侯曉麗 李永鳳

【摘要】求解微分方程是常微分方程課程中非常重要的內(nèi)容，求解過程中難免會(huì)出現(xiàn)增失根問題。本文對(duì)增失根的原因進(jìn)行了深入的討論，并給出了一些有益的建議。

【關(guān)鍵詞】常微分方程 增根 失根

【基金項(xiàng)目】本文由“鄭州輕工業(yè)學(xué)院第三批青年教師教學(xué)改革與研究項(xiàng)目”、“鄭州輕工業(yè)學(xué)院第十一批教改項(xiàng)目”資助。

【中圖分類號(hào)】G4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）07-0107-02

在常微分方程中，相當(dāng)一部分內(nèi)容就是求微分方程的解，例如：一階顯式微分方程的求解、一階隱式微分方程的求解、高階線性或非線性微分方程的求解、一階線性微分方程組的求解以及求微分方程的求解等，求解過程中不可避免的會(huì)做變量替換，或?qū)Ψ匠虄蛇叿e分或求導(dǎo)等運(yùn)算，都會(huì)產(chǎn)生增根或失去方程的某個(gè)根，尤其是非線性微分方程，沒有固定的解法且求解過程相對(duì)復(fù)雜，更易產(chǎn)生增失根問題。本文對(duì)幾類常見的微分方程的增失根問題進(jìn)行分析。

一、對(duì)方程做恒等變形時(shí)易失根

例：求解微分方程x =y-1

解：兩邊分離變量得： = ，

兩邊積分得方程的解為y-1=Cex，其中C為非零常數(shù)。

顯然方程有一失根y=1。

例：求解方程ydx+（y-x）dy=0

解：方程有積分因子μ= ，以積分因子乘方程兩邊得 + =0

因而通解為 +lny=c。顯然y=0也是方程的根。

這種情況還有很多，例如伯努利方程，做變換z=y-n化為一階線性微分方程時(shí)易失根y=0。

解決辦法：變換前先檢查方程有沒有常值解滿足方程，找出這些解后再對(duì)方程做變換或變量分離，避免失根。

二、過度求導(dǎo)會(huì)產(chǎn)生增根

對(duì)一階隱式微分方程，當(dāng)方程中不顯含x時(shí)，一般的做法就是令y'=p，把方程化為關(guān)于y和p的方程，然后兩邊再關(guān)于x求導(dǎo)，化為關(guān)于p和x的一階微分方程，求出p后代入y的表達(dá)式，即得方程的解。例

y'2-2y=0 令y'=p，則得y= p2，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得2p =2y'=2p故p=0或 =1。由p=0得y=c1，由 =1得p=x+c2

從而原方程的解為y= （x+c2）2

現(xiàn)在把方程稍微改動(dòng)一下，變?yōu)?/p>

y'2-2y'=0 同樣令y'=p，則得p2-2p=0，

故p=0或p=2。由p=0得y=c1，由p=2得y=2x+c2

故原方程的解為y=c1或y=2x+c2

授課過程中發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)多的同學(xué)是這樣做的：

y'2-2y'=0同樣令y'=p，則得p2-2p=0，

因?yàn)榉匠淌请[式方程，不顯含x，兩邊對(duì)x直接求導(dǎo)得

2p -2 =0，解得p=1和 =0，于是方程的解為y=x+c1或y=2x+c2，顯然過度求導(dǎo)后方程失去了根y=c1，卻增加了根y=x+c1。

解決方法：解方程過程中盡量避免對(duì)方程求導(dǎo)，確需求導(dǎo)的最后一定要對(duì)所求根進(jìn)行檢驗(yàn)。

三、兩邊求積分時(shí)定義域發(fā)生改變會(huì)產(chǎn)生增失根

微分方程最后都是通過積分得到方程的解。在對(duì)方程兩邊求積分過程中有時(shí)會(huì)導(dǎo)致其定義域發(fā)生改變，從而可能產(chǎn)生增根或失根，尤其是對(duì)一階線性微分方程用公式求解更易導(dǎo)致定義域發(fā)生改變。

例：求解微分方程y'- y=x

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的一階線性微分方程，由求解公式得

y=e （ Q（x）e dx+c）

=e （ xe dx+c）

=x（x+c）=cx+x2

由原方程知定義域要求自變量x不能等于0，但方程的解中沒有這個(gè)限制，因此方程的解中包含了一個(gè)增根。故原方程的通解為y=cx+x2， x≠0。

以上是求解微分方程過程中最常見的產(chǎn)生增根或失根的原因，當(dāng)然還有其他原因，例如把常數(shù)換成對(duì)數(shù)常數(shù)，求積分過程中加絕對(duì)值符號(hào)、馬虎等都會(huì)導(dǎo)致增失根。因此，求解微分方程時(shí)要注意這些增失根現(xiàn)象，求解方程后要加強(qiáng)對(duì)根的檢驗(yàn)，只有這樣才能準(zhǔn)確圓滿的解得方程的所有解。

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