董世民，朱 葛

(燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島066004)

0 引 言

往復(fù)泵是一種通用的水力機(jī)械設(shè)備，在國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域均得到了廣泛應(yīng)用。泵閥是往復(fù)泵的重要部件，往復(fù)泵泵閥主要采用自動(dòng)錐形閥結(jié)構(gòu)。彈簧是自動(dòng)錐形閥的重要組成部分，彈簧的主要作用是平衡慣性力，降低閥盤的落座速度與滯后高度，但是也降低了閥盤升程，增大了閥隙間的水頭損失，降低了吸入性能，因此彈簧對(duì)往復(fù)泵的工作性能影響明顯。國內(nèi)外的許多專家學(xué)者在泵閥的工作理論、設(shè)計(jì)計(jì)算和應(yīng)用方面進(jìn)行了大量的研究工作[1-9]：阿道爾夫于1968年建立了泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的二階非線性常微分方程；針對(duì)阿道爾夫所建立泵閥運(yùn)動(dòng)微分方程在泵閥開啟瞬間存在奇點(diǎn)的問題，董世民等[7]綜合考慮流體可壓縮性與魏氏效應(yīng)對(duì)泵筒與閥隙液體連續(xù)流方程的影響，建立了適用范圍更廣的泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律仿真模型；基于泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)值仿真方法，張慢來等[10-13]分析了彈簧剛度與預(yù)緊力對(duì)于泵閥運(yùn)動(dòng)特性的影響；鄭淑娟等[14-19]基于CFD流場可視化技術(shù)仿真分析了閥隙流場與閥出流特性；Pei等[20]基于臺(tái)架模擬試驗(yàn)系統(tǒng)測試了泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

彈簧剛度與預(yù)緊力等泵閥結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)泵閥動(dòng)力特性有顯著影響，但目前的研究[10-19]僅限于單因素的仿真分析，基于優(yōu)化設(shè)計(jì)理論的泵閥結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的研究尚不深入。例如，吳亮等[21-22]基于泵閥最大升程、最大滯后高度與落座沖擊速度的簡化解析模型給出了泵閥結(jié)構(gòu)參數(shù)的簡化計(jì)算方法。目前，基于流體動(dòng)力學(xué)仿真的優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用流體機(jī)械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[23-26]。

目前往復(fù)泵錐閥結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究都是針對(duì)定剛度彈簧的泵閥結(jié)構(gòu)。結(jié)合非線性彈簧技術(shù)在改善機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用，筆者設(shè)計(jì)了變剛度系數(shù)彈簧的泵閥結(jié)構(gòu)，以達(dá)到改善泵閥動(dòng)力特性與泵吸入特性的目的。本文在建立變剛度彈簧泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律仿真模型的基礎(chǔ)上，仿真分析變剛度彈簧對(duì)泵閥動(dòng)力特性與泵吸入性能的綜合影響，進(jìn)而建立基于系統(tǒng)動(dòng)力仿真的變剛度彈簧參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1 泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律數(shù)學(xué)模型的建立

液缸內(nèi)壓力過低時(shí)會(huì)引起液缸內(nèi)出現(xiàn)明顯的空化現(xiàn)象，降低泵的充滿系數(shù)，同時(shí)泵出口處的流量脈動(dòng)和壓力脈動(dòng)大幅增加[27-29]，因此本文以吸入閥為研究對(duì)象，建立泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，重點(diǎn)研究閥隙間的水頭損失和閥盤運(yùn)動(dòng)特性。為便于研究，做如下簡化和假設(shè)：1）忽略液體在液缸內(nèi)流動(dòng)時(shí)的沿程阻力損失；2）忽略連桿、活塞以及液缸等元件的彈性變形；3）假設(shè)液缸內(nèi)的液體密度與壓力與液缸內(nèi)的位置無關(guān)。

圖1與圖2分別為往復(fù)泵工作原理示意圖與往復(fù)泵錐閥結(jié)構(gòu)示意圖。

1.1 閥盤運(yùn)動(dòng)微分方程

往復(fù)泵在吸液過程中，活塞由左死點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，液缸內(nèi)液體膨脹，壓力開始降低，當(dāng)內(nèi)外壓差足以克服彈簧預(yù)緊力與閥盤重力時(shí)，吸入閥開啟，此時(shí)閥盤分別受到以下幾個(gè)力的作用：閥盤下部與上部液體壓差作用下產(chǎn)生的舉升力、閥盤自身重力、彈簧彈力、液體對(duì)閥盤的水力阻力以及閥盤導(dǎo)向爪與閥座之間的摩擦力（摩擦力的作用方向與閥盤的運(yùn)動(dòng)速度方向相反），閥盤的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中 ms為閥盤質(zhì)量，kg；p為液缸內(nèi)液體壓力，Pa；ps為吸入管內(nèi)吸入閥口處的液體壓力，Pa；fs為閥盤面積，m2；g為重力加速度，m/s2；k為彈簧剛度，N/m；h為閥盤升程，m；h0為彈簧預(yù)緊量，m；λ1為阻力系數(shù)；Rm為閥座對(duì)閥盤導(dǎo)向爪的摩擦力，N；sign(h)為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)h≥0時(shí)，sign(h)=1；當(dāng) h＜0時(shí)，sign(h)= -1；t為時(shí)間，s。

圖1 往復(fù)泵的工作原理圖Fig.1 Working principle diagram of reciprocating pump

圖2 自動(dòng)錐形閥結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of automatic cone valve

目前，往復(fù)泵錐閥采用定剛度系數(shù)彈簧。若彈簧剛度系數(shù)隨彈簧變形量的變化而變化，則彈簧是變剛度系數(shù)彈簧。設(shè)彈簧剛度與彈簧變形量之間的函數(shù)關(guān)系為

式（1）中液體對(duì)閥盤的水力阻力、閥座對(duì)閥盤導(dǎo)向爪的摩擦力一般較小，忽略這兩項(xiàng)力的影響，吸入閥運(yùn)動(dòng)微分方程簡化為

1.2 泵閥閥隙連續(xù)流方程

根據(jù)單位時(shí)間內(nèi)泵缸內(nèi)流體質(zhì)量的增量 dM1應(yīng)等于經(jīng)過泵閥閥隙流入泵缸的流體質(zhì)量 dM2,即可建立流體連續(xù)性方程

其中單位時(shí)間內(nèi)泵缸內(nèi)流體質(zhì)量的增量 dM1為

式中Fp為液缸內(nèi)圓面積，m2；ρ為t時(shí)刻液缸內(nèi)液體的密度，kg/m3；Vs為t時(shí)刻閥盤、閥隙與閥座所形成的空間體積且Vs=fsh，m3；xp為t時(shí)刻活塞的位移，m；x0為余隙長度，即將余隙容積轉(zhuǎn)化為橫截面為Fp的圓柱體所對(duì)應(yīng)的長度，m。

液缸內(nèi)的液體密度與壓力之間的函數(shù)關(guān)系為

式中ρ0為液缸內(nèi)液體在標(biāo)準(zhǔn)下的密度，kg/m3；C0為液體的壓縮系數(shù)；p0為標(biāo)準(zhǔn)壓力，Pa。

活塞運(yùn)動(dòng)位移xp與速度vp可由式（7）、（8）確定。

式中λ為連桿比，其中λ=R/l；R為曲柄半徑，m；l為連桿長度，m。

單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過閥隙流入液缸內(nèi)的液體質(zhì)量為式中 μ 為流量系數(shù)；εs為系數(shù)，εs=±1；ρxs為經(jīng)過閥隙流動(dòng)液體的密度，kg/m3；fxs為閥隙的過流面積，m2。

當(dāng) Ps-P≥0 時(shí)，εs=1，ρxs=ρs（液體在吸入壓力 ps條件下的密度）；Ps-P＜0 時(shí)，εs=﹣1，ρxs=ρ。

其中閥隙的過流面積有

綜上推導(dǎo)可有

1.3 吸入閥運(yùn)動(dòng)初始條件的確定

由于滯后角的存在，活塞運(yùn)動(dòng)到左死點(diǎn)時(shí)，排出閥并未關(guān)閉，閥盤還存在一定的滯后高度，當(dāng)排出閥關(guān)閉時(shí)，活塞由左死點(diǎn)向右走過的距離為xod,曲柄轉(zhuǎn)過的對(duì)應(yīng)角度為ψo(hù)d（排出閥的滯后關(guān)閉角）。隨著柱塞的繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，泵缸內(nèi)的壓強(qiáng)開始逐漸降低。當(dāng)閥盤的上下壓差Δp產(chǎn)生的舉升力足以克服閥盤的重力與彈簧預(yù)緊力時(shí)，吸入閥開啟，由此可推導(dǎo)出泵閥的開啟壓差與開啟壓力為

式中F0為彈簧預(yù)緊力，N；pos為吸入閥開啟瞬間對(duì)應(yīng)的缸內(nèi)壓力，Pa。

而彈簧預(yù)緊力F0與彈簧預(yù)壓量h0滿足如下的函數(shù)關(guān)系為

式中f(h0)是彈簧變形量為h0時(shí)對(duì)應(yīng)的彈簧剛度。

根據(jù)泵缸內(nèi)液體質(zhì)量守恒可求得吸入閥打開瞬時(shí)的活塞位移xos為

式中 ρd為液體在排出壓力 Pd下的密度，kg/m3；ρos為液體在排出壓力pos下的密度，kg/m3。

根據(jù)活塞位移可求得吸入閥打開時(shí)刻ost滿足

式中tos為閥盤開啟瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間，s。吸入閥運(yùn)動(dòng)的初始條件為

1.4 吸入閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上述建立的吸入閥運(yùn)動(dòng)微分方程、泵閥連續(xù)流方程以及初始條件，建立了描述吸入閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可以寫成如下的一階常微分方程組

式中 x1為液缸內(nèi)液體壓力，Pa；x2為泵閥升程，m；x3為閥盤的運(yùn)動(dòng)速度，m/s。

根據(jù)液缸內(nèi)液體瞬時(shí)壓力的仿真結(jié)果，計(jì)算吸入閥吸液過程中閥隙間的最大水頭損失為

2 泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的仿真計(jì)算

2.1 仿真模型精度驗(yàn)證

根據(jù)上述建立的彈簧變剛度系數(shù)條件下泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，本文采用龍格—庫塔法建立了泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的仿真模型，并基于Matlab開發(fā)了泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律仿真程序。為了驗(yàn)證仿真模型的計(jì)算精度，利用該程序?qū)τ吞?NB-1300型鉆井往復(fù)泵進(jìn)行了仿真試驗(yàn)，該泵的仿真試驗(yàn)參數(shù)為：沖程0.254 m，液缸直徑0.170 m，鉆井液密度1 100 kg/m3，閥盤質(zhì)量為4.0 kg，彈簧為普通圓柱螺旋彈簧，剛度系數(shù)7 500 N/m，預(yù)緊力230 N。

仿真過程中，給定工況參數(shù)：排出壓力Pd為0.16 MPa，吸入壓力Ps為0.13 MPa，沖次為74 min-1。根據(jù)式（12）、（14）以及（15）求出吸入閥開啟瞬間對(duì)應(yīng)的液缸內(nèi)壓力Pos等初始條件，代入上述建立的泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律仿真程序，得到該泵沖次為74 min-1時(shí)的閥盤升程、運(yùn)動(dòng)速度以及液缸內(nèi)壓力隨曲柄轉(zhuǎn)角變化規(guī)律的仿真曲線，結(jié)果如圖3所示。

實(shí)際測量過程中，使3NB-1300型鉆井往復(fù)泵在相同工況條件下運(yùn)轉(zhuǎn)，使用半導(dǎo)體應(yīng)變片壓力傳感器測定液缸內(nèi)與吸入管內(nèi)壓力，采用閥位移傳感器測量閥盤位移，使用自制的測死點(diǎn)裝置獲得柱塞左、右死點(diǎn)位置，得到吸入閥開啟過程中不同轉(zhuǎn)角下閥盤升程的實(shí)測結(jié)果[7]，與仿真結(jié)果對(duì)比如圖3所示。

圖3 74 min-1沖次閥盤升程、運(yùn)動(dòng)速度與液缸內(nèi)壓力曲線Fig.3 Curve of valve disc lift, movement velocity and pressure in liquid cylinder under stroke frequency of 74 min-1

為了進(jìn)一步驗(yàn)證不同工況條件下仿真模型的計(jì)算精度，僅改變沖次參數(shù)，分別提取不同沖次下閥盤最大升程仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果[7]進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。

表1 泵閥最大升程仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison between simulation results and measured results about maximum lift

由圖3可見，泵閥升程的仿真曲線與實(shí)測結(jié)果比較吻合，仿真誤差小于±8%；對(duì)比表1中的仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果，泵閥的最大升程仿真誤差小于±10%，說明上述建立的描述泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的仿真模型基本滿足工程實(shí)際的精度要求。

2.2 不同彈簧類型泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律及吸入性能仿真對(duì)比

2.2.1 定剛度系數(shù)彈簧仿真試驗(yàn)

圖 4為使用定剛度系數(shù)彈簧時(shí)，不同預(yù)緊力與剛度組合條件下閥隙間最大水頭損失、滯后高度與閥盤落座速度的仿真圖像。

圖4 定剛度系數(shù)彈簧時(shí)泵閥性能仿真結(jié)果圖4 Simulation results of pump valve performance under constant stiffness coefficient condition

由圖4可以得出以下結(jié)論：

1）對(duì)于定剛度系數(shù)彈簧，吸液過程中閥隙間最大水頭損失隨預(yù)緊力與剛度的增大而增大，閥盤落座速度與滯后高度隨預(yù)緊力與剛度的增大而減小；

2）在所有仿真實(shí)例中當(dāng)F0=100 N，k=1 000 N/m時(shí)，流體流經(jīng)閥隙的最大水頭損失最小，僅為1.372 2 m，但此時(shí)閥盤的落座速度與滯后關(guān)閉高度達(dá)到最大；相反當(dāng)F0=300 N，k=100 000 N/m時(shí)，閥盤的落座速度與滯后高度最小，但閥隙最大水頭損失最大，達(dá)到9.590 9 m。

綜上可以看出，閥隙間水頭損失與落座速度以及滯后高度的變化趨勢相互矛盾，即對(duì)于定剛度系數(shù)彈簧，很難通過單純的調(diào)節(jié)剛度與預(yù)緊力的方式達(dá)到既降低水頭損失又降低落座速度與滯后高度的目的。

2.2.2 變剛度系數(shù)彈簧仿真試驗(yàn)

當(dāng)泵閥采用變剛度彈簧時(shí)，吸入過程中液缸內(nèi)的最低吸入壓力、泵閥最大升程、泵閥滯后高度以及泵閥落座沖擊速度都是彈簧剛度函數(shù)的函數(shù)，即都是彈簧剛度函數(shù)的泛函。為便于仿真分析以及優(yōu)化及建模，將彈簧剛度函數(shù)式（2）簡化為

式中a，b，c為常數(shù)。

彈簧恢復(fù)力與變形量之間的關(guān)系可分為以下 3種類型：直線型、漸增型、漸減型。式（19）中，取系數(shù)a，b，c的不同組合便可以得到不同類型的彈簧。以下對(duì)比仿真不同類型彈簧泵閥的運(yùn)動(dòng)參數(shù)與閥隙水頭損失。仿真計(jì)算的彈簧類型以及有關(guān)系數(shù)見表2，仿真結(jié)果如圖5所示。

表2 不同彈簧類型仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters of different spring types

圖5 不同彈簧類型泵閥性能對(duì)比Fig.5 Pump valve performance comparison among different spring type

通過以上對(duì)不同類型彈簧的仿真試驗(yàn)可以看出： 1）閥盤的落座速度與滯后高度一定時(shí)，對(duì)比閥隙間的水頭損失，漸減型彈簧的最大水頭損失最小，吸入性能最好，且在泵閥開啟后，漸減型彈簧的水頭損失穩(wěn)定，對(duì)于減小液缸內(nèi)的壓力波動(dòng)也具有一定的作用；2）發(fā)現(xiàn)漸減型彈簧的閥盤開啟過程中速度較大，開啟后的最大升程最大，升程曲線與坐標(biāo)軸所夾面積最大，有利于降低整個(gè)吸液過程中總的水頭損失。

3 泵閥變剛度系數(shù)彈簧參數(shù)優(yōu)化

由上述仿真結(jié)果可知，變剛度系數(shù)彈簧對(duì)于改善往復(fù)泵的工作性能確有一定的作用，下面將基于仿真優(yōu)化的思想對(duì)變剛度彈簧系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.1 設(shè)計(jì)變量

根據(jù)式（19）確定的彈簧剛度與變形量之間的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系，其中系數(shù)a，b，c對(duì)于剛度的變化趨勢影響明顯。此外，常剛度系數(shù)彈簧的剛度近似認(rèn)為恒定，預(yù)緊量確定后，預(yù)緊力在整個(gè)工作過程中不變，但是在變剛度系數(shù)條件下，隨著彈簧剛度的變化，預(yù)緊力部分也隨之發(fā)生變化，因此對(duì)變剛度彈簧進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，選取了式（19）中的系數(shù)a，b，c以及彈簧的預(yù)緊量h0進(jìn)行優(yōu)化。

3.2 目標(biāo)函數(shù)

在吸入條件不變的情況下，即吸入口壓力恒定時(shí)，流體流經(jīng)閥隙時(shí)的水頭損失越大，缸內(nèi)的壓力越低，當(dāng)缸內(nèi)壓力低于流體的空氣分離壓力或飽和蒸氣壓時(shí)，就有可能引發(fā)空化，使往復(fù)泵的充滿系數(shù)降低，影響往復(fù)泵的工作性能。因此本次優(yōu)化選取吸入閥閥隙間的最大水頭損失為目標(biāo)函數(shù)。

3.3 約束條件

泵閥的質(zhì)量和它的關(guān)閉速度會(huì)形成機(jī)械動(dòng)能，在泵閥關(guān)閉的瞬間會(huì)對(duì)閥座造成沖擊，由于泵閥經(jīng)常處于啟閉交替地工作狀態(tài)，啟閉比較頻繁，因此，在泵閥設(shè)計(jì)中除了要滿足靜壓下的強(qiáng)度校核，還要特別注意泵閥的關(guān)閉速度。根據(jù)阿道爾夫無沖擊理論，當(dāng)閥盤的落座速度小于允許關(guān)閉速度時(shí)，就可近似認(rèn)為不產(chǎn)生沖擊，即對(duì)閥盤的使用壽命影響不明顯[30]。所以，控制閥盤的允許關(guān)閉速度對(duì)泵閥設(shè)計(jì)至關(guān)重要，其中泵閥的允許關(guān)閉速度是根據(jù)阿道爾夫的試驗(yàn)結(jié)果最終確定的，即

式中[u]為不產(chǎn)生沖擊時(shí)的允許關(guān)閉速度；Kβ為阿道爾夫試驗(yàn)系數(shù)；Aj閥盤與閥座接觸面積；m閥盤質(zhì)量；d1為閥盤直徑；d2為閥座孔直徑；α為閥盤錐角；b1為閥座壁厚。

此外，彈簧預(yù)緊量、預(yù)緊力以及閥盤升程最大時(shí)的彈簧力必須為正值因此約束條件即為

綜合上述目標(biāo)函數(shù)和約束條件，基于數(shù)值仿真的變剛度彈簧參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為

3.4 仿真與優(yōu)化實(shí)例

使用2.1中的仿真參數(shù)，計(jì)算[u]時(shí)，取阿道爾夫試驗(yàn)系數(shù) Kβ=1.30，b1=0.5 cm,由式（23）計(jì)算出 Aj=20.2 cm2，由式（22）可以計(jì)算出泵閥的允許關(guān)閉速度[u]=10.1 cm/s。調(diào)用仿真優(yōu)化程序，采用遺傳算法與模式搜索綜合的智能優(yōu)化算法進(jìn)行求解，將優(yōu)化結(jié)果與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方案中的常剛度系數(shù)彈簧進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表 3所示，圖 6為優(yōu)化后的變剛度彈簧與定剛度彈簧泵閥性能對(duì)比曲線。

表3 變剛度系數(shù)彈簧優(yōu)化結(jié)果與定剛度系數(shù)彈簧性能對(duì)比Table 3 Comparison of variable stiffness spring optimization results constant stiffness coefficient spring

由以上的仿真曲線可以看出，在限定閥盤的落座速度滿足無沖擊條件時(shí)，優(yōu)化后閥隙間的水頭損失明顯降低，其中最大水頭損失遠(yuǎn)低于定剛度系數(shù)彈簧。由表 3可以看出，與使用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法確定的定剛度系數(shù)彈簧泵閥相比，使用變剛度系數(shù)彈簧后，閥隙間最大水頭損失降低幅度達(dá)到了20.85%，即液缸內(nèi)壓力得到顯著提升，對(duì)于避免液缸內(nèi)流體發(fā)生空化，提高往復(fù)泵的吸入性能具有重要意義。

圖6 優(yōu)化后泵閥性能對(duì)比Fig.6 Pump valve performance comparison after optimization

4 結(jié)論與討論

本文建立了彈簧變剛度系數(shù)條件下泵閥運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，分別比較了定剛度系數(shù)彈簧與變剛度系數(shù)彈簧對(duì)泵閥性能的影響，并提出了基于數(shù)值仿真的變剛度系數(shù)彈簧參數(shù)優(yōu)化方法，對(duì)變剛度系數(shù)彈簧進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到如下結(jié)論：

1）漸減型變剛度系數(shù)彈簧可以在不增加落座速度與滯后關(guān)閉高度的同時(shí)，降低閥隙間的最大水頭損失，提高往復(fù)泵的吸入性能。

2）優(yōu)化后，在滿足無沖擊條件下，閥隙間最大水頭損失降低了20.85%，說明變剛度系數(shù)彈簧在往復(fù)泵泵閥上的應(yīng)用具有一定的工程實(shí)際意義。

針對(duì)優(yōu)化后變剛度系數(shù)彈簧與定剛度系數(shù)彈簧對(duì)泵閥性能的影響，本文僅就數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行了初步對(duì)比，具體試驗(yàn)驗(yàn)證部分還需進(jìn)一步完善。