譚也平，王 健，張 謙

(深圳大學土木工程學院,廣東 深圳 518060)

1 引言

索在房屋建筑結構中應用的歷史只有六十幾年[1-5], 對于索網結構的找形問題,已經有了廣泛的研究。Schek最先提出了力密度法,用于索網結構的找形[6]。Linkwitz和Grundig運用數(shù)值分析的方法不斷發(fā)展和完善了該原理[7-8]。

索網結構作為二十世紀七十年代初德國盛行的空間張拉體系,因其結構效率極高而成為最有發(fā)展前景的建筑結構之一。索網結構其結構的空間力學特性,使得索單元在施加預應力之后才能形成穩(wěn)定的結構。在無使用荷載狀態(tài)下,結構通過各個索單元的預應力相互作用而處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)?；诮Y構的拓撲關系、預設的力密度值對每一個節(jié)點建立靜力平衡方程,通過求解平衡方程得到索單元節(jié)點坐標。力密度法通過預設的力密度值使求解復雜的幾何非線性問題轉化成求解一組簡單的線性方程組,從而避免了坐標初始值問題以及其他方法致命的收斂性問題,是求解索網結構找形問題的有效方法[9]。

Matlab是由Math works公司開發(fā)的一套功能強大的數(shù)學軟件,也是當今科工程應用最廣泛的計算機語言之一。高度集成的數(shù)值計算、符號運算、計算機可視化為找形分析提供了便利[10]。完善的科學計算工具和采用矩陣運算的機制使得Matlab編寫的找形程序比用C++、FORTRAN等傳統(tǒng)語言更為便捷,運用稀疏存儲結構存儲非零元素可以有效減少矩陣存儲量,優(yōu)化計算過程,從而可以迅速計算出節(jié)點坐標,并通過內置的數(shù)據可視化功能輸出索網結構找形圖。

2 力密度法的計算原理

對于索網結構在本文中符合以下假定：

(1) 節(jié)點拓撲結構是已知的；

(2)各索單元的節(jié)點連接均為鉸接；

(3) 在找形過程中不施加外荷載并且忽略結構自重。

假設有一個具有m個桿單元,n個節(jié)點的索網結構。 第k個索單元的節(jié)點i和j(i

(1)

其中,索單元k的長度

(2)

假設Q是力密度矢量q的對角矩陣：

Q=diag(q)

(3)

如果索單元k連接到節(jié)點和,那么拓撲矩陣Cs=[CCf](C和Cf分別為自由節(jié)點和固定節(jié)點的拓撲矩陣)的第k行的數(shù)值分別設為1和-1,除此之外第k行元素等于0。則拓撲矩陣Cs為：

(4)

由拓撲矩陣中各節(jié)點的位置關系,可以得出索單元相鄰節(jié)點的坐標差為：

u=Cx+Cfxf

v=Cy+Cfyf

(5)

w=Cz+Cfzf

其中x、y、z為m維列向量節(jié)點坐標；

其中xf、yf、zf為固定節(jié)點坐標。

根據力密度的定義,由(1)式可以得到索單元的平衡方程為：

CtUq=px

CtVq=py

(6)

CtWq=pz

其中U、V、W為u、v、w的對角矩陣；px、py、pz為節(jié)點三個方向上的外力；Ct為自由節(jié)點拓撲矩陣的轉置矩陣。

由矩陣的運算性質有：

Uq=Qu

Vq=Qv

(7)

Wq=Qw

聯(lián)立(5)(6)(7)可得：

CtQCx+CtQCfxf=px

CtQCy+CtQCfyf=py

(8)

CtQCz+CtQCfzf=pz

由于找形過程中,索網結構節(jié)點無外荷載,節(jié)點的平衡方程可以表示為：

CtQCx+CtQCfxf=0

CtQCy+CtQCfyf=0

(9)

CtQCz+CtQCfzf=0

令系數(shù)矩陣D=CtQC,常數(shù)矩陣Df=CtQCf,則三個方向的節(jié)點坐標為：

x=-D-1Dfxf

y=-D-1Dfyf

(10)

z=-D-1Dfzf

由此,只需根據結構拓撲矩陣和預設的力密度值即可得到找形后的節(jié)點坐標。

3 程序編制

索網結構的力密度找形仿真過程就是根據拓撲矩陣(包括固定節(jié)點坐標)和預設的力密度值求解式(10),得到每一個索單元的節(jié)點坐標。本文提出了基于稀疏存儲結構(sparse函數(shù))的力密度法的格式,根據力密度法計算原理編制了索網結構找形的計算程序,計算流程如圖1所示：

圖1 找形流程圖

4 數(shù)值算例

算例1對稱雙曲拋物面是典型的索網結構,結構投影圖如圖2所示,結構平面為正方形,相鄰對角線固定點高差為?？偣?jié)點數(shù)ns=61,mf=4,自由節(jié)點數(shù)n=57。假設固定節(jié)點坐標(黑點表示固定節(jié)點)分別為：nf1(-5,-5,0,),nf2(5,-5,4),nf2(5,5,0),nf4(-5,5,4)。索單元數(shù)m=120.預設的邊界索單元力密度q=100,內部索單元力力密度值q=10,輸入結構拓撲信息,根據式(10)編制的程序得到結構的找形結果如圖3所示。

圖2 雙曲面投影圖 圖3 雙曲面找形圖

算例2懸鏈圓環(huán)張拉索網結構如圖4所示,圓環(huán)半徑由內到外分別為15m到50m,總節(jié)點數(shù)ns=192,固定節(jié)點數(shù)nf=48,自由節(jié)點數(shù)n=144,桿單元m=528。圓環(huán)內外圈固定節(jié)點高差為20m, 預設的內外邊界索單元力密度值q=100,內部索單元力力密度值q=20,輸入結構拓撲信息,根據式(10)編制的程序得到結構的找形結果如圖5所示結構。

圖4 懸鏈圓環(huán)投影圖 圖5 懸鏈圓環(huán)找形圖

算例3體育場看臺頂棚投影圖和固定節(jié)點如圖6所示,該結構平面為32m×8m矩形。其中,總節(jié)點數(shù)ns=301,固定節(jié)點nf=12,自由節(jié)點數(shù)n=289,桿單元m=556。預設的上下邊界索單元力密度值q=50 、150,左右邊界索單元和內部索單元力力密度值q=10,輸入結構拓撲信息,根據式(10)編制的程序得到結構的找形結果如圖7所示。

圖6 帳篷投影圖 圖7 帳篷找形圖

5 結語

(1)索網結構的內力特點在設計時需要進行結構找形分析,力密度法原理可以使找形中的非線性問題線性化,是確定索網結構形狀問題的有效方法。

(2)三個算例表明,基于Matlab的稀疏存儲結構可以迅速求解出索網結構的節(jié)點坐標,其高度的準確性和便捷性適用于大型索網結構的找形分析。

(3)對于給定約束條件如特定的索長、索力及邊界約束條件,需要進一步研究的問題是通過力密度法找形得出的初始形狀,對其進行帶有約束條件的迭代,使得索長、索力滿足設計要求。