李涵 陳典

摘 要：本文首先通過對比有限元方法和基本梁理論結(jié)果，分析Euler-Bernoulli梁元素和Timoshenko梁元素分別適合應(yīng)用在細(xì)長梁和深梁，同時(shí)為深梁建立2D模型，比較不同元素類型與梁理論計(jì)算值的差異。

關(guān)鍵詞：有限元，2D模型，細(xì)長梁，深梁

1 對比有限元分析法與基本梁理論結(jié)果

1.1基本梁理論

假設(shè)梁的彈性參數(shù)：楊氏模量E =2.1*1011N/m2和泊松比v= 0.3，通過基本梁理論繪制兩種梁在加載力條件下的剪切力和彎矩，并計(jì)算考慮剪切變形和不考慮剪切變形的兩種情況下計(jì)算最大撓度。利用公式：細(xì)長梁考慮剪切變形的情況下，

1.2有限元分析及理論值對比分析結(jié)果

使用有限元方法用Euler-Bernoulli（B23）和兩種Timoshenko元素（B21和B22）對深梁和細(xì)長梁進(jìn)行分析，通過比較和理論值的差值判斷哪種元素適合用在于細(xì)長梁，哪種元素更適用于深梁，同時(shí)，為了說明梁元素個(gè)數(shù)對有限元結(jié)果的影響，在這兩種梁元素情況下，均對梁進(jìn)行網(wǎng)格化，分為2個(gè)元素和10個(gè)元素。其中B23：平面中的雙節(jié)點(diǎn)立方梁，B21：平面中的雙節(jié)點(diǎn)線性梁，B22：三節(jié)點(diǎn)二次梁。根據(jù)有限元分析結(jié)果，與細(xì)長梁、深梁的撓度理論值進(jìn)行比較，計(jì)算分析結(jié)果與理論偏差之間的百分比差異，對于Euler-Bernoulli元素（B23，2元素個(gè)數(shù)），撓度與細(xì)長梁理論值百分比差異：在考慮剪切變形的情況下為-0.41%，不考慮剪切變形則無差異，然而與深梁理論值差異在考慮剪切變形時(shí)卻為-9.71%，不考慮情況下為0%。對于Timoshenko元素（B21，2元素個(gè)數(shù)）情況下，與細(xì)長梁在考慮剪切變形的情況下差異是24.64%，不考慮情況下為24.33%，與深梁在考慮剪切變形的情況下差異是1.055%，不考慮情況下為8.82%。通過對比可以得出，Euler-Bernoulli更適合用于細(xì)長梁。對于細(xì)長梁，當(dāng) 且 情況下，通常忽略梁內(nèi)部的剪切變形，與Euler-Bernoulli梁單元的理論相符，且在Euler-Bernoulli梁元素理論中，橫截面總是垂直于中性軸，偏轉(zhuǎn)即為 。對于Timoshenko元素，“剪切變形的百分比差異”明顯小于“無剪切變形的百分比差異”偏差，這與Euler Bernoulli梁元素的結(jié)論相反，這意味著針對于Timoshenko梁元素，需要考慮剪切偏轉(zhuǎn)，其次，Euler Bernoulli元素對深梁的偏差百分比差異小于細(xì)長梁的偏差百分比差異，這意味著Timoshenko元素理論更適合深梁。為了說明梁元素個(gè)數(shù)對結(jié)果的影響，對不同元素（Euler-Bernoulli元素和Timoshenko元素）下的撓度和彎矩也行了偏差百分比計(jì)算，結(jié)果得到了相同的結(jié)論，不論哪種元素，10個(gè)梁元素與2個(gè)梁元素相比，彎矩曲線更接近理論彎矩曲線，與理論值更相近、更準(zhǔn)確。對于比如前面提到的Timoshenko運(yùn)用了B21和B22進(jìn)行分析，通過比較彎矩的偏差值，得到B22元素能夠比B21元素提供更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。

2深梁2D模型分析

為深梁重新創(chuàng)建2D模型，并將其與400（20×20）平面應(yīng)力元素進(jìn)行網(wǎng)格劃分，CPS4，CPS4I和CPS4R元素類型，以及用100（10×10）個(gè)二次CPS8元素類型進(jìn)行分析，比較四種2D元素類型的變形形狀和最大位移，并與深梁的B22和B21偏轉(zhuǎn)分析結(jié)果進(jìn)行比較。圖1 為在四種元素分析下的偏轉(zhuǎn)形狀，從左到右依次是CPS4、CPS4I、CPS4R和CPS8，從變形的形狀可以看出，CPS4R圖形與其他三種圖形相比，存在巨大差異，這是由于CPS4R是4節(jié)點(diǎn)雙線平面應(yīng)變元素，其可以產(chǎn)生'沙漏'變形模式，減少了與沙漏控制的集成度，消除剪切鎖定，并且在質(zhì)心處只有一個(gè)積分點(diǎn)，這與其他三個(gè)元素不同。通過減少積分元素，積分點(diǎn)位于中心垂直平面（在CPS4R元素中），該元素可以從矩形形狀彎曲成梯形形狀，并且積分點(diǎn)平面將不會(huì)經(jīng)歷任何應(yīng)力，因此它需要是應(yīng)用于該元件的“人造或外來剛度”以限制這些“無應(yīng)力”的節(jié)點(diǎn)位移，因此變形是零能量模式，它具有變形但沒有應(yīng)變。對于CPS8元素，垂直等參線不改變其長度，水平線和垂直線之間的角度始終保持等于90，厚度應(yīng)變?yōu)?，剪切應(yīng)變?yōu)?。將2D 深梁模型與B21，B22元素類型進(jìn)行比較，由于上述所提到的，梁單元中的更多元素可以提供更準(zhǔn)確的結(jié)果，因此，在分析此問題中，只使用梁元素模型的（B21和B22）10個(gè)元素的分析結(jié)果。與梁單元相比，2D單元模型更大更昂貴，且對于偏轉(zhuǎn)，比較梁模型與理論結(jié)果之間的百分比差異后，發(fā)現(xiàn)用梁單元的百分比差異小于任何2D模型，且B22給出的結(jié)果比B21更準(zhǔn)確，毫無疑問，結(jié)構(gòu)元素模型贏使用經(jīng)濟(jì)準(zhǔn)確的解決方案，因此針對此問題，推薦B2210元素的分析方法。

參考文獻(xiàn)

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[2] Pankaj，P.（2016）.Finite Element Methods for Solids and Structures.Edinburgh：University of Edinburgh，pp.1-30

作者簡介

李涵，女，河南省南陽市人民，民族：漢 職稱：在讀博士，學(xué)歷：在讀博士，研究方向：橋梁破壞監(jiān)測，建筑結(jié)構(gòu)防火。單位：愛丁堡大學(xué)工程學(xué)院，Scotland第二作者：陳典。

（作者單位：1.英國愛丁堡大學(xué)科學(xué)工程系；

2.英國格拉斯哥大學(xué)機(jī)械工程系）