呂紅麗，宋玉晶，段培永

1965年，Zadeh[1]首次提出基于模糊集合的模糊數(shù)學(xué)概念。1974年，Mamdani[2]首先將模糊數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于工業(yè)控制中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)鍋爐和蒸汽機(jī)的模糊控制，使模糊控制從理論走向?qū)嶋H應(yīng)用。1985年，日本學(xué)者Takagi等[3]又提出了以線性精確數(shù)學(xué)表達(dá)式為模糊規(guī)則后件的T-S模糊模型，將模糊控制系統(tǒng)與線性控制系統(tǒng)有效地結(jié)合起來。隨后國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于T-S模糊模型，研究了非線性系統(tǒng)的大量控制問題，得到了豐富的模糊控制理論研究成果[4-9]。在T-S模糊模型的基礎(chǔ)上，F(xiàn)eng等[5-6]提出了模糊動(dòng)態(tài)模型(fuzzy dynamical model)。其主要思想是，構(gòu)造一組線性模型，分別描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，通過局部線性模型的加權(quán)組合得到系統(tǒng)的全局非線性動(dòng)態(tài)模型。文獻(xiàn)[10]中提出了一種離散時(shí)間模糊控制系統(tǒng)，將非線性離散時(shí)間系統(tǒng)作為模糊控制系統(tǒng)的后件部分，分析了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

1969年，Kauffman[11]首先提出布爾網(wǎng)絡(luò)模型，布爾網(wǎng)絡(luò)是關(guān)于布爾狀態(tài)變量的一種簡(jiǎn)單的邏輯動(dòng)力系統(tǒng)，是當(dāng)前學(xué)者專家們共同關(guān)心的熱點(diǎn)問題。針對(duì)布爾網(wǎng)絡(luò)研究缺少有效的數(shù)學(xué)工具問題，程代展教授在文獻(xiàn)[12]中首次提出矩陣半張量積方法。這種方法將邏輯運(yùn)算轉(zhuǎn)換成代數(shù)運(yùn)算，使得許多經(jīng)典的處理量變過程的數(shù)學(xué)工具可直接用來分析邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。在文獻(xiàn)[13]中，程代展教授將這種方法應(yīng)用于布爾網(wǎng)絡(luò)，將邏輯動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為普通離散時(shí)間系統(tǒng)，提出了一系列關(guān)于布爾網(wǎng)絡(luò)的新理論。隨后在文獻(xiàn)[14-17]中研究了布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的能控能觀性等性質(zhì)，形成了布爾控制網(wǎng)絡(luò)分析設(shè)計(jì)的完整理論框架。之后，學(xué)者們?cè)诳刂评碚摲矫鎸?duì)線性布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)做了大量的深入研究[18-23]，但是沒有針對(duì)非線性布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究。

為了解決非線性布爾網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)建模與分析問題，利用模糊動(dòng)態(tài)模型的非線性特點(diǎn)，將模糊動(dòng)態(tài)模型和布爾控制網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，建立了模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的局部模型和全局模型，并且分別分析了系統(tǒng)局部模型和全局模型的能控性、能觀性和穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 數(shù)學(xué)符號(hào)說明

為了敘述方便，文中用到的記號(hào)列表如下：Mm×n表示所有 m ×n矩 陣的集合，?表示矩陣的張量積 ； Col(A)(Row(A))為 矩 陣 A 的 列(行)集 合 ；Col(Ai)(Row(Ai))為矩陣 A 的 第 i 列(行)；記 δin是單位矩 陣 In的 第i 列 ； Δn=δin|i=1,2,···,n；Dk={0,1,···,k?1},k≥2。記邏輯變量：真 ～ T?1，假 ～ F?0，則D={0,1}；f:Dn→D 稱 為 邏 輯 函 數(shù) ； L ∈ Mn×r,稱L 為邏輯矩陣，如果 C ol(L)? Δm,m×r維邏輯矩陣全體記為 Lm×r；設(shè)矩陣 L ∈ Mn×r。其[中， C ol(L)]? Δn,稱L 為邏輯矩陣，可簡(jiǎn)記為 L =δni1i2···ir；矩陣B ∈ Mm×n為 布 爾 矩 陣 ， 如 果B中(bi,j)∈D,m×n維布爾矩陣全體記為 Bm×n。

1.2 模糊動(dòng)態(tài)模型

模糊動(dòng)態(tài)模型是非線性復(fù)雜系統(tǒng)模糊建模中一種典型的模糊建模方法。模糊動(dòng)態(tài)模型每條規(guī)則的后件部分是一種狀態(tài)空間形式的局部線性系統(tǒng)，因此對(duì)于局部的線性模型可以采用線性系統(tǒng)的理論體系去研究，然后通過模糊推理得到全局意義下的模糊控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。

一個(gè)m個(gè)輸入n個(gè)輸出的非線性系統(tǒng)，其模糊s控制器可表示為 Σ ∈ f(y1×y2···×yn× x1× x2···× xm)，其中 {xi}是模糊控制器的輸入，論域?yàn)?Exi, { yi}是模糊控制器的輸出，論域?yàn)?Eyj。將模糊變量 xi,yj按照隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化, Exi={xi1,xi2,···,xiαi},i=1,2,···,m，分別對(duì)應(yīng)于“負(fù)大”“負(fù)中”·· ·是基于隸屬度的模糊集 合 ； Eyj={y1j,y2j,···,yβjj},j=1,2,···,n,分 別 對(duì) 應(yīng) 于“負(fù)大”“負(fù)中”·· ·是基于隸屬度的模糊集合。

假設(shè)總共有 N 條模糊規(guī)則，則第 k條模糊規(guī)則為 Rk, k =1,2,···,N，其模糊規(guī)則為

式中： Aik是一個(gè)模糊集合； yjk是第 k條模糊規(guī)則的第 j 個(gè)輸出， j =1,2,···,n ；是第 k條模糊規(guī)則結(jié)論中第 j 個(gè)輸出的線性多項(xiàng)式函數(shù)中變量 xi項(xiàng)的系數(shù)，一般為常數(shù)項(xiàng)，特別的通?？梢詺w一化為1。

對(duì) 于 第 k 條 規(guī) 則 Rk，如 果 已 知 輸 入x1=x?1,x2=x?2, ···,xm=x?m,則 在結(jié) 論部 分的 輸出 yjk可 以由線性多項(xiàng)式函數(shù)計(jì)算得到：

每條規(guī)則的激活度 μi為

式中： μAik(x?i)表示論域中第i 個(gè)元素對(duì) Aik的隸屬度，∧是取小運(yùn)算。

模糊動(dòng)態(tài)模型的輸出 yj是由所有 k條規(guī)則(k=1,2,···,N )的輸出加權(quán)平均得到的。模型的輸出為

1.3 邏輯的矩陣表示

矩陣的半張量積是中科院系統(tǒng)所程代展教授在文獻(xiàn)[12]中提出的一種新的矩陣乘法，即設(shè)A ∈ Mm×n,B ∈ Mp×q：

1)如果 n =p,則稱A與B滿足等維數(shù)關(guān)系；

2)果 n =tp (記為 A ?tB )，或者)，則稱 A與 B滿足倍維數(shù)關(guān)系，否則稱一般維數(shù)關(guān)系。矩陣乘積在倍維數(shù)關(guān)系下的一種推廣如定義1。

定義1[13]設(shè) X 為 n =pq 維行向量,Y 為 p 維列向量。將X等分成 X =(X1,X2,···,Xp)，這里Xi∈Rq,i=1,2,···,p 。那么， X 和 Y 的半張量積記作X?Y,定義為一個(gè)行向量：

類似的，

為一列向量。

普通矩陣乘法是半張量積的特殊形式，普通矩陣乘法具有的性質(zhì)，對(duì)于半張量積幾乎都成立，此外還具有一些特有的性質(zhì)。

定理1[13]設(shè) f (x1,x2,···,xn)為一個(gè)邏輯函數(shù)，在向量形式下 f :Δ2n→ Δ則存在唯一的邏輯矩陣Mf∈ L2×2n，稱為 f的結(jié)構(gòu)矩陣，使得

式中 x =?ni=1xi。常用的邏輯算子及其結(jié)構(gòu)矩陣分別為

1.4 布爾 (控制)網(wǎng)絡(luò)

定義2[13]1)布爾網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)方程為

式中： fi:Dn+m→ D,i=1,2,···,n;為邏輯函數(shù)；xi(t)∈D,i=1,2,···,n為狀態(tài)變量。

2)布爾控制網(wǎng)絡(luò)是指一個(gè)含有輸入輸出的布爾網(wǎng)絡(luò)，其動(dòng)態(tài)方程為

式 中 ： xi(t)∈D, i = 1,2,···,n 為 狀 態(tài) 變 量 ；ui(t)∈D,i=1,2,···,m 為控制變量； yi(t)∈D,i=1,2,···,p為輸出變量；fi:Dn+m→ D,i=1,2,···,n;hi:Dn→ D,i=1,2,···,p 為邏輯函數(shù)。

定理2[13]利用向量表達(dá)式

1)布爾網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)方程式(8)可表示為

2)布爾控制網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)方程式(9)可表示為

2 非線性布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的基本概念

定義3 1)一個(gè)多輸入多輸出的非線性布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可以表示成模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)模型(fuzzy dynamic Boolean network model，F(xiàn)DBNM)，即

簡(jiǎn)記為

2)第 k個(gè)FDBNM為

式中： μk(z)是模糊推理集合 Fk的隸屬函數(shù)；Fk=(Lk,Hk)為局部模型的結(jié)構(gòu)矩陣， ( Lk,Hk)也稱為FDBNM的第 k個(gè)子系統(tǒng)。

這里,Rk,k=1,2,···,N 為系統(tǒng)的第 k條模糊規(guī)則，也稱為第 k個(gè)模糊子系統(tǒng)，N為總的模糊規(guī)則數(shù)； z1,z2,···zn為規(guī)則前件語言變量；為模糊集，其隸屬度函數(shù)設(shè)為三角形函數(shù)，記作；(X(t+1),Y(t))是系統(tǒng)的輸出； U (t)是輸出部分布爾控制網(wǎng)絡(luò)的控制變量； ( Lk,Hk)為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣。

對(duì) 給 定的輸 入 信 號(hào) z1=z?1,z2=z?2,···,zn=z?n,利用三角形隸屬函數(shù)將其模糊化，對(duì)每條規(guī)則的激活度采用max-min方法：

3)使用加權(quán)平均法解模糊，可得FDBNM的全局模型為

簡(jiǎn)記為

定義4 1)對(duì)于模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的局部模型式(14)， G 固定，如果存在控制變量，能使方程式(14)從初始狀態(tài) X (U,0)=X0到達(dá)終端狀態(tài) X (U,t)=Xd,則稱 Xd從 X0經(jīng)過t步是能控的。如果存在控制變量 U ,使式(14)能從任意初始狀態(tài)到達(dá) X (T)=Xd，則稱模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的局部模型是能控的。

2)對(duì)于模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的全局模型式(15)，如果存在控制變量 U0，能使方程式(15)從初始狀態(tài) X (U,0)=X0到達(dá)終端狀態(tài),則稱 Xd從 X0經(jīng)過t步是能控的。如果式(15)能從任意初始狀態(tài) X0到達(dá) X (T)=Xd，則稱模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的全局模型是能控的。

定義5 1)對(duì)于模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的局部模型式(14)，對(duì)任意給定的初始狀態(tài)如果至少存在一個(gè)布爾控制序列，使初始狀態(tài)能由輸出序列唯一地確定，則稱局部模型是狀態(tài)能觀測(cè)的。

2)對(duì)于模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的全局模型式(15)，對(duì)任意給定的初始狀態(tài)如果至少存在一個(gè)布爾控制序列，使初始狀態(tài)能由輸出序列唯一地確定，則稱全部模型是狀態(tài)能觀測(cè)的。

定義6 1)對(duì)于模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的局部模型式(14)，如果經(jīng)過固定步數(shù)，存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) Xe，使得對(duì)于局部模型的任意的初始狀態(tài)都有，則稱系統(tǒng)的局部模型是能穩(wěn)定的。

2)對(duì)于模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的全局模型式(15)，如果經(jīng)過固定步數(shù)，存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)Xe，使得對(duì)于全局模型的任意的初始狀態(tài)都有, 則稱系統(tǒng)的全局模型是能穩(wěn)定的。

3 非線性布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析

系統(tǒng)局部模型的布爾控制網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(14)的結(jié)構(gòu)矩陣可以等分為 2m塊[13]，即

式中： B lki(Lk)是矩陣 Lk的第i 個(gè) n ×n的 塊； Bi∈ L2n×2n，i=1,2,···,2m。令

3.1 能控性

首先引用布爾矩陣的布爾乘法及布爾冪的定義[13]。

1)設(shè) α ,β,αi∈ D,i=1,2,···,n ， 則 布 爾 加 法 定義為

2)設(shè) A =(aij)∈ Bm×n,B=(bij)∈ Bn×p，則布爾乘法定義為

3)設(shè) 有定義，則布爾冪定義為A?A

對(duì)于模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的局部模型式(14)，定義能控性矩陣為[13]

定理3 1)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 Ck＞0時(shí)，局部模型式(14)是能控的。

2)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 C ＞0時(shí)，全局模型式(15)是能控的，即

證明 通過數(shù)學(xué)歸納法來證明。

當(dāng) j =1時(shí)，由式(17)知，當(dāng) Mk＞0時(shí)，存在一個(gè)控制序列使?fàn)顟B(tài) X0到 Xd,顯然局部模型式(14)是能控的；假設(shè)當(dāng) j =k′時(shí)，式(14)能控 ，則 當(dāng) j=k′+1時(shí)因?yàn)镸k＞0,可知 Ck＞0，且存在控制序列使局部模型式(14)能控。

3.2 能觀性

為了找到能觀性矩陣，對(duì)于第k個(gè)局部模型，定義一組矩陣集合[13]:?ki∈ L2p×2n,i=0,1,2···其表達(dá)式為

令

式中 Ok稱為系統(tǒng)局部模型式(14)的能觀測(cè)矩陣。

定理4 1)設(shè)系統(tǒng)局部模型式(14)是能控的，那么局部模型式(14)是能觀的，當(dāng)且僅當(dāng)

2)設(shè)系統(tǒng)全局模型式(14)是能控的，那么全局模型式(17)是能觀的，當(dāng)且僅當(dāng)

證明[16]對(duì)給定的狀態(tài) X0，可以觀測(cè) H X0，因?yàn)橄到y(tǒng)是能控的，所以使用不同的控制序列 Ui，可以觀測(cè) H LUi，故 H LUi1LUi2···LUisX0是可觀測(cè)的。因?yàn)?s ≥k0，沒有增加之前集合的線性獨(dú)立的行數(shù)，線性獨(dú)立行數(shù)對(duì)初始狀態(tài)的辨識(shí)是無用的，只有當(dāng)包含所有不同列，即時(shí)，初始狀態(tài)才能辨識(shí)，全局模型是能觀測(cè)的。

3.3 穩(wěn)定性

對(duì)于布爾系統(tǒng)式(8)和布爾控制系統(tǒng)式(9)記χ=Dn為它們的狀態(tài)空間。點(diǎn) X ∈χ可以表示為X=[x1,x2,···,xn]T,邏輯映射 F :χ → χ，邏輯映射形式為[13]

簡(jiǎn)記為 Z =F(X),X ,Z∈χ。

定義7[13]邏輯映射 F 的關(guān)聯(lián)矩陣 I( F)=(bij)是一個(gè) n ×n矩陣，定義為

記X=[x1,x2,···,xn]T,F=[f1,f2···,fn]T，則式 (14)對(duì)應(yīng)的布爾網(wǎng)絡(luò)的邏輯映射可簡(jiǎn)記為

同理式(15)對(duì)應(yīng)的布爾控制網(wǎng)絡(luò)的邏輯映射可簡(jiǎn)記為

式中 X (t)∈Dn,U(t)∈Dm。

定理5[13]1)設(shè) ξ是式(14)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則X(k)∨ˉξ≤I(Fk)j×(X(0)∨ˉξ),如 果 存 在 j ＞0,使 得[I(Fk)](j)=0，則稱局部模型是能穩(wěn)定的。

2)設(shè) ξ 是式(15)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則X(k)∨ˉξ≤I(F)j×(X(0)∨ˉξ),如果存在 j ＞0,使得 [I (F)](j)=0，則稱全部模型是能穩(wěn)定的。其中

證明[14]①必要性：如果系統(tǒng)的局部模型是穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是收斂的，則 T 步后(T為極短的時(shí)間段)，所有的狀態(tài)收斂到 ξ，所以當(dāng) j ＞T時(shí)成立。

②充分性：假設(shè)存在 j ＞0,使 [I (Fk)](j)=0成立，那么對(duì)于任意的 X 有 Fkj(X)=ξ， X (t)∈Dn。故對(duì)任意步數(shù) t ≥j,Fkt(X)=Fkj(Fkt?j(X))=ξ ，得證。

同理可證全局模型時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

根據(jù)第3節(jié)介紹的模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，本節(jié)選取多輸入多輸出模糊模型進(jìn)行非線性模糊建模及其能控性、能觀性分析。

其代數(shù)表達(dá)式為

則整個(gè)系統(tǒng)模糊狀態(tài)方程可表示為式(15)，其中

由選取的模糊模型，規(guī)則1和規(guī)則2時(shí)的狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量的初始狀態(tài)可分別設(shè)為

4.1 能控性

由式(16)，將規(guī)則1時(shí)的結(jié)構(gòu)矩陣等分為4塊：

則

其能控性矩陣為

故規(guī)則1時(shí)的局部模型是可控的。

由MATLAB仿真知，規(guī)則1時(shí)控制變量和狀態(tài)變量的關(guān)系如圖1(a)所示。

同理，規(guī)則2時(shí)有：

其能控性矩陣有

故規(guī)則2時(shí)的局部模型是不可控的。

由圖1可知，規(guī)則1時(shí)的局部模型是可控的，規(guī)則2時(shí)的局部模型是不可控的，與實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是一致的。

4.2 能觀性

Γ12為64×8維的布爾矩陣，由于篇幅的限制，上式中只列出了一部分。

Γ13為256×8維的布爾矩陣，由于篇幅的限制，上式中只列出了一部分。

O1為340×8維的布爾矩陣，由于篇幅的限制，文中只列出了一部分。

可得，Rank (O1)-7＜23=8。

由MATLAB仿真知，規(guī)則1時(shí)輸出變量和狀態(tài)變量的關(guān)系如圖2所示。由圖2知，雖然規(guī)則1時(shí)的局部模型是能控的，但是是不能觀測(cè)的；規(guī)則2時(shí)的局部模型是不可控的，故也是不能觀測(cè)的，與實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是一致的。

4.3 穩(wěn)定性

規(guī)則1時(shí)，式(33)對(duì)應(yīng)的布爾網(wǎng)絡(luò)的邏輯映射為 X (t+1)=F1(X(t)),X∈D3。

關(guān)聯(lián)矩陣為

[I(F1)](5)=I(F1)≠0， 即 [I (F1)](k)≠0,則 規(guī) 則1下的局部模型是不穩(wěn)定的。

規(guī)則2時(shí)，式(31)對(duì)應(yīng)的布爾網(wǎng)絡(luò)的邏輯映射為 X (t+1)=F2(X(t)),X∈D3。

關(guān)聯(lián)矩陣為

[I(F2)](3)=0，則規(guī)則2下的局部模型是穩(wěn)定的。

圖1 控制變量和狀態(tài)變量的關(guān)系Fig. 1 Schematic diagram of relationship between the control variables and state variables

圖2 輸出變量和狀態(tài)變量的關(guān)系Fig. 2 Schematic diagram of relationship between the output variables and state variables under rule 1

綜上分析，整個(gè)系統(tǒng)模糊狀態(tài)方程可表示為式 (15)，其中，取 μ1=1,μ2=0,則L=L1,H=H1,F=F1,C=C1＞0,Rank(O)=Rank(O1)=7＜23=8, 因此系統(tǒng)的全局模型是能控不能觀且不穩(wěn)定的。

5 結(jié)束語

通過具體實(shí)例仿真分析可知，對(duì)于布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，可以實(shí)現(xiàn)非線性模糊建模和動(dòng)態(tài)性能分析。利用模糊動(dòng)態(tài)模型的非線性特點(diǎn)，將模糊動(dòng)態(tài)模型和布爾控制網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，分別建立了模糊動(dòng)態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的局部模型和全局模型，并且對(duì)其能控性、能觀性和穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。