栗偉周，葛新鋒

(許昌學院 工程技術中心，河南 許昌 461000)

0 引 言

復合材料纖維絲束鋪放技術一般都是由冗余自由度機器人來完成，所以冗余自由度纖維絲束鋪放機器人的發(fā)展得益于鋪放成型技術的發(fā)展[1]。20世紀90年代，美國辛辛那提公司[2]開發(fā)了世界上第一臺纖維絲束鋪放機器人；此后，美國的EI公司[3]研制出一款多鋪絲頭高速冗余鋪絲設備，極大提高了鋪絲過程的工作效率；法國科里奧利公司研發(fā)的冗余鋪絲機械手硬件功能齊全，并且配有CAD/CAM軟件CATFiber，非常適合對形狀復雜零件的鋪放。與此同時，國內南京航空航天大學[4]、哈爾濱工業(yè)大學等[5]高校開始對冗余纖維絲束鋪放機器人進行了系統(tǒng)的理論研究和試驗分析，取得了階段性成果。

在對纖維絲束鋪放機器人的研究中，冗余自由度機器人以其高度的靈活性，良好的避奇異和壁障能力受到了眾多研究者的青睞[6-8]。

為了采用量化的性能指標來評價冗余自由度機器人的運動能力，靈活性和避障避奇異能力成為了研究的熱點。YOSHIKAWA[9]用可操作度來衡量冗余自由度機器人的靈活性，可操作度越大，機器人越靈活；SALISBURY[10]用條件數來衡量機器人的操作能力；ANGLE[11]改進了條件數；KLEIN[12]用最小奇異值作為衡量冗余自由度機器人的性能指標，并將其運用到冗余自由度機器人設計與控制中；郭希娟[13]在Gosselin[14]提出的全局性能指標的基礎給出了二階影響系數的全域性能指標。

但以上幾個操作性能指標都是基于Jacobian矩陣，依賴于R6?se(3)上的歐氏度量，但歐氏度量依賴于坐標系，不同坐標系下Jacobian矩陣的最小奇異值不同，因此用Jacobian矩陣最小奇異值來衡量機器人的操作性能是不行的。文獻[15]中提出了體積元作為衡量機器人運動學操作性能的性能指標，但是對于冗余自由度機器人的運動學性能指標沒有給出定義。

本文將在文獻[15]的基礎上，定義體積元函數，把體積元函數作為衡量機器人運動學可操作性度量的指標，并以七自由度自動鋪絲機器人為例，求出體積元函數。

1 機器人活動標架的遞推公式和外微分

1.1 機器人的活動標架

機器人連桿i的活動標架建立在連桿i-1上，這樣機器人末端手抓n的活動標架即機器人連桿n-1上，通過遞推即可推出連桿n-1的活動標架[16]。

在串聯(lián)機器人相鄰關節(jié)上標注活動標架，相鄰關節(jié)i-1，i，i+1和連桿i-1，i上的活動標架標注如圖1所示。

圖1 連桿上的活動標架系li—連桿長；ai—偏距；αi(i+1)—關節(jié)i和i+1之間的扭角

轉動關節(jié)的活動標架：

(1)

移動關節(jié)的活動標架：

(2)

這樣連桿i的位置和姿態(tài)就可以由活動標架完全確定。表示成矩陣形式為：

(3)

對于轉動關節(jié)：

(4)

對于移動關節(jié)：

(5)

則機器人末端執(zhí)行器的位姿為：

{e1,e2,e3;r}=0T1(θ1)1T2(θ2)2…n-1Tn(θn)

(6)

1.2 外微分形式

設n維歐氏空間Rn中的坐標(x1,x2,…,xn)，以(dx1,dx2,…,dxn)為基底的實向量空間為V，可以做出向量空間G(V)。其中，Vp(p=1,…,n)中的元素可以表示為：

(7)

活動標架的集合構成了機器人的工作空間曲面，該曲面反映了機器人的運動學性質。因此，本研究用外微分和活動標架在該曲面上定義反映運動學操作性能的不變量。

2 體積元

機器人的工作空間反映了末端手抓的運動密度，可用體積元描述，對體積元積分就可求得工作空間。在末端手抓上建立活動標架，該活動標架的運動集合就是機器人的工作空間。末端手抓上活動標架的相對分量為ω1,ω2,ω3,ω23,ω31,ω12，找出活動標架的6個相對分量中的極大線性無關組，并作外積，就構成了體積元dV：

dV=ω1∧ω2∧ω3∧ω23∧ω31∧ω12

平移體積元dT為：

dT=ω1∧ω2∧ω3

旋轉體積元dR為：

dR=ω23∧ω31∧ω12

體積元反映了機器人末端手抓的位置對應平移體積，末端手抓的姿態(tài)對應旋轉體積。

3 七自由度自動鋪絲機器人的體積元

3.1 七自由度自動鋪絲機器人的結構及參數

七自由度纖維絲束自動鋪放機器人由六自由度機器人和芯模構成。在計算工作空間時進行等效變換：芯模固定不動，芯模上坐標系與基坐標系重合，基座與芯模用虛擬旋轉關節(jié)相連，這樣該七自由度機器人就由4個轉動關節(jié)、3個移動關節(jié)構成。七自由度纖維絲束自動鋪放機器人結構如圖2所示[17]。

圖2 纖維絲束自動鋪放機器人結構圖

腕部3個轉動關節(jié)交與一點，其等效拓撲結構如圖3所示。

圖3 纖維絲束自動鋪放機器人拓撲結構圖

本研究按D-H參數建立坐標系，標注七自由度纖維絲束自動鋪放機器人參數，其參數如表1所示。

表1 纖維絲束自動鋪放機器人參數表

3.2 七自由度自動鋪絲機器人的體積元

將以上矩陣相乘，就可得到末端手抓的基于活動標架的矩陣：

(8)

g11=sinθ1sinθ5cosθ6cosθ7-cosθ1sinθ6cosθ7+sinθ1cosθ5sinθ7

g12=-sinθ1sinθ5cosθ6sinθ7+cosθ1sinθ6sinθ7+sinθ1cosθ5cosθ7

g13=-sinθ1sinθ5sinθ6-cosθ1cosθ6

g14=-(c+d4)cosθ1+d3sinθ1+a0

g21=-cosθ1sinθ5cosθ6cosθ7-sinθ1sinθ6cosθ7-cosθ1cosθ5sinθ7

g22=cosθ1sinθ5cosθ6sinθ7+sinθ1sinθ6sinθ7-cosθ1cosθ5cosθ7

g23=cosθ1sinθ5sinθ6-sinθ1cosθ6

g24=-(c+d4)sinθ1-d3cosθ1

g31=-cosθ5cosθ6cosθ7+sinθ5sinθ7

g32=cosθ5cosθ6sinθ7+sinθ5cosθ7

g33=cosθ5sinθ6

g34=-a3+d2

則七自由度自動鋪絲機器人末端執(zhí)行器的廣義速度為：

(9)

假設七自由度自動鋪絲機器人末端執(zhí)行器的物體速度為：

(10)

把式(8)代入式(9)，得到活動標架的6個線性無關的相對分量：

(11)

這些分量的外積構成了自動鋪絲機器人的體積元dV，即：

dV=(g11dg14+g21dg24+g31dg34)∧

(g12dg14+g22dg24+g23dg34)∧

(g13dg14+g23dg24+g33dg34)∧

(g13dg12+g23dg22+g33dg32)∧

(g12dg11+g22dg21+g32dg31)∧

(g11dg13+g21dg21+g31dg33)

(12)

對式(12)進行積分，即可得到體積元函數。

4 結果分析

(13)

式中：

J11=-d3sinθ6cosθ7+(c+d4)(sinθ5cosθ6cosθ7+cosθ5sinθ7)

J12=-cosθ5cosθ6cosθ7+sinθ5sinθ7

J13=sinθ5cosθ6cosθ7+cosθ5sinθ7

J14=J45=sinθ6cosθ7

J21=d3sinθ6sinθ7+(c+d4)(sinθ5cosθ6sinθ7+cosθ5cosθ7)

J23=-sinθ5cosθ6sinθ7+cosθ5cosθ7

J24=J55=-sinθ6sinθ7

J31=-d3cosθ6+(c+d4)sinθ5sinθ6

J33=sinθ5sinθ6

J34=J65=cosθ6

J41=-cosθ5cosθ6cosθ7+sinθ5sinθ7

J46=-sinθ7

J51=J22=cosθ5cosθ6sinθ7+sinθ5cosθ7

J56=-cosθ7

J61=J32=-cosθ5sinθ6

由于求出的操作度函數和體積元函數都是變量比較多的函數，但從形式上沒辦法比較它們的異同。因此，本研究在所求出的操作度函數和體積元函數中，分別做出函數的變化曲線，操作度函數的變化趨勢如圖4所示。

圖4 操作度函數變化曲線

體積元函數的變化趨勢如圖5所示。

圖5 體積元函數變化曲線

從圖(4，5)可以看出：操作度函數和體積元函數的變化趨勢和極值點都相同，所以用體積元衡量纖維絲束自動鋪放機器人運動學性能是可行的。

5 結束語