張為元，王振華，張磊磊

（1.咸陽師范學(xué)院非線性科學(xué)研究所，陜西咸陽712000；2.京能錫林煤化有限責(zé)任公司，內(nèi)蒙古錫林郭勒盟 026000）

在自然界中，許多生物系統(tǒng)處在周期變化的環(huán)境下，其動力學(xué)特征呈現(xiàn)出周期性。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,具有周期系數(shù)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是一種重要的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[1-3]，其在某種條件下會產(chǎn)生周期震蕩現(xiàn)象。為了保證具有周期系數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，其周期解的相關(guān)性質(zhì)，如解的存在性、穩(wěn)定性等成為其重要研究內(nèi)容。最近二十多年來，多種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的問題得到了廣泛的研究，產(chǎn)生了許多重要的成果[1-6]。文獻[5]利用線性矩陣不等式方法研究了一類離散時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局周期性問題，并分別得到了時滯無關(guān)和時滯相關(guān)的周期性判據(jù)。文獻[6]考慮的極限環(huán)可以通過存儲模式應(yīng)用到聯(lián)想記憶中，因為一個平衡點可以看成具有任意周期振蕩的特殊形式，所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期性研究具有重要性。

物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、通信工程以及生物醫(yī)學(xué)工程等許多科學(xué)和工程問題利用脈沖微分系統(tǒng)描述，為解決這些實際問題提供了數(shù)學(xué)模型。脈沖微分系統(tǒng)是一種特殊的不連續(xù)系統(tǒng)，被廣泛應(yīng)用到工程領(lǐng)域中控制系統(tǒng)的瞬時刻畫，包括衛(wèi)星變軌技術(shù)、工業(yè)機器人技術(shù)等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛應(yīng)用于圖像處理、模式識別、聯(lián)想記憶、信號處理以及保密通信等領(lǐng)域。此外，脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)理論和應(yīng)用研究也是非線性系統(tǒng)理論研究的熱點問題，引起了越來越多的學(xué)者的關(guān)注和深入研究。在實際問題中,由于記憶效應(yīng)、開關(guān)速度和有限信號傳輸時間等神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的傳輸，可能會同時受到突變和時滯的影響，因而，對于具有周期系數(shù)的脈沖時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型開展深入研究也很重要。近年來，脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解的周期性問題得到廣泛關(guān)注[7-10]。文獻[7]研究了時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解存在性和穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[8]考慮了非時滯脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的穩(wěn)定性問題。文獻[9]利用不等式和Lyapunov泛函的方法，討論了帶周期系數(shù)的脈沖時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定性問題等。本文針對具有脈沖隨機干擾時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期性問題進行研究。利用Lyapunov穩(wěn)定性分析方法和脈沖微分不等式等，建立考慮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的周期解指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件。

1 模型描述與預(yù)備知識

考慮如下一類混雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中時間序列tk稱為脈沖時刻且滿足0＜t0＜t1＜…＜tk＜tk+1＜… ，=∞; ui(t)表示第i個神經(jīng)元的狀態(tài)；神經(jīng)元之間的聯(lián)接權(quán)值；n和F,{Ft}t≥0,P ) 表示激活函數(shù)；Ji表示外部輸入；ai(t)表示與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不連通且無外部附加電壓差的情況下的第i個神經(jīng)元恢復(fù)孤立靜息狀態(tài)下的速率；τ(t)表示時滯且0≤τ(t) ≤τ,τij(t),θji(t)是一常數(shù)；kij(·)是定義在(0 ,+∞ )上實值非負連續(xù)函數(shù)；ui(t-)和ui(t+)分別表示ui(t)關(guān)于t的左右極限；σij(·)(i,j=1，2，…，n)表示自由擾動的權(quán)函數(shù)；w(t)=(w1(t),w2(t),…,wn(t))T是一標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；θik是常數(shù)。假設(shè)u(t)=u(t+)。ikik

系統(tǒng)（1）的初始條件如下

在系統(tǒng)（1）中，當(dāng) σij=0 時，文獻[11]對該確定性模型進行了研究。當(dāng)θik=0系統(tǒng)（1）變?yōu)榫哂谢旌蠒r滯隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，文獻[1，2，5]進行了研究。如果 θik=0和 σij=0，系統(tǒng)（1）歸結(jié)為具有混和時滯的確定性連續(xù)系統(tǒng)。

本文我們作如下假設(shè)：

其中 j=1,2,…,n，Lf=diag()，=diag(，Lfˉ=diag()為正定對角矩陣。

2 主要結(jié)果

定理 1 假設(shè) (A1)-(A7)成立，則系統(tǒng)（1）和（2）的周期解在均方意義下全局指數(shù)穩(wěn)定。

由Cauchy不等式和假設(shè)(A2)得

由假設(shè) (A1)-(A3)、(A5)和式（8）（9）可得

系統(tǒng)（1）（2）的周期解在均方意義下全局指數(shù)穩(wěn)定。

定理2假設(shè)(A1)-(A3)和(A5)成立。如果存在正定矩陣 Ξ1,Ξ2,非負常數(shù) p,q,r和 βk,(k ∈Z+),使得下列條件

證明：構(gòu)造Lyapunov泛函如下

由式(11)和假設(shè)(A5)得

3 結(jié)語

本文考慮了脈沖隨機時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期性行為,即周期解的全局指數(shù)穩(wěn)定性問題。構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov-Krasovskii能量函數(shù)，利用經(jīng)典不等式和線性矩陣不等式，得到了該系統(tǒng)周期解的全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,對已有文獻的結(jié)果進行了推廣。