馬建敏， 景 嫄

(長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系 陜西 西安 710064)

0 引言

Pawlak提出的粗糙集理論[1-2]是一種分析和處理不精確和不確定性問題的數(shù)學(xué)工具．目前，粗糙集理論已在數(shù)據(jù)挖掘、知識(shí)發(fā)現(xiàn)、圖像處理、模式識(shí)別[3-6]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用．

Pawlak粗糙集在等價(jià)關(guān)系對(duì)論域產(chǎn)生的劃分(單?？臻g)上給出了目標(biāo)概念的近似描述．此后，許多學(xué)者將等價(jià)關(guān)系推廣到容差、相似或優(yōu)勢(shì)關(guān)系等[7-11]，或?qū)⒛繕?biāo)概念推廣到模糊集等[12]研究粗糙近似．Lin提出了粒計(jì)算的概念[13-14]，討論了二元關(guān)系下的模糊集和粗糙集方法，并將粒計(jì)算方法引入到數(shù)據(jù)挖掘和機(jī)器學(xué)習(xí)中．錢宇華等從粒計(jì)算角度建立了等價(jià)關(guān)系族下的多?？臻g，提出了多粒度粗糙集模型[15-17]，證明了經(jīng)典的粗糙集是多粒度粗糙集的特殊情況．

在實(shí)際應(yīng)用中，有些概念往往不能精確定義，概念的外延也不能由實(shí)體集精確表達(dá)．現(xiàn)實(shí)世界中表示不確定、不精確、含糊或者部分已知概念的方法有：不確定邊界概念、部分已知概念、不可定義概念和近似以及系統(tǒng)轉(zhuǎn)換與概念近似．Yao引入了區(qū)間集[18]來表示部分已知概念．胡寶清提出了區(qū)間集粗糙集，研究了區(qū)間集三支決策[19]．本文基于區(qū)間集粗糙集和多粒度粗糙集的思想，提出了樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集的概念，研究了其性質(zhì)．建立了一族屬性子集不同運(yùn)算下的單?？臻g和多粒空間，討論了單粒空間下區(qū)間集粗糙集和多?？臻g下樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集之間的關(guān)系．

1 樂觀多粒度粗糙集

本節(jié)給出有關(guān)粗糙集和樂觀多粒度粗糙集的基本概念和性質(zhì)，相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參考文獻(xiàn)[1，15-17].

1.1 Pawlak粗糙集

(1)

從粒計(jì)算角度看，劃分U/RA是由等價(jià)關(guān)系RA導(dǎo)出的單?？臻g．Pawlak粗糙集是在單粒空間中對(duì)目標(biāo)概念進(jìn)行近似刻畫．由于粒度世界存在不同形式、不同數(shù)量的?？臻g，錢宇華等提出了多粒度粗糙集[15]，在一族等價(jià)關(guān)系誘導(dǎo)的多粒空間下構(gòu)建了樂觀多粒度粗糙集對(duì)目標(biāo)概念進(jìn)行近似描述．

1.2 樂觀多粒度粗糙集

設(shè)信息系統(tǒng)S=(U,AT),A1,…,Am是AT的m個(gè)屬性子集．對(duì)任意X?U，X關(guān)于屬性集A1,…,Am的樂觀多粒度粗糙下、上近似[15]分別定義為：

?X∨…∨[x]Am?X}；

(2)

性質(zhì)1[15-17]設(shè)S=(U,AT)為信息系統(tǒng)，A1,…,Am是AT的m個(gè)屬性子集．對(duì)任意X,Y?U：

2 樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集

Yao利用一對(duì)集合作為下界和上界對(duì)概念進(jìn)行描述，從而引入了區(qū)間集[18]．胡寶清提出了區(qū)間集粗糙集[19]．本節(jié)研究樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集．

2.1 區(qū)間集粗糙集

設(shè)U是論域，2U為其冪集．區(qū)間集X定義[18]為

X=[Xl,Xu]={X∈2U:Xl?X?Xu},Xl?Xu?U.

所有區(qū)間集的集合用I(2U)來表示I(2U)={X=[Xl,Xu]:Xl?Xu?U},稱為U的區(qū)間集冪集．區(qū)間集上的運(yùn)算[18,20-23]定義為：對(duì)任意區(qū)間集X=[Xl,Xu], Y=[Yl,Yu]∈I(2U),

(3)

(4)

設(shè)S=(U,AT)為信息系統(tǒng),A?AT.區(qū)間集X=[Xl,Xu]的區(qū)間集粗糙下、上近似定義[21]為：

(5)

2.2 樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集

定義1設(shè)信息系統(tǒng)S=(U,AT),A1,…,Am?AT．對(duì)任意區(qū)間集X=[Xl,Xu],X的樂觀多粒度區(qū)間集下、上近似分別定義為：

(6)

性質(zhì)2設(shè)信息系統(tǒng)S=(U,AT),A1,…,Am?AT．對(duì)任意區(qū)間集X,Y∈I(2U)，有下列性質(zhì)：

證明設(shè)區(qū)間集X=[Xl,Xu],Y=[Yl,Yu],下證多粒度區(qū)間集下近似的性質(zhì)，上近似類似可證.

① 由定義1、性質(zhì)1②及區(qū)間集補(bǔ)運(yùn)算的性質(zhì)知

② 由性質(zhì)1①及定義1易證結(jié)論成立.

③ 由性質(zhì)1③及定義1知，

④ 由公式(4)、定義1和性質(zhì)1⑤可得

⑤ 由公式(3)、定義1可得

⑥ 類似⑤的證明可證結(jié)論成立.

⑦ 由性質(zhì)1④和公式(3)可得

由性質(zhì)2可知，對(duì)任意區(qū)間集X∈I(2U)，

(7)

性質(zhì)3設(shè)信息系統(tǒng)S=(U,AT),A1,…,Am?AT.對(duì)任意區(qū)間集Xj∈I(2U),j=1,2,…,n,都有

證明設(shè)Xj=[Xlj,Xuj]∈I(2U),j=1,2,…,n.由區(qū)間集的運(yùn)算及性質(zhì)2⑦知

由性質(zhì)2⑥和性質(zhì)2⑦知

由性質(zhì)2④,⑤,⑥和⑦類似，可證性質(zhì)3②與3③成立.

由等價(jià)關(guān)系的定義知，A1,…,Am?AT,X∈2U,

(8)

性質(zhì)4設(shè)S=(U,AT)為信息系統(tǒng),A1,…,Am?AT. 對(duì)任意區(qū)間集X∈I(2U)，

證明由公式(8)知，X的邊界Xl、Xu滿足

于是由區(qū)間集粗糙下、上近似的定義知，

推論1設(shè)信息系統(tǒng)S=(U,AT),A1,…,Am是AT的屬性子集. 對(duì)任意區(qū)間集X∈I(2U)，

2.3 風(fēng)險(xiǎn)投資分析中的應(yīng)用

考慮風(fēng)險(xiǎn)投資公司的風(fēng)險(xiǎn)投資問題[24].公司給出了20個(gè)投資方案xi(i=1,2,…,20)，投資方案的風(fēng)險(xiǎn)水平由5個(gè)專家給出，風(fēng)險(xiǎn)水平值1、2、3分別表示風(fēng)險(xiǎn)低、中和高.風(fēng)險(xiǎn)水平值越大，投資計(jì)劃的風(fēng)險(xiǎn)越高，收益也就越高，反之亦然.表1是5個(gè)專家給出的投資方案的風(fēng)險(xiǎn)水平評(píng)估表.

記U={x1,…,x20}是投資方案集合,AT={a1,…,a5}是專家集合.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，3個(gè)以上專家打分超過2的投資方案的獲益較高，風(fēng)險(xiǎn)也高，而3個(gè)以上專家打分低于2的投資方案風(fēng)險(xiǎn)較低，但獲益也低.故投資風(fēng)險(xiǎn)一定高的方案集合X={x1,x6,x8,x9,x19}，而投資風(fēng)險(xiǎn)一定低，同時(shí)收益也較低的方案集合Y={x3,x4,x11,x13,x14,x15,x18,x20},Yc是風(fēng)險(xiǎn)不低的投資方案.記Xl=X,Xu=Yc,則X=[Xl,Xu]給出了風(fēng)險(xiǎn)一定高和風(fēng)險(xiǎn)可能高作為下界和上界的方案集合，即X中的集合是投資風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)高而獲益也相對(duì)高的方案集合.

表1 風(fēng)險(xiǎn)投資評(píng)估表Tab.1 Venture investment evaluation form

在專家組A1={a1,a2}誘導(dǎo)的單粒空間U/RA1上, 區(qū)間集X=[Xl,Xu]的邊界Xl,Xu的近似刻畫為：

在專家組A2={a3}誘導(dǎo)的單?？臻gU/RA2上，區(qū)間集X=[Xl,Xu]的邊界Xl,Xu的近似刻畫為：

在專家組A3={a4,a5}誘導(dǎo)的單?？臻gU/RA3上，區(qū)間集X=[Xl,Xu]的邊界Xl,Xu的近似刻畫為：

3個(gè)專家組A1,A2,A3誘導(dǎo)的多粒空間{U/RAi:i=1,2,3}上邊界Xl,Xu的近似刻畫為：

3 結(jié)論

Pawlak粗糙集利用一個(gè)等價(jià)關(guān)系對(duì)論域的劃分(單?？臻g)給出了目標(biāo)概念的近似刻畫. 由于對(duì)實(shí)際問題的研究存在不同的觀點(diǎn)、不同的粒度，一族等價(jià)關(guān)系對(duì)論域的劃分產(chǎn)生了多?？臻g，從而產(chǎn)生了對(duì)目標(biāo)概念的樂觀多粒度粗糙近似描述. 由于解決問題時(shí)存在的不精確、不確定性等原因產(chǎn)生了區(qū)間集，進(jìn)而產(chǎn)生了區(qū)間集粗糙集. 基于區(qū)間集粗糙集和樂觀多粒度粗糙集的思想，本文提出了樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集，討論了它們的性質(zhì)，并給出了不同屬性產(chǎn)生的單個(gè)和多個(gè)?？臻g下幾種區(qū)間集粗糙集和樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集之間的關(guān)系，最后將樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)投資分析中，分析了樂觀多粒度區(qū)間集粗糙集的逼近效果優(yōu)于區(qū)間集粗糙集.

下一步將研究多粒度空間上的悲觀多粒度區(qū)間集粗糙集，以及樂觀、悲觀多粒度區(qū)間集粗糙集與不同粒度空間上的區(qū)間集粗糙集之間的關(guān)系.