郭學軍，蓋曉華，劉登第

(1.南陽理工學院 a.數(shù)學與統(tǒng)計學院; b. 電子與電氣工程學院，河南 南陽 473000;2.空軍指揮學院 作戰(zhàn)仿真研究所，北京 100097)

0 引言

加速壽命試驗是一種采用較產(chǎn)品正常狀態(tài)更加嚴酷的試驗條件，通過在有限時間內(nèi)搜集更多的產(chǎn)品壽命與可靠性信息，提高或預測產(chǎn)品壽命與可靠性的內(nèi)場試驗方法，主要是為了節(jié)省時間、降低費用.試驗的基本思想是利用加速退化數(shù)據(jù)對高可靠長壽命產(chǎn)品進行可靠性評估與壽命預測.這種試驗方法已被廣泛地應用在可靠性要求較高行業(yè)或領域之中，尤其是航空、航天及軍事等領域，多數(shù)情況下需要的樣本容量較少.如何在小樣本的情況下實現(xiàn)比較精確的外推，數(shù)據(jù)的挖掘建模技術(shù)就顯得非常重要[1,2].

小樣本問題的預測模型有很多種，其中灰色GM(1,1)模型就是一種典型的預測模型.它通過灰生成方式來挖掘數(shù)據(jù)的深層次信息，弱化系統(tǒng)的隨機性，從而使紊亂的原始數(shù)據(jù)列呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.由于灰色預測所需要的數(shù)據(jù)量比較少，樣本分布不需要有規(guī)律性，檢驗方便，且預測比較準確，已成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學研究中的大量實際問題.傳統(tǒng)的GM(1,1)模型其數(shù)據(jù)序列通常是等距的，然而現(xiàn)實問題中有許多非等距問題.對于非等距問題，文獻[3-6]分別從原始數(shù)據(jù)加權(quán)累加生成、背景值構(gòu)造等方面進行了研究和探討，并取得了一定的效果，但運用中仍有其解決不了的問題存在.

本文給出了一種新的非等距GM(1,1)模型，該模型與傳統(tǒng)的非等距生成方式不同，在數(shù)據(jù)生成處理時，不是直接利用原始數(shù)據(jù)進行建模預測，而是通過對原始數(shù)據(jù)列取對數(shù)變換作降幅平滑處理和對背景值作相對權(quán)重的加權(quán)處理.平滑處理有利于規(guī)律的尋求和預測精度的提高.背景值加權(quán)的權(quán)重是相對距離，而不是絕對距離，可以有效地避免改變原始數(shù)據(jù)列的性質(zhì).

1 溫度應力下的Arrhenius模型

以文獻[7]所提供的表1數(shù)據(jù)進行非等距加速應力壽命預測.表1是某廠制造的一種新型材料，為了預測正常溫度150 ℃下的壽命，采用加速應力實驗得到的4個溫度下的壽命數(shù)據(jù).

表1 4個溫度下電機的平均壽命Tab. 1 Average life of motors at four temperatures

在加速壽命試驗中用溫度作為應力常數(shù)是常見的，因為高溫能使產(chǎn)品(電子元器件、絕艷材料等)內(nèi)部加快化學反應，促使產(chǎn)品提前失效.Arrhenius在1800年研究了這類化學反應，在大量數(shù)據(jù)的基礎上，提出了加速模型:

θ=AeE/KT,

其中:θ是某壽命特征，如中位壽命、平均壽命等;A是一個常數(shù)，且A>0;E是激活能，與材料有關，單位是電子伏特，以eV表示;K是玻爾茲曼常數(shù)，為80617×10-5eV/℃，從而E/K的單位是溫度，故又稱E/K為激活溫度;T是絕對溫度，它等于攝氏溫度加273[7].

Arrhenius模型表明，壽命特征隨著溫度的上升而按指數(shù)下降.對此模型兩邊取對數(shù)，可得

lnθ=a+b/T,

(1)

其中a=lnA,b=E/K.它們都是待定的參數(shù).Arrhenius模型表明，壽命特征的對數(shù)是溫度倒數(shù)的線性函數(shù).根據(jù)表1中4個溫度下電機加速應力實驗數(shù)據(jù)，推測正常溫度下(150 ℃)的壽命.

電機的壽命特征隨著溫度的上升而按指數(shù)下降，按照最小二乘原理可求得模型lnθ=a+b/T中的

a=-3.697 5，b=5 674.9940.

壽命預測方程為

lnθ=-3.697 5+5 674.994 0/T.

(2)

根據(jù)方程(2)可得歷史數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的對比圖，如圖1所示.

根據(jù)方程(2)可得，絕對溫度為423 K(150 ℃)時，壽命值為16 623.625 h.現(xiàn)將原始數(shù)據(jù)和預測數(shù)據(jù)作對比，并計算相對誤差，結(jié)果如表2所示.從表2可以得出平均誤差為3.1%.

通常情況下，以溫度作為電機的加速應力的試驗壽命外推常采用Arrhenius模型，但Arrhenius模型是一種物性論模型，它只有當老化過程是一個單一的化學反應，而且用作評定材料老化的性能確能反應材料老化過程中組成或結(jié)構(gòu)的變化時才能應用.這說明Arrhenius模型的使用存在一定的局限性[8,9].

圖1 Arrhenius模擬結(jié)果Fig. 1 Arrhenius simulation result

表2 電機壽命值對比表Tab. 2 Comparison of the motor life

由于灰色建模理論是應用數(shù)據(jù)生成手段來挖掘數(shù)據(jù)的深層次信息，實驗數(shù)據(jù)本身就蘊含著實驗過程的各種信息，這樣就可以有效地避免通過單一的因素分析給整體帶來的弊端.另一方面，灰色建模通過灰生成的方式弱化了系統(tǒng)的隨機性，具有所需樣本少、計算簡便、檢驗方便等特點.基于此，為避免Arrhenius模型在電機試驗壽命外推中的不足，可用灰色建模理論對電機的可靠性壽命進行預測.然而，灰色預測模型在使用過程中也會遇到檢驗勉強合格、不合格的狀況，即使檢驗為合格或好，但有時也不一定滿足實際要求的精度.于是灰色系統(tǒng)理論提出了利用殘差修正模型來進行建模.而殘差建模時，修正的殘差系列必須是從某一項起，均大于或小于原始數(shù)據(jù)才能建模，且殘差數(shù)據(jù)列不少于4個才能有效[10-12].為了有效地避免上述問題的發(fā)生，下面對灰色非等距GM(1,1)模型進行改進.

2 改進的非等距GM(1,1)模型

2.1 非等距GM(1,1)模型的基本思想

設原始數(shù)據(jù)列x(0)=(x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)),其中Δti=ti-ti-1≠const,i=2,3,…,n，進行一次累加，生成數(shù)據(jù)列為

x(1)=(x(1)(t1),x(1)(t2),…,x(1)(tn)),

其中

由數(shù)據(jù)列x(1)建立GM(1，1)模型:

(3)

yn為向量:

yn=(x(0)(t2),x(0)(t3),…,x(0)(tn))T.

白化形式的微分方程的解為

k=1,2,…,n.

(4)

還原模型為

k=1,2,…,n.

(5)

2.2 改進的非等距GM(1,1)模型建模思想和步驟

傳統(tǒng)的非等距GM(1,1)模型在對原始數(shù)據(jù)列進行累加生成時，即

所乘的Δti=ti-ti-1≠const，i=2,3,…,n是絕對距離，不是相對距離，尤其是當原始數(shù)據(jù)列(x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn))中的|x(0)(tk)|數(shù)值比較小，而Δti的值相對比較大時，所生成的數(shù)據(jù)x(1)(tk)列會改變原始數(shù)據(jù)列x(0)(tk)的性質(zhì)，這樣以x(1)(tk)為基礎建立的微分方程模型就不能真實反映原始數(shù)據(jù)列的規(guī)律性，求解結(jié)果容易產(chǎn)生較大偏差.現(xiàn)對傳統(tǒng)非等距GM(1,1)模型作改進，其步驟如下.

1)對原始數(shù)據(jù)列x(0)=(x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn))進行對數(shù)變換

y(0)=lnx(0)=

(lnx(0)(t1),lnx(0)(t2),…,lnx(0)(tn)).

2)作一次累加生成數(shù)據(jù)列為

y(1)=(y(1)(t1),y(1)(t2),…,y(1)(tn)),

其中

以y(1)為原始數(shù)據(jù)列建立GM(1，1)模型

(6)

3)采用加權(quán)緊鄰均值法構(gòu)造背景值，

4)按最小二乘法求解得

(7)

k=1,2,…,n,

5)還原計算

(8)

k=1,2,…,n,

x(0)(tk)=ey(0)(tk),k=1,2,…,n.

(9)

其中，

然后計算后驗差比值c及小概率誤差p,

c=s2/s1，

根據(jù)表3來判定模型的精度.如果模型滿足后驗差檢驗要求，即認為模型合格.

表3 灰色預測模型精度Tab. 3 Precision of grey forecast model

灰生成是灰色系統(tǒng)理論最顯著的特點之一.改進的非等距GM(1,1)模型正是基于此思想.改進的主要目的和作用體現(xiàn)在兩個方面：1)作對數(shù)變換的目的是對原始數(shù)據(jù)列作降幅平滑處理.2)背景值作加權(quán)乘積中的權(quán)重是相對距離，而不是絕對距離，目的是避免改變原始數(shù)據(jù)列的性質(zhì).

3 非等距加速應力算例分析

3.1 改進的非等距灰色GM(1,1)模型應用

依據(jù)表1，根據(jù)改進后灰色預測模型的式(7)和式(8)可得還原后的模型方程為

(10)

利用Matlab編程可求得模型參數(shù)為

a=-0.073 8,u=6.562 58,

得模型方程

(11)

根據(jù)式(11)可繪出預測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對比圖，如圖2所示.進而可計算各溫度下預測壽命值及其相對誤差，其結(jié)果如表4所示.Matlab運行結(jié)果顯示p=1，c= 0.030 15，精度等級為好，并且平均相對誤差為2.087%.

圖2 預測值與原始值對比圖Fig. 2 Comparison between the predicted value andoriginal value

表4 改進非等距GM(1,1)模型預測值與原始值對比表Tab. 4 Comparison between improved non-equidistantGM (1,1) mode predicted data and original data

3.2 傳統(tǒng)的非等距灰色GM(1,1)模型

依據(jù)表1，根據(jù)改進后灰色預測模型的式(7)和式(8)可得還原后的模型方程為

(12)

即，還原后的模型方程為

(13)

根據(jù)式(13)可繪出預測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對比圖，如圖3所示.進而可計算各溫度下預測壽命值及其相對誤差，其結(jié)果如表5所示.Matlab運行結(jié)果顯示p=0.5，c=1.180 0，精度等級為差，并且平均相對誤差為97.61%.誤差太大，可見式(13)不能作為預測模型.

圖3 預測值與原始值對比圖Fig. 3 Comparison between predicted and original values

表5 傳統(tǒng)非等距GM(1,1)模型預測值與原始值對比表Tab. 5 Comparison between traditional non equidistantGM (1,1) mode predicted data and original data

3.3 幾種外推方法的比較

為了有效地說明幾種方法的優(yōu)劣，下面把幾種模型的平均誤差進行對比，其結(jié)果如表6所示.從表6可以看出，本文所給出的改進的非等距灰色GM(1,1)模型的效果好.

表6 模型平均相對誤差對比表Tab. 6 Comparison of average relative error ofdifferent models

4 結(jié)論

本文所給出的改進非等距GM(1,1)模型，從基于小樣本的灰色生成思想出發(fā)，進一步挖掘了灰色理論的建模優(yōu)勢，不僅改進了非等距GM(1,1)建模方法，而且有效地彌補了Arrhenius模型單因素建模預測的不足，在非等距加速應力預測運用方面顯示出了很好的建模優(yōu)勢，相信對相同性質(zhì)問題的解決具有參考意義.但加速應力壽命試驗的外推技術(shù)是一個復雜的技術(shù)問題，本文所給出的方法仍有進一步探討的空間.