浙江省杭州第二中學(xué)錢江校區(qū)(312053)董泉發(fā)

浙江省從2018屆新高一開始,增加人教版選修4—5《不等式選講》中絕對(duì)值不等式一章作為必修內(nèi)容.近幾年,浙江省高考數(shù)學(xué)關(guān)于絕對(duì)值函數(shù),絕對(duì)值不等式的考察力度有所加強(qiáng),例如2015年浙江卷理科第14題,第15題,第18題,2015年浙江卷文科第8題,第14題;2015年浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)考第34題,2014年浙江卷理科第8題,第10題,第22題;2014年浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)考第3題;2013年浙江卷理科第17題,第22題等.16年浙江卷尤其是理科試卷濃墨重彩地考察了絕對(duì)值不等式,特別是絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì),例如理科第8、15、18、20題;文科第15題.這些題都是處在壓軸題位置,要求學(xué)生具有較高的思維能力.

下面筆者就結(jié)合這些題來談一下絕對(duì)值三角不等式的教學(xué),筆者認(rèn)為這些題具有非常好的教學(xué)價(jià)值.

2016年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科第15題已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是____.

分析與解由絕對(duì)值不等式性質(zhì)可知：

試題點(diǎn)評(píng)本題以向量為背景,主要考察了絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)：||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|,其中等號(hào)成立的條件滿足

學(xué)生做這道題可能有幾種思路：第一,可能會(huì)從幾何角度思考,即考察代數(shù)式的幾何意義;第二,可能會(huì)考慮平方(因?yàn)槠椒揭彩侨ソ^對(duì)值的一種方法);第三,就是考慮運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)放縮.

筆者認(rèn)為,本題最佳做法是運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì).學(xué)生可能會(huì)想,絕對(duì)值三角不等式并沒有給出形如|x|+|y|的代數(shù)式的上限啊,利用絕對(duì)值三角不等式如何估計(jì)|a·e|+|b·e|的最大值呢?實(shí)際不然,正如上述解法,只要考慮絕對(duì)值三角不等式等號(hào)成立的條件就可破題.

教學(xué)啟示在平時(shí)的教學(xué)中,筆者認(rèn)為教師應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注絕對(duì)值三角不等式中兩個(gè)等號(hào)成立的條件.

2016年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第15題已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對(duì)任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤ √則a·b的最大值是____.

分析與解易知|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤由e的任意性可知,|b+a|≤即a2+2a·b+b2≤6,從而易知a·b的最大值為-

試題點(diǎn)評(píng)筆者認(rèn)為,本題較文科15題而言,學(xué)生應(yīng)該更容易想到用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)破題,正如上述解法,利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)很容易就得到一個(gè)必要條件：走到這一步之后,接下來就沒有太大的思維障礙了.

教學(xué)啟示筆者曾經(jīng)做過實(shí)驗(yàn),把這道題拿給高一的學(xué)生做,因?yàn)楦咭粚W(xué)生剛剛學(xué)了絕對(duì)值三角不等式,再加上筆者在平時(shí)的教學(xué)過程中,經(jīng)常跟學(xué)生講,學(xué)數(shù)學(xué)講究聯(lián)想,解題要有一定的聯(lián)想能力,看到眼前的式子,你能聯(lián)想到什么?有時(shí)候,這是很重要的.如果學(xué)生平時(shí)聯(lián)想力訓(xùn)練足夠的話,那么就本題而言,當(dāng)學(xué)生看到式子自然聯(lián)想到絕對(duì)值三角不等式模型了,這是不困難的.

筆者認(rèn)為,在平時(shí)的教學(xué)中,如果我們教師經(jīng)常讓學(xué)生做這種聯(lián)想訓(xùn)練,用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題,久而久之,學(xué)生自然會(huì)思路開闊,愛因斯坦曾經(jīng)說過,想象力比知識(shí)更重要.

2016年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第8題已知實(shí)數(shù)a,b,c.

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2＜100.

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,則a2+b2+c2＜100.

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,則a2+b2+c2＜100.

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,則a2+b2+c2＜100.

分析與解A錯(cuò),例如取a=b=10,c=-(a+b2)=-110;B錯(cuò),例如取a=10,b=-a2=-100,c=0;C錯(cuò),例如取a=-b=10,c=0;D對(duì),可作如下考慮：由|a2+a+b+b2|≤|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1得從而a,b∈(-2,1).由|c|-|a2+b|≤|a2+b+c|≤|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1得|c|≤1+|a2+b|≤1+a2+|b|≤7.從而

試題點(diǎn)評(píng)本題作為選擇題的壓軸題其思維含量是比較高的,因?yàn)楸绢}初看上去,四個(gè)選項(xiàng)差不多,破此題就需要學(xué)生有較好的代數(shù)感覺能力.學(xué)生先不要急著算,稍微多想會(huì)兒,還是很容易找到此題的“破綻”的.四個(gè)選項(xiàng)中的條件表面上差不多,實(shí)際不然.就結(jié)構(gòu)而言,A選項(xiàng)中變量a與b是對(duì)稱的,即它們?cè)谡麄€(gè)代數(shù)式中的地位是一樣的,所以應(yīng)賦相同的值;B選項(xiàng)和C選項(xiàng)條件中表面上有三個(gè)變量,實(shí)際上只有兩個(gè)變量,因?yàn)閍2+b和a+b可以看成整體;而D選項(xiàng)則不同,它的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜,變量a,b,c是相互制約的.從這個(gè)角度考慮的話,正如筆者上述解法很容易舉反例排除選項(xiàng)A,B,C,這符合浙江省高考數(shù)學(xué)命題組組長(zhǎng)、浙江大學(xué)金蒙偉教授講的,“多想一想,少算一算”的命題思想.當(dāng)然,D項(xiàng)的正確性的推導(dǎo)也是絕對(duì)值三角不等式教學(xué)的很好的素材.

教學(xué)啟示在平時(shí)的教學(xué)中,筆者認(rèn)為應(yīng)該多向?qū)W生灌輸這種“多想一想,少算一算”的解題策略,先設(shè)計(jì)好算法,然后再算.

2016年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第20題設(shè)數(shù)列{an}滿足

(I)求證：|an|≥2n-1(|a1|-2)(n∈N?);

分析與解(I)由絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)可知,|an|-從而|an+1|≥2|an|-2,即|an+1|-2≥2(|an-2|),所以|an|≥|an|-2≥2(|an-1|-2)≥...≥2n-1(|a1|-2).

(II)反證法.假設(shè)存在m∈N?,使得|am|＞2.由(I)可知,當(dāng)n＞m時(shí),|an|≥2n-m(|am|-2),而當(dāng)n＞時(shí),|an|≥2n-m(|am|-?x∈N?矛盾.

試題點(diǎn)評(píng)這道數(shù)列不等式題題干簡(jiǎn)潔、思想深刻,讓人有“情理之中、意料之外”之感,體現(xiàn)了命題者的獨(dú)具匠心.這些試題為考生搭建了良好的區(qū)分平臺(tái),凸顯了試卷的選拔功能.就本題第1問而言,方法較多,學(xué)生上手不難,例如可以直接利用絕對(duì)值三角不等式放縮,也可以先去絕對(duì)值再放縮.至于第2問,筆者認(rèn)為這是本題的創(chuàng)新之處,有“意料之外”之感,為什么這么說呢?因?yàn)楸绢}正面證明是很困難的,需要從反面考慮,即采用反證法.而在高中階段,反證法是講的非常少的,教科書中也只有人教版必修2立體幾何中有關(guān)線面、面面平行與垂直的性質(zhì)定理的證明涉及到了反證法,但是定理的證明通常會(huì)被教師和學(xué)生忽略.本題第2問有濃厚的大學(xué)數(shù)學(xué)分析的味道,無論是題目的敘述語言,還是證明語言都很接近大學(xué)數(shù)學(xué)分析的語言風(fēng)格,而反證法在大學(xué)數(shù)學(xué)里是經(jīng)常出現(xiàn)的.所以筆者認(rèn)為,這道題很好地銜接了高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué).

教學(xué)啟示鑒于以上分析,筆者認(rèn)為,在平時(shí)的教學(xué)中,教師應(yīng)該多訓(xùn)練一下學(xué)生的反面思維能力,反面思維和正面思維同等重要,同一個(gè)事物從正反兩方面去看,這也是辯證法的觀點(diǎn).本題就是一個(gè)非常好的反面思維能力訓(xùn)練素材.

2015年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第14題若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是____.

解析注意到目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)絕對(duì)值之和,故聯(lián)想到絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行放縮：當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)時(shí),等號(hào)成立.

注當(dāng)x2+y2≤1時(shí),由三角代換合一變形可知3x+4y≤5,故|8-(3x+4y)|=8-(3x+4y).

試題點(diǎn)評(píng)本題如上解法利用絕對(duì)值三角不等式放縮較為簡(jiǎn)單;若采用規(guī)劃知識(shí)來處理,則首先要去掉目標(biāo)函數(shù)中的兩個(gè)絕對(duì)值,觀察力好的話,可以注意到|6-x-3y|=6-x-3y,因?yàn)閤+3y而|2x+y-2|的絕對(duì)值要去掉,則要分類討論.

試題綜評(píng)這些試題背景熟悉、設(shè)問新穎、內(nèi)涵豐富、方法多樣.

2015年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第18題已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

(1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2;

(2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時(shí),求|a|+|b|的最大值.

解析(1)當(dāng)|a|≥2時(shí),易知f(x)在[-1,1]上單調(diào),從而