王利平

摘 要：考慮梁的彎曲變形和剪切變形，利用單位荷載法推導(dǎo)等寬矩形截面且高度線性變化的懸臂梁分別在彎矩、集中荷載和線形分布荷載作用下的最大撓度理論計(jì)算公式，得到此類梁的柔度，再利用截面分解和變形協(xié)調(diào)條件，導(dǎo)出箱形和工字形變截面懸臂梁的撓度公式。通過算例，驗(yàn)證了該方法的合理性，為此類截面構(gòu)件的變形控制提供了參考。

關(guān)鍵詞：懸臂梁；撓度；變截面；箱型截面

中圖分類號(hào)：TU311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2018）22-0122-03

Method of Deflection Calculation of Cantilever Beam with

Variable Cross Section

WANG Liping

（Henan Construction Engineering Quality Supervision Station，Zhengzhou Henan 450014）

Abstract： Taking account of bend and shear deformation， the maximum deflection formulae of the cantilever beam with a variable cross section under distribution and concentrated load were deduced by unit-load method. The flexibility of the beam was also given. By use of section decomposition and compatibility of deformation，the maximum deflection formulae of the cantilever beam with a box shaped variable cross section under the same loads were suggested. Example showed the method was rational. The results could be as reference in deflection control of the member with a variable cross section.

Keywords： cantilever beam； deflection ； variable cross section；box shaped cross section

變截面梁由于充分利用了材料強(qiáng)度而在工程中應(yīng)用廣泛。相對(duì)等截面梁而言，一般的力學(xué)教材[1]或結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)手冊(cè)[2]有等截面梁在常用荷載下的最大撓度計(jì)算公式，而變截面梁由于截面模量是位置的變量，其理論解答較為復(fù)雜甚至無(wú)法得到顯式表達(dá)，也就無(wú)具體的表達(dá)式。學(xué)者宋相道[3]給出了矩形變截面懸臂梁在3種荷載下的撓度公式，并編制了計(jì)算表，但是，該表僅考慮了彎曲引起的撓度且適用范圍有限。此外，朱皓明和高軒能等學(xué)者[4]將連續(xù)變截面構(gòu)件分為若干等剛度段后求其等效剛度，再利用等截面梁的撓度公式得到最大撓度；趙則昂和鄧宗白等學(xué)者[5]從數(shù)據(jù)分析和理論推導(dǎo)兩方面歸納出一種不通過復(fù)雜計(jì)算就能對(duì)大撓度變形進(jìn)行定量估計(jì)的方法；周丹和王應(yīng)軍等學(xué)者[6]采用插值型求積公式構(gòu)造了積分矩陣，用數(shù)值計(jì)算方法求解變截面梁的撓度；計(jì)算工作量大是已有變截面梁撓度計(jì)算的共性。

對(duì)于工字形和箱形變截面懸臂梁，工程上一般采用取平均的方法將變截面梁轉(zhuǎn)化為等截面梁進(jìn)行分析，而本文則從截面分解和變形協(xié)調(diào)來(lái)求解其撓度。首先，利用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的單位荷載法[7]（即Mohr定理）考慮構(gòu)件的彎曲和剪切變形，通過合理的積分計(jì)算，得到截面為矩形且高度線性變化的懸臂梁在彎矩、集中荷載和線形分布荷載作用下的最大撓度理論計(jì)算公式；其次，通過截面分解和變形協(xié)調(diào)條件，得到工字形和箱形變截面梁在此類荷載下的最大撓度。為此類構(gòu)件提供一種簡(jiǎn)便而實(shí)用的撓度計(jì)算方法。

1 計(jì)算簡(jiǎn)圖和撓度計(jì)算原理

1.1 計(jì)算簡(jiǎn)圖

以等寬矩形截面且高度連續(xù)線性變化的懸臂梁為研究對(duì)象，梁懸挑長(zhǎng)度為L(zhǎng)，LK端部和根部高度分別為h1和h，分別受到端部集中彎矩、端部集中力、線形分布線荷載和三角形分布力等4種形式的荷載作用，相應(yīng)的構(gòu)件及截面尺寸和計(jì)算簡(jiǎn)圖分別如圖1和圖2示。

圖1 構(gòu)件和截面

[f=0LMXMXEIXdx+0LkVXVXGAXdx] （1）

式中，[MX]和[VX]分別為荷載引起的截面位置[x]處的彎矩和剪力；[MX]和[VX]分別為單位力作用在自由端時(shí)截面位置x處的彎矩和剪力；E和G分別為材料的彈性模量和剪變模量；[AX]和[IX]分別為截面位置[x]處的截面面積和截面模量（慣性矩）；[k]為考慮截面上剪應(yīng)力的不均勻系數(shù)，矩形截面時(shí)，取[k=1.2]。

顯然，式（1）右端的第1項(xiàng)即為彎曲變形產(chǎn)生的撓度，第2項(xiàng)則為剪切變形產(chǎn)生的撓度。

2 矩形變截面梁最大撓度的理論解

利用式（1），通過積分變換，可求得圖2所示變截面懸臂梁的最大撓度。為了與等截面梁的結(jié)果相對(duì)應(yīng)，采用相應(yīng)根部等截面梁最大撓度乘系數(shù)[ζ]的表達(dá)形式。這里，[ζ]即為截面影響系數(shù)，用不同下標(biāo)來(lái)分別表示荷載形式和變形特征，具體推導(dǎo)過程此處不再詳述。

①端部集中彎矩作用時(shí)（圖2（a））：

[fM=ζMML22EI] （2）

[ζM=hh1] （2a）

②端部集中力作用時(shí)（圖2（b））：

[fF=ζm，F(xiàn)FL33EI+ζV，F(xiàn)1.2FLGA] （3）

[ζm，F(xiàn)=3hh-h1lnhh1-hh-h1-h-h122h2] （3a）

[ζV，F(xiàn)=hh-h1lnhh1] （3b）

③均勻分布力作用時(shí)（圖2（c））：

[fq=ζm，qqL48EI+ζv，q1.2qL22GA] （4）

[ζm，q=4hh-h132h2+5h1h-h212h2-3h1h-h1lnhh1] （4a）

[ζv，q=2hh-h11-hh-h1lnhh1] （4b）

④三角形分布力作用時(shí)（圖2（d））：

[fp=ζm，qpL430EI+ζv，q1.2pL26GA] （5）

[ζm，q=5hh-h13h2-8hh1+h21h+h12h2h-h1+6h21h-h1lnhh1]（5a）

[ζv，q=3hh-h1h+3h12h-h1+h21h-h12lnhh1] （5b）

在式（2）—（12）中，[A=bh]，[I=bh3/12]。

分析上述結(jié)果后不難得出：①當(dāng)[h-h1]時(shí)，有[ζM=ζm，F(xiàn)=ζV，F(xiàn)=ζm，q=ζv，q=ζm，p=ζv，p=1]，式（2）至式（5）即為相應(yīng)等截面梁的最大撓度計(jì)算公式；②[h/h1]是確定系數(shù)[ζ]的唯一因素；③由于土木工程中鋼和混凝土的G約為0.4E，若梁的跨高比[L/h]不小于10時(shí)，剪切引起的撓度在總撓度所占的比例一般不超過1%，可忽略其影響；④在同一種荷載下，有[ζm>ζv]，式（3）至式（5）可偏于安全地分別簡(jiǎn)化為式（6）至式（8），即

[fF=ζm，F(xiàn)FL33EI1+0.3EGhL2] （6）

[fq=ζm，qqL38EI1+0.4EGhL2] （7）

[fp=ζm，ppL430EI1+0.5EGhL2] （8）

當(dāng)M=F=q=p=1時(shí)，式（2）至式（8）即為相應(yīng)荷載形式下變截面懸臂梁的柔度系數(shù)計(jì)算公式。

3 工字形和箱形變截面梁的最大撓度計(jì)算方法

下面以翼緣和腹板厚度分別為t和tw的等寬且高度連續(xù)線性變化的工字形懸臂梁在自由端作用有集中力F的最大撓度計(jì)算為例來(lái)說明此方法的具體應(yīng)用，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3（a）所示。

（a） 工字形截面