陳文利，樊亞云, 殷娟娟

(西安培華學(xué)院智能科學(xué)與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710125)

基于在散射態(tài)的研究中肯定了原子核的存在，系統(tǒng)的散射態(tài)解析解及相對應(yīng)的本征值包含著有效的量子信息，散射理論的研究越來越引起大家的注意，然而除了氫原子和核諧振子之外大部分量子體系都不能解析求解。為了求解散射態(tài)解析解及散射相移，近似表達(dá)非線性離心項是求解不同量子系統(tǒng)的可行手段，逐步形成了指數(shù)形式[1-2]、Pekeris形式[3-4]等近似辦法，利用這些近似辦法將徑向薛定諤方程化簡為可解的微分方程。為了獲得更廣泛的應(yīng)用，我們注意到兩個或更多勢的組合給不同的應(yīng)用提供了一個重要的結(jié)果[5-6]。例如，Onate等求解了包括了由Hallmann 勢場、Yukawa勢場、庫侖勢場組成的組合勢場的薛定諤方程[7]。由Rosen-Morse、P?schl-Teller 和 Scarf 勢組合而成的廣義反雙曲勢場的薛定諤方程的束縛態(tài)被解析求解[8]。最近我們注意到Hellmann-廣義Morse勢，其表達(dá)式為[9]

(1)

其中：De為離解能；re平衡鍵長度；a,b為勢長；α勢屏參數(shù)。當(dāng)取定不同參數(shù)時，勢場可退化為Hellmann勢場、廣義 Morse勢場、Yukawa 勢。然而，由于其薛定諤方程中非線性中心項的存在，散射態(tài)的解析求解一直沒有被涉及。本文利用恰當(dāng)?shù)慕妻k法處理離心項，推導(dǎo)其薛定諤方程的散射態(tài)解析解，得到相對應(yīng)的散射態(tài)相移公式，數(shù)值求解特征值方程并和MATHEMATICA程序包所得數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，最后討論了簡化為屏蔽庫侖勢的特例。

1 散射態(tài)的近似解析解

球坐標(biāo)體系下薛定諤方程的表達(dá)式為

(2)

E為系統(tǒng)的能量本征值， 取勢函數(shù)為Hellmann-廣義Morse勢， 設(shè)波函數(shù)Ψnlm(r,θ,φ)=r-1unl(r)·Ylm(θ,φ)，并代入方程(2)得徑向方程為

(3)

由于離心項l(l+1)/r2的存在，方程(3)不能被解析求解，和我們先前處理離心項的辦法一樣[10-13]，本文利用近似公式

(4)

為了說明近似公式的有效性，取公式(4)中參數(shù)α不同時的近似公式曲線圖(見圖1)，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)α越小時，近似效果越好，取α=0.01時勢包處近似曲線幾乎重合于1/r2曲線，同時，繪制量子數(shù)n=1時徑向概率密度，勢包處束縛離子的幾率也是取到峰值。

圖1 勢函數(shù)、徑向概率密度、近似表達(dá)式關(guān)于r曲線

把近似公式(4)代入方程(3)中，徑向方程(3)可化簡為

(5)

引進(jìn)無量綱變量

z=1-e-αr，

(6)

定義c=(eαre-1),方程(5)化簡為

(7)

考慮邊界條件z→1(r→∞)，設(shè)徑向波函數(shù)的表達(dá)式為

(8)

其中，參數(shù)

(9)

將方程(8)代入方程(7)，化簡得

(10)

觀察微分方程(10)的結(jié)構(gòu)，其解恰為超幾何函數(shù)的表達(dá)形成

(11)

(12)

結(jié)合方程(8)和方程(11)，Hellmann-廣義Morse勢薛定諤方程的波函數(shù)解析表達(dá)式為

(13)

其中，N為歸一化常數(shù)。

為了研究散射態(tài)的解析性質(zhì)，方程(12)中的參數(shù)滿足關(guān)系

(14)

借助超幾何函數(shù)變換公式[14]

(15)

(16)

同時，利用

(17)

把方程(17)代入方程(16)中,波函數(shù)的漸進(jìn)行為可表示為

(18)

與散射態(tài)邊界條件u(r)→2sin(kr-(1/2)lπ+δl)(r→∞)[15]比較可知，相移δl和歸一化常數(shù)N可解析表示為：

(19)

(20)

進(jìn)一步討論散射振幅及其解析性，散射振幅可表示為[16]

(21)

(22)

結(jié)合方程(9)、(14)，解析求解方程(22)，特征值滿足的方程為

(23)

本文所推導(dǎo)出的特征值方程(23)和文獻(xiàn)[9]中所獲得束縛態(tài)能級公式(16)本質(zhì)是相同的。

2 討論

當(dāng)De=0時,勢函數(shù)化簡為屏蔽庫侖勢

(24)

相對應(yīng)的特征值方程(23)化簡為

(25)

對于得到的束縛態(tài)能級方程(25)，可以對a和b進(jìn)行賦值，讓屏蔽參數(shù)α作為能量方程的自變量，對束縛態(tài)能級-E進(jìn)行討論(見圖2)，隨著量子數(shù)增加，會導(dǎo)致粒子變得弱有界甚至是變成無界的，粒子在這些邊界是很容易被釋放的。

為了進(jìn)一步驗證推導(dǎo)的正確性, 取參數(shù)a=0,b=-1，勢函數(shù)簡化為一般屏蔽庫侖勢[17-18]，特征值方程(23)化簡為

(26)

數(shù)值求解特征值方程并和文獻(xiàn)[17]計算的結(jié)果進(jìn)行對比，從數(shù)值表2可以得到，本文求解得到的特征值數(shù)值解較先前數(shù)據(jù)更加接近MATHEMATICA程序包所得數(shù)據(jù)。

3 數(shù)值結(jié)果

取勢參數(shù)De=5，r=1.6,a=1,b=1，數(shù)值求解特征值方程(23)，并與MATHEMATICA程序包所得數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，數(shù)值結(jié)果(見表1)驗證了當(dāng)勢參數(shù)α越來越小，近似效果越好，和圖1中的分析是一致的。表2為退化為屏蔽庫侖勢本征值方程(26)數(shù)值解，本文所得數(shù)據(jù)較先期所得數(shù)據(jù)更好地逼近真實值。

表1 特征值數(shù)值解

表2 屏蔽庫侖勢特征值數(shù)值解

4 結(jié)論

對含有Hellmann-廣義Morse勢薛定諤方程，利用恰當(dāng)?shù)慕乒浇票硎倦x心項，求解了任意l波薛定諤方程散射態(tài)解析解，得到了復(fù)雜的相移公式及按超幾何函數(shù)表示的徑向波函數(shù)，利用波函數(shù)的漸近行為解析求解了能級方程。 數(shù)值計算了特征值的數(shù)值結(jié)果并和MATHEMATICA計算所得特征值進(jìn)行比較，驗證本文所求解的特征值更好地逼近真實值，同時討論了勢參數(shù)De=0的特例，并和我們先前計算一般屏蔽庫侖勢所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。