楊小東，徐志良，楊啟帆，彭定強(qiáng)，董明成

(1.重慶大學(xué)教育部深空探測(cè)聯(lián)合研究中心,重慶400044；2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶400044)

1 引言

目前,太空探測(cè)的主要運(yùn)輸手段是運(yùn)載火箭,存在運(yùn)輸成本高、污染嚴(yán)重及產(chǎn)生太空垃圾等缺點(diǎn)。未來(lái)大規(guī)模的空間設(shè)施建設(shè)、常態(tài)化的天地運(yùn)輸,須尋求更加經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、可持續(xù)的天地運(yùn)輸模式。為了滿(mǎn)足這種需求,俄羅斯科學(xué)家Y.Artsutanov提出了如圖1(a)所示的地球天梯概念［1］。天梯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,且可像高速公路一樣24小時(shí)連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn),將航天器和旅客送入太空,其成本是運(yùn)載火箭運(yùn)輸成本的1%左右［2］。

天梯系統(tǒng)除了天梯繩索的材料及建造成本之外,常態(tài)化的天地運(yùn)輸過(guò)程中爬升機(jī)構(gòu)的能耗將成為主要的運(yùn)行成本,天梯系統(tǒng)爬升機(jī)構(gòu)在爬升及降落過(guò)程中的動(dòng)力及功耗的分析計(jì)算是亟待解決的問(wèn)題。P.Swan依據(jù)國(guó)際航天學(xué)會(huì)的研究,建議如圖1(b)所示的天梯爬升機(jī)構(gòu)在爬升過(guò)程中的平均速度應(yīng)為 60 m/s［3］。 Pamela Woo［4］主要研究了LEO-GEO段太空天梯系統(tǒng)在運(yùn)輸過(guò)程中的能耗；結(jié)論顯示其能耗居于傳統(tǒng)火箭與天梯系統(tǒng)之間,且天梯長(zhǎng)度,載荷與驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)質(zhì)量比,LEO高度,天梯材料等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)其能耗有影響。

目前涉及地球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行能耗的具體計(jì)算方法及數(shù)值結(jié)果的文獻(xiàn)尚少。日本航天局?jǐn)M采用新干線(xiàn)列車(chē)技術(shù)來(lái)解決地球電梯進(jìn)入太空的動(dòng)力問(wèn)題［2］。通過(guò)分析天梯系統(tǒng)的運(yùn)行特點(diǎn),可參考相關(guān)載運(yùn)牽引模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。P.Swan研究得到20 t重的爬升機(jī)構(gòu)啟動(dòng)所需最大功率為1.18×104kW,且功率隨爬升高度的升高而大幅減少［3］。我國(guó)目前尚無(wú)地球天梯運(yùn)行能耗相關(guān)研究,但列車(chē)運(yùn)行牽引計(jì)算方法已很成熟,而動(dòng)車(chē)組列車(chē)牽引計(jì)算的關(guān)鍵是確定其阻力及功率等參數(shù)［5］。國(guó)內(nèi)對(duì)于高速動(dòng)車(chē)組的牽引研究經(jīng)歷了人工計(jì)算、單質(zhì)點(diǎn)方法和多質(zhì)點(diǎn)電算3個(gè)階段［6］。曹霞［7］在列車(chē)牽引計(jì)算理論的基礎(chǔ)上,研究了粘著牽引力,運(yùn)行阻力,動(dòng)車(chē)組牽引特性計(jì)算等內(nèi)容。宋海藍(lán)等［8］針對(duì)月球天梯環(huán)境,考慮乘客舒適性問(wèn)題,提出了一種加速度二項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)方式,其加速度大小和加速時(shí)間可以結(jié)合實(shí)際情況選取；并根據(jù)牛頓第二定律分段建立太空艙牽引力數(shù)學(xué)模型,求解了各階段的最大牽引力、最大功率及能耗等參數(shù)。

本文針對(duì)我國(guó)天梯能耗研究的不足,基于動(dòng)車(chē)組單質(zhì)點(diǎn)列車(chē)牽引力/功率模型,并考慮運(yùn)行方向、地球引力、空氣阻力、科里奧利力及外太空真空環(huán)境等因素,建立一種地球天梯運(yùn)行能耗模型,并求解地球天梯爬升機(jī)構(gòu)爬升過(guò)程的啟動(dòng)牽引力、最大功率及總能耗等相關(guān)參數(shù)。

2 爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行環(huán)境分析

地球天梯系統(tǒng)運(yùn)行環(huán)境包括了地球引力、空氣阻力、科里奧利力、機(jī)械摩擦力及外太空真空環(huán)境等因素,對(duì)地球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程進(jìn)行合理地分解有助于建立準(zhǔn)確的能耗模型。隨著爬升高度的升高,根據(jù)空氣阻力及地球引力的變化規(guī)律,將地球天梯的整個(gè)運(yùn)行過(guò)程分解為四個(gè)部分,包括加速階段、巡航階段(大氣層內(nèi))、巡航階段(大氣層外)及減速階段,可較為準(zhǔn)確地模擬地球天梯的真實(shí)環(huán)境。

天梯繩索材料為碳納米管,屬于粘彈性材料,橫向振動(dòng)、剪切和彎曲應(yīng)力均可忽略不計(jì)［9］。天梯繩索為兩端固定軸向運(yùn)動(dòng)類(lèi)材料,爬升機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力引起天梯繩索的機(jī)械能變化,改變了天梯繩索的局部張力,而天梯材料的彈性模量及抗拉強(qiáng)度分別為1800 GPa和200 GPa［10］,所受動(dòng)張力極小。為便于分析,將地球天梯系統(tǒng)簡(jiǎn)化為繩子系統(tǒng),爬升機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)［7］。地球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程中,爬升機(jī)構(gòu)將產(chǎn)生科氏加速度分量增加附加摩擦力。因?yàn)榭剖霞铀俣葍H與爬升機(jī)構(gòu)的爬升線(xiàn)速度呈線(xiàn)性正比關(guān)系且數(shù)值較小。科氏加速度所產(chǎn)生的摩擦力以安全系數(shù)的形式代替。通過(guò)改變驅(qū)動(dòng)策略,采用緩慢啟動(dòng)形式可大大削減天梯繩索的動(dòng)張力及縱向振動(dòng)［11］。爬升機(jī)構(gòu)在天梯繩索上運(yùn)行時(shí),在加速度階段會(huì)對(duì)繩索產(chǎn)生向下的拉力,為了減小這個(gè)拉力則應(yīng)減小加速度的大小,故選擇小加速度—長(zhǎng)加速時(shí)間的加速策略［8］,天梯繩索振動(dòng)能耗可忽略不計(jì)。

要計(jì)算地球天梯的運(yùn)行能耗,求解爬升機(jī)構(gòu)的動(dòng)力參數(shù)是必要的。本文選取爬升機(jī)構(gòu)及載荷共重100 t,爬升階段考慮乘客舒適性要求［7-8］,加速度階段平均加速度為1.5 m/s2,達(dá)到極限速度200 km/h(55 m/s)需要約37 s,加速距離約為1 km；制動(dòng)階段選擇平均減速度為0.5 m/s2,制動(dòng)時(shí)間約為110 s,制動(dòng)距離約為3 km。具體階段劃分及參數(shù)選取如表1所示。

表1 爬升機(jī)構(gòu)各階段參數(shù)選取Table 1 Parameter selection at each stage of the climbing mechanism

表中i＝0,1,2,3,分別對(duì)應(yīng)天梯運(yùn)行的加速、巡航和減速段。a為爬升機(jī)構(gòu)牽引加速度,g為重力加速度；f為天梯爬升機(jī)構(gòu)所受阻力系數(shù),如式(1)所示［7］：

式中,fM為機(jī)械摩擦阻力,fA為空氣阻力,分別如式(2)、(3)所示：

式中,Fp為垂直于天梯繩索的正壓力,μ取為0.3。根據(jù)大氣層分布參數(shù)可擬合出ρA的經(jīng)驗(yàn)公式如式(4)：

3 運(yùn)行過(guò)程受力分析及能耗建模

地球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行加速階段、巡航階段(大氣層內(nèi))、巡航階段(大氣層外)及減速階段各階段受力分析簡(jiǎn)圖如圖2所示,天梯系統(tǒng)爬升機(jī)構(gòu)在爬升階段受到地球引力及阻力的阻礙,其驅(qū)動(dòng)力計(jì)算需考慮自身重力及阻力等因素。

在加速階段,天梯爬升機(jī)構(gòu)受到地球引力、空氣阻力、科里奧利力、機(jī)械摩擦力等綜合作用的影響,其所需牽引力最大。加速階段采用恒力啟動(dòng),需先求得啟動(dòng)牽引力,參考動(dòng)車(chē)組牽引力公式［7］,且考慮垂直爬升,假定輪子與天梯繩索間摩擦系數(shù)取μ＝0.3,可得天梯爬升機(jī)構(gòu)啟動(dòng)牽引力模型如式(5)：

式中,Δa為剩余加速度,取0.05 m/s2；μ為輪子與繩索間摩擦系數(shù),取μ＝0.3；g0為加速階段重力加速度,取g0＝9.8 m/s2；f0為加速階段阻力系數(shù)?；趧?dòng)車(chē)組牽引功率公式［12］,針對(duì)天梯系統(tǒng)特點(diǎn),可建立地球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行功率模型如式(6)：

式中,K為慣性系數(shù),取K＝1.06；Δv為氣流速度,取 100 km/h；ηGear為齒輪傳動(dòng)效率,取0.98；ηM為電動(dòng)機(jī)傳動(dòng)效率,取0.94。

當(dāng)速度達(dá)到目標(biāo)速度(200 km/h)時(shí),進(jìn)入巡航階段,以恒定速度運(yùn)行,在此階段分別受到地心引力及阻力的阻礙。根據(jù)阻力情況可細(xì)分為兩個(gè)階段：在大氣層內(nèi)速度大于等于200 km/h,以空氣阻力為主,如圖2(b)；在大氣層外,以機(jī)械摩擦阻力為主,如圖2(c)。可建立巡航階段所需牽引力和功率模型分別如式(7)、(8)：

在即將到達(dá)GEO軌道空間站時(shí),爬升機(jī)構(gòu)需要提前制動(dòng),進(jìn)入減速階段。真空環(huán)境下沒(méi)有空氣阻力,依靠機(jī)械摩擦和反向驅(qū)動(dòng)來(lái)提供制動(dòng)力,可建立該階段牽引力和功率模型分別如式(9)、(10)：

綜上,參考動(dòng)車(chē)組能耗公式［7］,可建立地球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行能耗模型如式(11)：

4 運(yùn)行能耗求解

4.1 最大牽引力及最大功率求解

如上所述,地球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程中加速階段所需牽引力及功率最大。求解最大牽引力及最大功率有助于計(jì)算運(yùn)行過(guò)程的功率分布及運(yùn)行總能耗,且可用于輔助確定地球天梯系統(tǒng)的供能方案及電機(jī)選型。在加速階段,根據(jù)公式(1)可確定天梯爬升機(jī)構(gòu)的阻力系數(shù)在15～85(N/kN)之間,求得啟動(dòng)牽引力及最大功率變化趨勢(shì)如圖3所示?？梢?jiàn)爬升機(jī)構(gòu)啟動(dòng)牽引力及最大功率均受阻力的影響,且與阻力正相關(guān)。后續(xù)求解爬升機(jī)構(gòu)的動(dòng)力參數(shù)及運(yùn)行能耗時(shí)可參考CHR2車(chē)型的參數(shù)選取阻力系數(shù)。

將選定的最大阻力系數(shù)fmax＝68.02 N/kN及運(yùn)行參數(shù) v＝200 km/h、M ＝100 t代入式(5)、(6)求得爬升機(jī)構(gòu)啟動(dòng)牽引力Fmax＝3710 kN,最大功率Pmax＝9.5066×104kW,從而可求得運(yùn)行過(guò)程中恒牽引力和恒功率轉(zhuǎn)化的速度節(jié)點(diǎn)為92.247 km/h。求得的地球天梯爬升機(jī)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)如表2所示。

表2 爬升機(jī)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)Table 2 The dynamic parameters of climbing mechanism

解得的地球天梯爬升機(jī)構(gòu)加速階段牽引力—功率特性曲線(xiàn)如圖4所示,在到達(dá)速度轉(zhuǎn)化節(jié)點(diǎn)之前爬升機(jī)構(gòu)以恒定牽引力產(chǎn)生恒定加速度,保持爬升機(jī)構(gòu)勻加速運(yùn)行,其功率呈線(xiàn)性變化；在速度轉(zhuǎn)化節(jié)點(diǎn)后爬升機(jī)構(gòu)功率恒定,運(yùn)行速度繼續(xù)加快,導(dǎo)致?tīng)恳ο陆怠Ｔ摖恳?功率關(guān)系符合文獻(xiàn)描述的實(shí)際情況［6］。

4.2 運(yùn)行過(guò)程功率及總能耗求解

由于地球天梯的運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜,其阻力模型為分段函數(shù),聯(lián)立公式(5)～(11),通過(guò)分段積分可求得地球天梯爬升機(jī)構(gòu)爬升過(guò)程中不同階段能耗如表3及圖5、6所示。圖5為加速階段及巡航階段(大氣層內(nèi))運(yùn)行功率曲線(xiàn),爬升機(jī)構(gòu)在加速到最大速度之后功率突然降低,之后由于爬升高度的增高其所受重力逐漸減小,其功率也緩慢降低；圖6為巡航階段(大氣層外)及減速階段運(yùn)行功率曲線(xiàn),爬升機(jī)構(gòu)在大氣層外運(yùn)行時(shí)不考慮空氣阻力,只考慮機(jī)械摩擦阻力及地球引力因素,而地球引力起主要作用,隨著爬升高度的持續(xù)增高,其功率顯著降低,直至減速階段以恒定減速度使爬升機(jī)構(gòu)安全到達(dá)同步軌道空間站,從圖6可以看出功率曲線(xiàn)似對(duì)數(shù)函數(shù)分布,其與地球引力隨高度變化趨勢(shì)一致［3］,符合實(shí)際情況。

表3 爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)情況及能耗表Table 3 The movement and energy consumption of the climbing mechanism

由表3可知,基于地球天梯爬升機(jī)構(gòu)的加速策略及運(yùn)行距離,從加速完成至接近地球同步軌道空間站大約歷時(shí)7天,巡航階段(大氣層外)運(yùn)行時(shí)間占總運(yùn)行時(shí)間的99.87%,其運(yùn)行能耗占總能耗的99.25%,即：地球引力及機(jī)械摩擦阻力決定了天梯爬升機(jī)構(gòu)總能耗,其他星球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行能耗分布符合類(lèi)似規(guī)律。

5 結(jié)論

1)考慮了地球引力、空氣阻力、科里奧利力、機(jī)械摩擦力及外太空真空環(huán)境等因素,提出的地球天梯爬升機(jī)構(gòu)運(yùn)行能耗計(jì)算模型,通過(guò)計(jì)算運(yùn)行最大牽引力、最大功率和全過(guò)程功率分布曲線(xiàn),模型有效性得到了驗(yàn)證。

2)地球天梯運(yùn)行過(guò)程中所需最大牽引力約為3710 kN,最大功率約為9.5066×104kW,爬升過(guò)程運(yùn)行總能耗約為1.4781×106kW·h。

3)最大牽引力及最大功率均發(fā)生在加速階段,爬升機(jī)構(gòu)的最大牽引力及最大功率均受阻力的影響,且與阻力呈正相關(guān)關(guān)系。

4)由于巡航階段(大氣層外)運(yùn)行時(shí)間占總運(yùn)行時(shí)間的99.87%,其運(yùn)行能耗占總能耗的99.25%,即：地球引力及機(jī)械摩擦阻力決定了地球天梯爬升機(jī)構(gòu)總能耗。