 0.1 1 10 GM/dB 6.7 5.48 5.69 5.73 5.73 PM/(°) 61.5 58.7 59.3 59.4 59.4 DM/s 2 370 1 830 1 810 1 810 1 810穿越頻率 (×10–4) 4.53 5.61 5.72 5.73 5.74

可以看出：隨著控制器帶寬增加，1) 系統(tǒng)響應(yīng)變快，出現(xiàn)了超調(diào)；2) 抗擾性能增強(qiáng)，擾動(dòng)偏離量和擾動(dòng)恢復(fù)時(shí)間減??；3) 增益裕度和相角裕度先減小后增加，時(shí)滯裕度減小，穿越頻率增加。

圖 14 變化的階躍響應(yīng)(帶擾動(dòng))和Bode圖Fig. 14 Step response with disturbance and Bode diagram for

表 8 wo變化的性能指標(biāo)Table 8 Performance index when wo changes

可以看出：隨著觀測(cè)器帶寬增加

1) 系統(tǒng)響應(yīng)變快，調(diào)節(jié)時(shí)間變短；

2) 抗擾性能增強(qiáng)，擾動(dòng)偏離量和擾動(dòng)恢復(fù)時(shí)間減??；

3) 增益裕度和相角裕度先減小后增加，時(shí)滯裕度減小，穿越頻率增加。

綜上，可以得到如下控制參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)則：

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)大時(shí)滯系統(tǒng)，研究了基于Smith預(yù)估器的線性自抗擾控制的穩(wěn)定條件，通過(guò)MATLAB仿真進(jìn)行驗(yàn)證，并分析了系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響，得出以下結(jié)論：

1) 當(dāng)被控對(duì)象準(zhǔn)確已知，Smith預(yù)估器參數(shù)與被控對(duì)象相同時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)被控對(duì)象大約已知時(shí)，根據(jù)穩(wěn)定的近似充分條件選擇Smith預(yù)估器參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)性能需要適當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)，系統(tǒng)更易穩(wěn)定。

3) 本文分析建立在被控對(duì)象大約已知的基礎(chǔ)上，限制了實(shí)際應(yīng)用，而且Smith預(yù)估器參數(shù)與被控對(duì)象不同時(shí)的近似充分條件并不能保證系統(tǒng)一定穩(wěn)定，有一定局限性。所以對(duì)模型未知情況下的系統(tǒng)控制和穩(wěn)定性證明需要進(jìn)一步探索。