馮維婷, 梁 青, 谷 靜

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710121)

跳頻信號(hào)是一種分段平穩(wěn)信號(hào)，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)和通信領(lǐng)域[1-2]。時(shí)頻分析可以得出跳頻信號(hào)的特性[3-4]，揭示信號(hào)頻率隨時(shí)間變化情況。時(shí)頻分析分兩類，一類是以短時(shí)傅里葉變換(short time Fourier transform, STFT)、平滑偽魏格納分布(smoothed pseudo wigner-ville distribution, SPWVD)為代表的非參數(shù)化時(shí)頻分析方法。其中，STFT是線性變換，不存在交叉干擾項(xiàng)，但受測(cè)不準(zhǔn)原理的制約，時(shí)間和頻率分辨率不能同時(shí)兼顧[5-6]；SPWVD是非線性變換，時(shí)間和頻率分辨率高，但存在交叉干擾項(xiàng)，需要通過(guò)設(shè)計(jì)核函數(shù)抑制交叉干擾項(xiàng)[7-8]。另一類是以時(shí)變自回歸(time-varing auto regressive, TVAR)模型為代表的參數(shù)化時(shí)頻分析方法[9-10]，適合描述瞬時(shí)頻率連續(xù)變化信號(hào)，可獲得較高時(shí)間和頻率分辨率，而跳頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率是有間斷點(diǎn)的分段連續(xù)，故其并不適合跳頻信號(hào)分析。

稀疏表示理論應(yīng)用廣泛[11-12]，可以考慮采用稀疏表示算法對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析。跳頻信號(hào)在頻域具有稀疏特性，可以在頻域構(gòu)造傅里葉基矩陣，通過(guò)迭代尋求稀疏向量對(duì)應(yīng)的傅里葉基，從而根據(jù)稀疏向量獲得信號(hào)稀疏度，并估計(jì)跳頻信號(hào)的各頻率分量。但是，為了提高估計(jì)精度時(shí)，傅里葉基矩陣的長(zhǎng)度會(huì)相應(yīng)增大，算法的計(jì)算量會(huì)急劇增大。

本文將結(jié)合跳頻信號(hào)瞬時(shí)頻率分段連續(xù)的特點(diǎn)，將接收信號(hào)分成若干小段，對(duì)每段信號(hào)利用FFT獲得頻率預(yù)估計(jì)值和信號(hào)稀疏度，再利用預(yù)估計(jì)值構(gòu)造頻率細(xì)化的子傅里葉基矩陣，建立分段信號(hào)的稀疏表示模型，最后，基于正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit, OMP)[13-14]獲得高精度的時(shí)頻譜圖。

1 跳頻信號(hào)的稀疏表示模型

假設(shè)觀測(cè)信號(hào)模型為

(1)

其中t∈[0,T]，w(t)是觀測(cè)噪聲，si(t)是第i分量跳頻信號(hào)，且

fk為觀測(cè)時(shí)間段內(nèi)的第k個(gè)跳頻頻率；M為頻率跳變個(gè)數(shù)；rectTh(·)是持續(xù)時(shí)間為Th的窗函數(shù)。

對(duì)觀測(cè)信號(hào)采樣，把采樣數(shù)據(jù)等間隔劃分成D段，每一小段數(shù)據(jù)的持續(xù)時(shí)間要短于跳頻信號(hào)的持續(xù)周期，每段長(zhǎng)度為P點(diǎn)，構(gòu)造觀測(cè)矩陣

Y=[y1,y2,…,yD]。

(2)

其中

yi=[y(i-1)P,y(i-1)P+1,…,yiP-1]T

為觀測(cè)矩陣的第i列向量(i=1,2,…,D)。

建立傅里葉基矩陣

W=[w0,w1,…,wP-1]。

(3)

其中

為第m個(gè)基向量(m=0,1,…,P-1)。

觀測(cè)信號(hào)可以表示為

Y=WX+V。

(4)

其中，Y∈P×D，W∈P×P，X是稀疏矩陣，V為噪聲矩陣，X,V∈P×D。X中只有有限個(gè)非零值，且對(duì)應(yīng)于跳頻信號(hào)中有限個(gè)跳頻頻率對(duì)應(yīng)的窄帶信號(hào)的幅度，故跳頻信號(hào)可在頻域進(jìn)行稀疏表示。因X是稀疏的，故有稀疏表示模型

(5)

其中, ‖X‖0為L(zhǎng)0范數(shù)。L0范數(shù)的極小化不能直接求解，需轉(zhuǎn)化為解相同的L1范數(shù)求解[15]，故將式(5)轉(zhuǎn)變?yōu)橥箖?yōu)化問(wèn)題

(6)

其中,ε為允許誤差。

式(6)的求解基于OMP稀疏表示算法。X中非零值元素的個(gè)數(shù)就是信號(hào)的稀疏度，非零值元素的位置就對(duì)應(yīng)各分段窄帶信號(hào)的頻率估計(jì)值。假設(shè)X的稀疏度為k，OMP算法在傅里葉基矩陣中通過(guò)迭代尋求與殘差信號(hào)相關(guān)性最大的傅里葉基向量來(lái)匹配出k個(gè)稀疏向量。OMP算法中需要預(yù)先給出稀疏度k值，但是在實(shí)際應(yīng)用中，多數(shù)情況下k值是未知的，若k值設(shè)置不合適，算法性能下降甚至失效。另外，時(shí)頻分析精度取決于算法中傅里葉基矩陣的長(zhǎng)度，分析精度越高，傅里葉基矩陣長(zhǎng)度越大，則算法運(yùn)算量也會(huì)急劇增大。

2 算法原理及步驟

OMP算法進(jìn)行稀疏表示時(shí)存在兩個(gè)問(wèn)題：一是稀疏度設(shè)置不合適導(dǎo)致算法性能下降甚至失效；二是傅里葉基矩陣長(zhǎng)度太大導(dǎo)致運(yùn)算量劇增。為了解決這些問(wèn)題，還需結(jié)合頻率預(yù)估計(jì)進(jìn)行求解。

將跳頻信號(hào)劃分成若干段，對(duì)每一小段跳頻信號(hào)yi進(jìn)行傅里葉變換，設(shè)置能量門限，采用傳統(tǒng)譜分析算法估計(jì)出信號(hào)頻率fi(i=1,2,…,k)，同時(shí)得到稀疏度估計(jì)值k。然后根據(jù)頻率精度要求構(gòu)造子傅里葉基矩陣：以fi為頻率中心，把帶寬為Δf的頻率段等間隔劃分成Q點(diǎn)。

構(gòu)造出的子傅里葉基矩陣為

將多個(gè)子傅里葉基矩陣聯(lián)成過(guò)完備傅里葉基矩陣

D=[D(f1),D(f2),…,D(fk)]。

其中,D的維數(shù)為N×kQ。

改進(jìn)的跳頻信號(hào)時(shí)頻分析稀疏表示算法具體步驟如下。

步驟1對(duì)觀測(cè)矩陣Y應(yīng)用傳統(tǒng)譜估計(jì)方法估得頻率值和稀疏度k，并根據(jù)估計(jì)出的頻率值構(gòu)建過(guò)完備傅里葉基矩陣D。

步驟2設(shè)置算法容許誤差ε>0,非零元素索引集I=?，殘差矩陣R=Y。其中，I是X中非零元素對(duì)應(yīng)在傅里葉基矩陣中位置的集合。

步驟3當(dāng)滿足條件

norm(R)>ε&&(n

時(shí)，計(jì)算殘差R與傅里葉基矩陣D中基向量的相關(guān)度，取相關(guān)度大的前k個(gè)；將這k個(gè)基向量與能量門限比較，超過(guò)能量門限的m(m

更新殘差

在相同頻率估計(jì)精度情況下，對(duì)比改進(jìn)算法與OMP算法的計(jì)算量。若傅里葉基矩陣的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，稀疏度是k，則OMP算法的計(jì)算量為O(k2L)?？梢?jiàn)k一定時(shí)，計(jì)算量與L成正比。若測(cè)頻范圍為1 GHz，取頻率分辨率δf=1 MHz，k=3，直接稀疏表示算法計(jì)算量為O(9×103)；而采用頻率預(yù)估計(jì)構(gòu)建傅里葉基矩陣，取頻率范圍Δf=10 MHz，在達(dá)到相同的頻率精度情況下，傅里葉基矩陣長(zhǎng)度僅為30，稀疏表示運(yùn)算量為O(2.7×102)。由此可見(jiàn)，在相同頻率估計(jì)精度情況下，傅里葉基矩陣的長(zhǎng)度減小，運(yùn)算量隨之減小。改進(jìn)算法減小了傅里葉基矩陣的長(zhǎng)度而降低了稀疏表示的計(jì)算量。

所給算法具有兩個(gè)特點(diǎn)：預(yù)先估計(jì)頻率點(diǎn)，用其構(gòu)建頻率細(xì)化的過(guò)完備傅里葉基矩陣，以提高頻率估計(jì)精度；預(yù)先估計(jì)稀疏度，避免算法失效。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)置信號(hào)采樣頻率fs=100 kHz；采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024，跳頻周期為256個(gè)采樣點(diǎn)。信號(hào)等間隔劃分成16段，每段長(zhǎng)度為64個(gè)采樣點(diǎn)。先對(duì)每段信號(hào)進(jìn)行頻率預(yù)估計(jì)，再在每個(gè)頻率點(diǎn)附近選取Δf=10δf范圍內(nèi)等間隔劃分，取頻率分辨率δf=9 Hz，每個(gè)子傅里葉基矩陣的長(zhǎng)度等于10。

仿真1選取一段跳頻信號(hào)，跳頻頻率依次為45 kHz，35 kHz,19 kHz,20 kHz,8 kHz。第一跳頻的持續(xù)時(shí)間為64個(gè)采樣點(diǎn)。跳頻信號(hào)時(shí)頻譜如圖1 所示。

(a) STFT方法時(shí)頻譜

(b) SPWVD方法時(shí)頻譜

(c) 預(yù)估計(jì)的OMP方法時(shí)頻譜

圖1顯示了STFT方法、SPWVD方法和基于頻率預(yù)估計(jì)的OMP方法得到的跳頻信號(hào)時(shí)頻譜圖比較結(jié)果。圖1(a)顯示，時(shí)頻譜圖不能有效區(qū)分第三、四跳的頻率，這是由于STFT算法所得頻率聚集性較差，頻率分辨率較低；圖1(b)采用平滑偽WVD方法，設(shè)計(jì)的核函數(shù)抑制了交叉項(xiàng)，但也降低了時(shí)頻分辨率。圖1(c)的譜線更細(xì)，具有更高頻率分辨率，可以區(qū)分第三、四跳的頻率，這是由于采用頻率預(yù)估計(jì)使得傅里葉基矩陣中頻率得以局部細(xì)化，頻率估計(jì)精度相當(dāng)于在整個(gè)頻率范圍內(nèi)建立頻率間隔為0.009 kHz的過(guò)完備傅里葉基矩陣，因此其頻率分辨率更高。

分別選取t為0.001 s、0.003 s、0.005 s的時(shí)間點(diǎn)，用STFT方法、SPWVD方法和基于頻率預(yù)估計(jì)的OMP方法進(jìn)行頻率估計(jì)，并與頻率真值對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

表1 單分量信號(hào)頻率估計(jì)值對(duì)比表

表1數(shù)據(jù)表明基于頻率預(yù)估計(jì)的OMP方法所得頻率估計(jì)精度高于其它兩種方法。

仿真2考慮兩分量跳頻信號(hào)的情況。產(chǎn)生第二段跳頻信號(hào)：第一跳頻從0時(shí)刻開(kāi)始起跳，跳頻頻率依次為10 kHz，30 kHz，16 kHz，40 kHz；產(chǎn)生復(fù)高斯白噪聲，信噪比為5 dB。兩段跳頻信號(hào)的時(shí)頻譜如圖2所示。

圖2(a)中時(shí)頻譜線受噪聲影響較大，圖2(b)中兩信號(hào)各自的跳變時(shí)刻頻譜線清晰度降低，而圖2(c)中跳變時(shí)刻頻譜線清晰可辨。由此可見(jiàn)，結(jié)合頻率預(yù)估計(jì)的OMP方法更適合于多分量跳頻信號(hào)的時(shí)頻分析。

綜上可知，在STFT方法、SPWVD方法和基于頻率預(yù)估計(jì)的OMP方法中，后者具有更高的時(shí)頻分辨率和更強(qiáng)的抑制噪聲能力。

(a) STFT方法時(shí)頻譜

(b) SPWVD方法時(shí)頻譜

(c) 預(yù)估計(jì)的OMP方法時(shí)頻譜

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)頻率預(yù)估計(jì)給出了跳頻信號(hào)的稀疏度和各頻率估計(jì)值，構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的頻率細(xì)化的傅里葉基矩陣，得出一種跳頻信號(hào)時(shí)頻分析改進(jìn)的OMP稀疏表示方法。仿真結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)方法對(duì)跳頻信號(hào)時(shí)頻分析的有效性。