姜云翔 王春喜馬 玲 曹雪立 王 茂 趙 健

(1.北京航天計(jì)量測試技術(shù)研究所，北京 100076；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱 150001；3.北京航天控制儀器研究所，北京 100039)

1 引 言

伺服轉(zhuǎn)臺(tái)是一類廣泛應(yīng)用于航天、航空等領(lǐng)域的精密設(shè)備，隨著航天航空技術(shù)的高速發(fā)展，伺服轉(zhuǎn)臺(tái)的控制性能也需要不斷提高。摩擦干擾力矩的存在嚴(yán)重制約著伺服轉(zhuǎn)臺(tái)的控制精度，特別是對于高精度低速伺服轉(zhuǎn)臺(tái)，其摩擦干擾尤其突出。因此必須設(shè)計(jì)相應(yīng)的摩擦補(bǔ)償方法對摩擦力矩進(jìn)行補(bǔ)償。本文以某型雙軸伺服轉(zhuǎn)臺(tái)研制為背景，對其控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及摩擦補(bǔ)償技術(shù)展開研究，以實(shí)現(xiàn)該轉(zhuǎn)臺(tái)承載的光學(xué)相機(jī)對空間飛行器的快速高精度跟蹤。對抑制摩擦干擾進(jìn)而提高伺服轉(zhuǎn)臺(tái)的動(dòng)態(tài)跟蹤精度具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

2 系統(tǒng)模型建立

目前，在工程中經(jīng)常采用的摩擦模型有庫侖模型、庫侖摩擦+粘滯摩擦模型、靜摩擦+庫侖摩擦+粘滯摩擦模型、Stribeck 摩擦模型、LuGre動(dòng)態(tài)摩擦模型[1]。綜合考慮工程實(shí)現(xiàn)難易和對摩擦現(xiàn)象描述的準(zhǔn)確性，本文選用可以較為準(zhǔn)確地反映摩擦力特性的 Stribeck 摩擦模型。該模型可表示為

(1)

表1 Stribeck模型參數(shù)估計(jì)

對于直流力矩電機(jī)，忽略電樞電感及阻尼系數(shù)的影響，建立如圖1所示的數(shù)學(xué)模型框圖。

圖1 被控對象數(shù)學(xué)模型框圖Fig.1 Block diagram of the mathematical model of the controlled object

對應(yīng)上圖，可以得到實(shí)際被控對象的數(shù)學(xué)模型如式(2)所示。

(2)

不考慮摩擦力矩作用時(shí)的系統(tǒng)模型作為標(biāo)稱模型如式(3)所示。

(3)

系統(tǒng)參數(shù)確定如表2所示。

表2 系統(tǒng)參數(shù)

3 模型參考模糊自適應(yīng)

模型參考模糊自適應(yīng)控制是利用模糊控制器代替常規(guī)的、復(fù)雜的自適應(yīng)控制器[2]，該方法并不要求對參考模型和實(shí)際被控系統(tǒng)建立精確地?cái)?shù)學(xué)模型，而只要根據(jù)系統(tǒng)的模糊信息，用模糊條件語句寫出控制規(guī)則，魯棒性好，實(shí)時(shí)性好。其控制原理圖如圖2所示。

圖2 MRFAC摩擦補(bǔ)償控制原理圖Fig.2 MRFAC principle diagram of friction compensation control

模糊控制器的設(shè)計(jì)是MRFAC中的核心環(huán)節(jié)，其需要根據(jù)不同的控制對象特征調(diào)整模糊控制規(guī)則。下面對模糊控制器進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。模糊控制器的基本結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 模糊控制器的基本構(gòu)成圖Fig.3 Basic composition diagram of fuzzy controller

目前人們廣泛設(shè)計(jì)和應(yīng)用二維模糊控制器。設(shè)計(jì)步驟如下:

(1)確定模糊控制器的輸入、輸出變量

在本摩擦補(bǔ)償控制中，選擇工程中常用的二維模糊控制器，以E、Ec作為模糊推理的輸入，以uf作為摩擦的補(bǔ)償直接作用于實(shí)際被控對象。

其中：E——實(shí)際系統(tǒng)模型與標(biāo)準(zhǔn)模型的位置誤差；Ec——實(shí)際系統(tǒng)模型與標(biāo)準(zhǔn)模型的位置誤差變化率；uf——模糊控制的輸出。

(2)選擇描述模糊控制器輸入和輸出變量的詞集

在本系統(tǒng)中，通過查閱文獻(xiàn)及經(jīng)驗(yàn)，選擇七個(gè)詞匯描述輸入、輸出變量。即位置誤差E，誤差變化率Ec和模糊推理的輸出uf的模糊詞集均取為：{負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大}，一般用英文字頭縮寫為{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}；在這里取位置誤差E，誤差變化率Ec，模糊推理的輸uf的論域均為{-3，-2，-1，0，1，2，3}。

(3)隸屬度函數(shù)

隸屬度函數(shù)對模糊控制器的控制效果至關(guān)重要，在此，模糊控制器的輸入以及輸出變量均選取S型，三角形、Z型交疊對稱分布的隸屬度函數(shù)。曲線如圖4所示。

圖4 隸屬度函數(shù)曲線Fig.4 Membership function curve

(4)模糊控制規(guī)則

表3 模糊控制規(guī)則表

(5)非模糊化方法

通過上述模糊控制規(guī)則經(jīng)過模糊推理得出的控制變量是一個(gè)模糊子集，它是一個(gè)模糊量而不能直接控制被控對象，還需采用合理的方法將模糊量轉(zhuǎn)化為精確量，以便最好地發(fā)揮模糊推理決策的效果，在本文中，采用面積中心法(centroid)。

(6)量化因子和比例因子的選擇

量化因子和比例因子可以將模糊控制器的輸入變量及模糊控制器的輸出量映射為實(shí)際被控系統(tǒng)的輸出誤差和誤差變化量以及其對應(yīng)的輸入控制量。表示為式(4)。

Ke=n/Xe
Kc=m/Xc
Ku=Yn/l

(4)

式中:Ke——誤差對應(yīng)的量化因子;Kc——誤差變化對應(yīng)的量化因子;Ku——控制量對應(yīng)的比例因子;Xe,Xc——分別為誤差和輸入變量的基本論域最大值;Yn——輸出變量的基本論域最大值;n,m,l——分別為模糊子集。

許多研究者經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證明，在模糊控制器的控制規(guī)則及隸屬函數(shù)確定的情況下，其量化因子、比例因子的大小以及量化因子之間的相對大小關(guān)系，對模糊控制器的控制性能影響極大。因此，在模糊控制器的調(diào)試環(huán)節(jié)，主要是通過對量化因子和比例因子進(jìn)行調(diào)整，確定一組合理的值，從而使系統(tǒng)獲得較好的響應(yīng)效果。

4 模型參考模糊自適應(yīng)控制器的穩(wěn)定性分析

一個(gè)控制器的設(shè)計(jì)首先要保證的是穩(wěn)定問題，目前常用于分析模糊控制器穩(wěn)定性的方法有以下幾種：描述函數(shù)法、線性近似法、相平面法等[3]。本文選用線性近似法對系統(tǒng)模糊控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

將實(shí)際被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，即式(2)表示成如下的狀態(tài)方程

(5)

式中:Ap,Bp,Cp——分別為閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣、控制矩陣以及輸出矩陣。

參考模型的狀態(tài)方程表示如下

(6)

式中:Am,Bm,Cm——分別為參考模型閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、控制矩陣以及輸出矩陣。u,uf的定義同式(3)中。

式(5)中，模糊控制器和摩擦力矩干擾均為非線性系統(tǒng)，下面分別將其進(jìn)行近似線性化表示，從而對MRFAC系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

4.1 摩擦模型的線性化

如式(1)所示，Stribeck摩擦模型具有顯著的非線性，對stribeck摩擦函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到式(7)，由此確定Stribeck摩擦曲線的走向，這樣能確定更準(zhǔn)確的分段線性函數(shù)[4,7]。

(7)

(8)

利用Matlab對Stribeck摩擦曲線進(jìn)行繪制，即式(7)及分段線性函數(shù)式(8)描述的曲線，如圖5所示。

圖5 Stribeck摩擦曲線及其線性化曲線Fig.5 Stribeck friction curve and its linearization curve

4.2 Lyapunov穩(wěn)定性證明

(9)

式中：

(10)

將式(9),式(10)代入式(5)，可得下式

(11)

記Φ=(I+K2B2Cp)-1(Ap-K1BpCp),X0=(I+K2B2Cp)-1Bpu

則式(11)，即被控對象的狀態(tài)方程可表示為

(12)

選擇的參考模型是穩(wěn)定的，則當(dāng)t→時(shí)，有因此，當(dāng)t→時(shí)，(I+K2B2Cp)-1

ΦTP+PΦ=-Q

(13)

式中:P,Q——正定實(shí)對稱矩陣。由式(13)可以推理保證系統(tǒng)穩(wěn)定的K1和K2的范圍，用式(14)的不等式表示

α1≤K1≤α2,β1≤K2≤β2

(14)

因此，滿足穩(wěn)定的模糊控制器輸出u可以表示為如下的不等式

(15)

當(dāng)模糊控制器輸出滿足式(15)時(shí)，則能證明該控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

由式(15)可以看出，模糊控制器輸出在一定范圍內(nèi)變化，正是由于這種輸出的動(dòng)態(tài)調(diào)整作用，才使得模型參考模糊自適應(yīng)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力，從而對復(fù)雜控制模型具有較好的控制效果。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證上述摩擦補(bǔ)償方法的效果,本文進(jìn)行了數(shù)值仿真。選取參考輸入的位置信號為

θd=Asin(2πft)

(16)

式中:A——位置信號的幅值，取A=2；f——位置信號的變化頻率，取f=0.16Hz；t——時(shí)間。

圖6 未補(bǔ)償位置跟蹤曲線Fig.6 Uncompensated position tracking curve

圖7 未補(bǔ)償速率跟蹤曲線 Fig.7 Uncompensated velocity tracking curve

圖8 未補(bǔ)償位置跟蹤誤差曲線Fig.8 Uncompensated position tracking error curve

從未進(jìn)行摩擦補(bǔ)償?shù)那€可以看出，受摩擦力矩的影響，位置跟蹤曲線有明顯的“平頂”現(xiàn)象，速率跟蹤曲線有死區(qū)現(xiàn)象，位置跟蹤偏差大；而從進(jìn)行摩擦補(bǔ)償?shù)那€可以看出，其位置跟蹤曲線的“平頂”現(xiàn)象及速率跟蹤的“死區(qū)”現(xiàn)象均有明顯改善，且位置跟蹤偏差顯著下降至10″以內(nèi)，提高了轉(zhuǎn)臺(tái)的伺服精度。

圖9 補(bǔ)償后位置跟蹤曲線Fig.9 Position tracking error curve after compensated

圖10 補(bǔ)償后速率跟蹤曲線Fig.10 Velocity tracking curve after compensated

圖11 補(bǔ)償后位置跟蹤誤差曲線Fig.11 Velocity tracking error curve after compensated

6 結(jié)束語

針對某型伺服轉(zhuǎn)臺(tái)在摩擦力矩干擾下引起的低速爬行問題，本文設(shè)計(jì)了基于模型參考模糊自適應(yīng)方法的摩擦力矩補(bǔ)償控制方案，并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析以及仿真論證。仿真結(jié)果表明，該摩擦補(bǔ)償方法能夠有效抑制摩擦干擾的不利影響，顯著提高了轉(zhuǎn)臺(tái)的伺服精度。