潘志民 金凱文 潘開欣

(1 南京外國語學(xué)校，江蘇 南京 210008； 2南京邁塔科創(chuàng)教育技術(shù)有限公司，江蘇 南京 210019)

1 從幾何光學(xué)看“小孔成像”

光在同種均勻物質(zhì)中沿直線傳播，這是幾何光學(xué)中的一個(gè)基本觀點(diǎn)。一直以來，“小孔成像”僅僅作為光的直線傳播的實(shí)驗(yàn)為大家所共知。

圖1 “小孔成像”示意圖

查百度百科“小孔成像”的實(shí)驗(yàn)結(jié)論有：物距越近，像越大且亮度越暗；物距越遠(yuǎn)，像越小且亮度越亮。像距越近，所成像越小且亮；反之，越大且暗?？字灰獕蛐?，它的形狀不論是方的、圓的、扁圓的，對像的清晰程度和像的形狀都沒有影響。

在圖1中我們把蠟燭的火焰看成是由許多小發(fā)光點(diǎn)組成，每個(gè)發(fā)光點(diǎn)都向四面八方發(fā)射著光。總會(huì)有一小束光，筆直地穿過小孔，在白紙上形成一個(gè)小光斑。燭焰上的每一個(gè)發(fā)光點(diǎn)都會(huì)在白紙上形成一個(gè)對應(yīng)的光斑，全部光斑在白紙上就組成了一個(gè)燭焰的像。

通常認(rèn)為“小孔成像”成的是倒立的實(shí)像，其實(shí)嚴(yán)格說來，小孔成像并沒有“成像”，“小孔成像”與幾何光學(xué)中的成像含義截然不同。后者是同心光束經(jīng)過光學(xué)儀器后變換為另一同心光束，若變換所得同心光束是匯聚光束則稱為實(shí)像，變換所得同心光束是發(fā)散光束則稱為虛像，成像位置即同心光束之“心”所在位置，它在空間上是一定的，因而人眼可以直接觀察物體經(jīng)過光學(xué)儀器所成的像。而“小孔成像”的“像”不是同心光束之間的變換，它只是小孔選擇物體表面上各物點(diǎn)發(fā)出的各種光線中的各一條(由物點(diǎn)至小孔的直線所決定)，它需要投射到一個(gè)平面屏上，光點(diǎn)代表了物點(diǎn)在物體上的相對位置和亮度，人眼才能觀察到像(經(jīng)過了人腦的綜合作用)，像的大小隨平面屏的位置而變化，平面屏離小孔越遠(yuǎn)小孔成像就越大。

圖2 “小孔成像”的幾何關(guān)系

小孔的尺度會(huì)導(dǎo)致物平面上的點(diǎn)在像平面成像時(shí)產(chǎn)生模糊,原因在于小孔有一定的幾何尺寸, 并非幾何點(diǎn), 所以物點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過小孔后就形成了擴(kuò)散的光束, 落在光屏上就變成了光斑(像斑) 而不是光點(diǎn)。光斑間發(fā)生相互重疊, 就產(chǎn)生了像的失真。若當(dāng)像平面兩個(gè)光斑之間恰好沒有重疊(即恰好相切)時(shí)，可以視為能夠分辨。在圖2中，設(shè)物距為u，像距為v，小孔直徑為d，某點(diǎn)(A或B)通過小孔在像屏P上形成的光斑(A′或B′)直徑為D，則有

(1)

若物平面上相距δH的兩個(gè)點(diǎn)，在像平面上成的光斑恰好沒有交疊，其對應(yīng)像斑中央在像平面上的距離為δH1，有

δH1≈D

(2)

在圖中存在幾何關(guān)系

(3)

綜合以上諸式，有

(4)

據(jù)此可以得出，“小孔成像”可以分辨的最小距離δH與小孔直徑d成正比，與物到小孔距離u呈正相關(guān)關(guān)系，與小孔到屏幕距離v呈負(fù)相關(guān)關(guān)系?！靶】壮上瘛敝袕膸缀喂鈱W(xué)看，小孔越小成像會(huì)越清晰，但實(shí)際上不會(huì)，原因是孔徑太小成像光能就會(huì)減少，從而影響成像的亮度，導(dǎo)致不清晰。

2 從波動(dòng)光學(xué)看“小孔成像”

從波動(dòng)光學(xué)的角度來看，光波是波長極短(幾百納米)的電磁波。在同一種介質(zhì)中，光波的波線為直線，考慮短波長近似(忽略衍射)，光波束可以用光線來表示。通常被觀測物體的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光波波長，若小孔線度滿足遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光波波長，而且還要遠(yuǎn)小于物體的線度，物體表面上各點(diǎn)(物點(diǎn))發(fā)出(或反射出)的光線經(jīng)過小孔屏后，投射到一個(gè)平面承接屏上，平面屏上投射光的分布將體現(xiàn)出物體的輪廓，這就是所謂“小孔成像”。

若小孔線度不滿足遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光波波長，由于光具有波動(dòng)性，衍射會(huì)對小孔成像產(chǎn)生影響，幾何光斑的邊界處不再亮暗分明。人眼觀察小孔成像，不僅受到像質(zhì)(大小、形狀、色彩等)的影響，還會(huì)受到成像亮度(成像光強(qiáng))的影響，成像太暗便觀察不清。也就是說小孔孔徑的變化，不僅影響像質(zhì)，還影響亮度。

2.1 小孔衍射對成像分辨率的影響

(5)

作出最小分辨距離δH與小孔直徑d關(guān)系的趨勢示意圖如圖3所示。從圖中我們可以看到：當(dāng)孔徑較大的時(shí)候，幾何光學(xué)對分辨率的影響占主要地位；當(dāng)孔徑較小的時(shí)候，主要的限制因素則為衍射。圖中的“總體效果”綜合兩種因素定性地反映出總體變化趨勢，可知當(dāng)小孔直徑取適當(dāng)值時(shí)，有最小分辨距離，此時(shí)成像的分辨能力最強(qiáng)。

圖3 最小分辨距離與小孔直徑關(guān)系示意圖

2.2 孔徑、物距和像距等參數(shù)對成像亮度的影響

被觀測物體(等效為光源)均勻發(fā)光時(shí)，其光通量Φ恒定。各等效光源點(diǎn)到小孔的方向隨物距u變化，物體相對于物距很小時(shí)，可忽略方向的變化，各源點(diǎn)到小孔的發(fā)光強(qiáng)度均可視為一常量。記物體在小孔處的發(fā)光強(qiáng)度為I，則像方的光通量為

(6)

式中，d為小孔直徑；ΔΩ為小孔對某源點(diǎn)的方位角，在方位角的計(jì)算中運(yùn)用了小角近似。

我們實(shí)驗(yàn)中使用圓形物體正對小孔放置，設(shè)其直徑為H、像的尺寸為H1，在“小孔成像”中有幾何關(guān)系

(7)

像的面積為

(8)

則在光屏(毛玻璃)上所得像的照度為

(9)

光屏上像的光亮度正比于此照度。此式說明，對于確定的被觀測物體H一定，像的亮度與小孔直徑d呈正相關(guān)關(guān)系，與小孔到屏幕距離v呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；還表明像的光亮度與物距無關(guān)，這一點(diǎn)與百度百科中“物距越近，像越大且亮度越暗；物距越遠(yuǎn)，像越小且亮度越亮”的結(jié)論完全不同。

那么，物距、像距和孔徑與成像亮度、清晰度有何關(guān)系，以及小孔直徑取何值時(shí)，小孔成像的分辨能力最強(qiáng)，下面通過實(shí)驗(yàn)來定量研究這些因素對小孔成像的影響。

3 “小孔成像”的現(xiàn)代物理實(shí)驗(yàn)研究

3.1 研究孔徑、物距和像距對成像清晰度的影響

設(shè)物的尺度H，像的尺度H1，小孔直徑d，小孔屏到物的距離u，小孔屏距離像屏v。從實(shí)驗(yàn)上得出它們的相對關(guān)系為何值(或者何范圍)時(shí)，成像效果最佳。也就是說，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果能知道欲使成像清晰，小孔是大一些好呢，還是小一些好？物距和像距是近一些好還是遠(yuǎn)一些好？

3.1.1 實(shí)驗(yàn)研究孔徑對成像清晰度的影響

實(shí)驗(yàn)中使用白熾燈作為光源，用于被觀測圓形物體的直徑為H=4mm。首先將物距u、像距v均控制在6cm，改變孔徑d大小，用CMOS照相系統(tǒng)(包含CMOS相機(jī)，0.6倍遠(yuǎn)心鏡頭)對小孔的成像進(jìn)行采集，以下是其中對孔徑100μm、200μm、500μm等3種小孔的成像的采集結(jié)果：

由圖4可以看到，孔徑d=200μm小孔的成像質(zhì)量最佳，邊緣的亮度突變最為顯著，d=100μm時(shí)由于衍射效應(yīng)導(dǎo)致邊緣模糊，而d=500μm時(shí)由于孔徑過大導(dǎo)致邊緣模糊。故，以下實(shí)驗(yàn)均采用孔徑d=200μm小孔。

3.1.2 研究物距和像距對成像大小及清晰度的影響

現(xiàn)控制小孔直徑d=200μm，實(shí)驗(yàn)中仍使用白熾燈作為光源，被觀測物體直徑H=4mm?？刂破毓鈺r(shí)間和增益為恒定值，改變物距u和像距v，測量其對成像大小及清晰程度的影響。以下為采集到的部分圖片：

對采集到的圖片進(jìn)行比對，可以發(fā)現(xiàn)物、像距對像邊緣清晰度的影響較小。那么可以認(rèn)為物、像距對成像清晰程度的影響主要在于對像尺寸和亮度的影響。我們使用Tracker軟件對圖片的像尺寸H1和亮度B進(jìn)行分析，得到物距u、像距v和像尺寸H1、亮度B關(guān)系曲線如下：

由圖6至圖9可見像尺寸(大小)與像距呈正相關(guān)，而亮度與像距呈負(fù)相關(guān)；像尺寸與物距呈負(fù)相關(guān)，而像亮度在物距變化時(shí)保持了一個(gè)相對恒定的值。

圖4 3種不同孔徑小孔成像實(shí)驗(yàn)采集結(jié)果

圖5 小孔成像大小及清晰程度與物距u、像距v的關(guān)系

圖6 像尺寸H1—像距v曲線(物距u=6cm)

圖7 亮度B—像距v曲線(物距u=6cm)

圖9 亮度B—物距曲線u(像距v=6cm)

要想使成像更清晰，必須保證像具有足夠大的尺寸和足夠高的亮度。對于像距而言，為使成像足夠大，像距不宜過小，而同時(shí)為使亮度足夠高，像距不宜過大。對于物距而言，由于物距不影響成像的亮度，故可以縮小物距以使成像尺寸增大至圖像采集設(shè)備的采集極限。

圖11

3.2 “小孔成像”分辨本領(lǐng)的實(shí)驗(yàn)研究

首先使用直徑100μm的針孔作為物點(diǎn)，使用d=200μm小孔屏用于成像，控制物距u和像距v均為6cm，圖像采集設(shè)備得到圖像如圖10所示。

圖 10

使用Tracker軟件對圖11(a)中劃線部分的亮度進(jìn)行分析，得相對亮度曲線如圖11(b)。

以最大亮度值的一半作為光斑的邊緣，可以得到光斑的直徑約為22個(gè)像素。根據(jù)所用相機(jī)(單個(gè)像素大?。?.86*5.86μm)以及遠(yuǎn)心鏡頭的參數(shù)(0.6倍)，可以求得光屏上的成像直徑約為215μm。

由于100μm的針孔相對于成像用的d=200μm小孔來說不夠小，所以我們接下來使用分辨率板。將分辨率板置于光源前，控制物距u和像距v均為6cm，使用d=200μm的小孔進(jìn)行成像實(shí)驗(yàn)，以下為得到的部分圖像(圖12)(圖中數(shù)字X代表黑條紋的間距為δH=1/(2*X)mm)：

可以看到，條紋間距δH在0.18mm(1/5.6)以上時(shí)，依然可以較清晰的分辨，而在0.14mm(1/7.2)及0.12mm(1/8.0)時(shí)已經(jīng)較難分辨，當(dāng)條紋間距小于0.11mm(1/9.0)時(shí)已然完全無法分辨。

如果我們?nèi)ˇ腍=0.20mm(1/5.0)為能清晰分辨，恰好是由式(4)代入數(shù)據(jù)后算出結(jié)果的一半。這里固然有衍射的因素，更主要應(yīng)該是我們推導(dǎo)式(4)要求的條件過高所致。不妨將其修改為“當(dāng)像平面兩個(gè)光斑中央間的距離等于其半徑時(shí)，可以視為恰好能夠分辨?！眲t式(2)變?yōu)椋害腍1≈D/2，相應(yīng)式(4)修正為

(10)

將此式變形可得

(11)

實(shí)驗(yàn)中在物距u和像距v確定條件下，滿足一定的分辨率(最小分辨距離δH)要求，此式可作為在衍射可忽略時(shí)選擇“小孔成像”合適孔徑d的經(jīng)驗(yàn)公式。

3.3 實(shí)驗(yàn)研究“小孔成像”視場范圍的限制條件

圖 12

在這部分實(shí)驗(yàn)中，我們用小孔點(diǎn)陣代表物點(diǎn)，經(jīng)過小孔成像后，看它們的相對位置是否與物點(diǎn)一致，它們的相對亮度是否與物點(diǎn)的一致，即它能夠得到輪廓逼真的像。通過實(shí)驗(yàn)得到小孔成像視場范圍的限制條件。

現(xiàn)使用間距為2mm，直徑為0.5mm的小孔點(diǎn)陣置于光源前，控制物距u和像距v為6cm，使用d=200μm小孔成像，得到部分點(diǎn)的圖像如圖13所示。

圖 13

使用Tracker軟件對圖13中光斑中心的距離進(jìn)行測量，可以發(fā)現(xiàn)距離基本一致，說明小孔成像對發(fā)光物體的形狀還原得很好，但可以很明顯地發(fā)現(xiàn)，圖中各點(diǎn)的亮度明顯不同，而實(shí)際物體亮度應(yīng)是均勻的。

現(xiàn)采集圖13中劃出的水平線段的亮度值，得到如下曲線(見圖14)。

可以看到，對于左數(shù)第一個(gè)峰，亮度峰值已經(jīng)衰減到最亮點(diǎn)亮度峰值的一半左右，而根據(jù)點(diǎn)陣參數(shù)和物距u可以求得，該點(diǎn)偏離主軸的偏轉(zhuǎn)角僅為7.59°。故可以推測，對于尺寸較大的物體，如果不對物距加以控制，小孔系統(tǒng)所成的像將會(huì)在亮度上嚴(yán)重失真。

說明在做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)時(shí)，被觀測物體當(dāng)置于小孔屏的正前方，且物體對小孔的張角不宜過大。

4 結(jié)語與致謝

圖 14

一直以來，小孔成像僅僅作為光的直線傳播的實(shí)驗(yàn)為大家所共知，而涉及小孔成像問題的深入研究，包括理論研究和實(shí)驗(yàn)研究，未見到有相關(guān)的報(bào)道。本文為作者在指導(dǎo)學(xué)生研究第30屆國際青年物理學(xué)家競賽(IYPT2017)第3題的基礎(chǔ)上形成，題目要求設(shè)計(jì)用小孔光闌替代目鏡，自制出簡易的單透鏡望遠(yuǎn)鏡。出于興趣和需要，我們先從幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué)的理論層面做了關(guān)于小孔成像問題的深入研究，進(jìn)而使用現(xiàn)代光學(xué)實(shí)驗(yàn)技術(shù)并借助于ToupView和Tracker等計(jì)算機(jī)軟件對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了詳細(xì)的分析。從而得到了一般性結(jié)論，發(fā)現(xiàn)理論和實(shí)驗(yàn)具有良好的自洽性。

小孔成像的分辨率、像的大小和亮度均會(huì)影響我們觀察小孔成像清晰程度的主觀感覺。具體來說，本文研究得到的結(jié)論有：

(1) 物距和像距影響成像大小：物距越小，像距越大，成像越大。

(2) 對于孔徑，從幾何光學(xué)的角度是孔徑越小成像越清晰(不考慮亮度影響)，從波動(dòng)光學(xué)的角度是孔越小，衍射越明顯，成像越模糊。理論和實(shí)驗(yàn)均表明：當(dāng)小孔直徑取適當(dāng)值時(shí)，有最小分辨距離，邊緣的亮度突變最為顯著，此時(shí)成像的分辨能力最強(qiáng)，成像質(zhì)量最佳。

(3) 孔徑、物距和像距均會(huì)影響成像亮度；像距增大，成像亮度減弱；物距變化，成像亮度變化不明顯；小孔孔徑在一定范圍內(nèi)增大，成像亮度會(huì)增加。

(4)小孔成像對發(fā)光物體的形狀還原得很好，可以很明顯的發(fā)現(xiàn)，遠(yuǎn)離成像中心亮度明顯減弱，而實(shí)際物體亮度應(yīng)是均勻的，小孔成像具有邊緣模糊化的趨勢。

我們把以上研究結(jié)果引入望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，指導(dǎo)學(xué)生自制單透鏡望遠(yuǎn)鏡，比較好地完成了IYPT2017第3題，使得研究更加深入與實(shí)際。

本文在理論研究上盡管給出了分辨率與孔徑、物距和像距的經(jīng)驗(yàn)公式，但略顯粗糙，希望進(jìn)一步依據(jù)物理光學(xué)理論精確推導(dǎo)出分辨率與孔徑、物距和像距的函數(shù)關(guān)系，作為指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)的理論根據(jù)。在實(shí)驗(yàn)研究方面，需要提高測量精度，也可以使用相干光源進(jìn)一步研究，希望能精確測出在不同物距和像距條件下最佳成像孔徑，以期給成像技術(shù)應(yīng)用有更好的借鑒作用。另一方面，由于“小孔成像”不是真正的物理成像，不太能被方便地處理和利用，加上小孔通光孔徑小，能量利用率低，因此“小孔成像”未能在成像科學(xué)技術(shù)中被廣泛利用。但從自然科學(xué)的角度，對小孔成像問題作深入研究是很有意義的，同時(shí)本文所做研究對指導(dǎo)中學(xué)物理教學(xué)以及在照相機(jī)和攝影機(jī)等成像科學(xué)技術(shù)中領(lǐng)域也有一定的借鑒意義。

最后在此感謝清華大學(xué)路俊嶺教授給予的理論指導(dǎo)和研究建議；感謝南京邁塔光電Metalab創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)基地給予的實(shí)驗(yàn)支持，感謝雎長城博士提供寶貴意見。

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