曾建華，曾 偉，王志峰，賴寧安，桑志文，常 山，何鵬浩

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光的干涉與衍射的Matlab仿真及其實驗觀測

*曾建華，曾 偉，王志峰，賴寧安，桑志文，常 山，何鵬浩

（上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西，上饒 334001）

利用Matlab仿真模擬了雙縫干涉隨縫寬變化的光強分布曲線，結(jié)果表明隨著縫寬的增大，干涉條紋受到單縫衍射的調(diào)制，最終變成雙縫衍射。通過實驗觀測了不同縫寬的雙縫干涉與衍射圖樣，發(fā)現(xiàn)縫寬較大呈現(xiàn)的是雙縫衍射現(xiàn)象，縫寬減小后才觀測到明暗相間、等間距的雙縫干涉條紋，與模擬結(jié)果一致。同時根據(jù)光的雙縫干涉與單縫衍射所測數(shù)據(jù)測定了激光波長。通過從理論與實驗上對光的干涉與衍射的探究，直觀地展示干涉與衍射條紋分布特點，這能加深對光的干涉與衍射的理解和掌握。

干涉；衍射；Matlab；縫寬；激光波長

光學(xué)是物理學(xué)中一門應(yīng)用性較強的基礎(chǔ)學(xué)科，也是當(dāng)前物理學(xué)很活躍的領(lǐng)域。光的干涉與衍射現(xiàn)象是光學(xué)課程最主要的內(nèi)容之一，它們都反映出光的波動性本質(zhì)，彼此之間又有著明顯的區(qū)別，而且兩者常常同時出現(xiàn)在波動現(xiàn)象中。光的干涉產(chǎn)生干涉條紋，光的衍射產(chǎn)生衍射條紋，都表現(xiàn)為光在遇到障礙物之后出現(xiàn)光的強度或明暗在空間穩(wěn)定分布的現(xiàn)象。從本質(zhì)上看，光的干涉與衍射都是相干迭加的結(jié)果，它們之間并不存在實質(zhì)性的物理差別，只是強調(diào)的側(cè)重點不同：光的干涉是有限幾束光振動在疊加過程中的相長和相消，強調(diào)的是光的直線傳播；而光的衍射則是無限多次子波的相干疊加，強調(diào)的是光的非直線傳播[1-4]。

雙縫干涉和雙縫衍射都是波的疊加結(jié)果。但是雙縫干涉得到理想結(jié)果有一個重要前提：每一條縫的寬度必須非常小甚至可以忽略，即縫寬應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光源波長。如果縫寬不能忽略，雙縫干涉要受到單縫衍射的調(diào)制，轉(zhuǎn)化為雙縫衍射。雙縫衍射產(chǎn)生的圖樣是單縫衍射調(diào)制下的雙縫干涉，是干涉和衍射的組合[5-6]。本文利用Matlab仿真模擬了雙縫干涉與衍射以及單縫衍射的光強分布曲線，通過實驗觀測了不同縫寬的雙縫干涉與衍射和單縫衍射的圖樣，根據(jù)光的雙縫干涉和單縫衍射所測數(shù)據(jù)測定了光源波長。

1 利用光柵光譜探討光的干涉與衍射

光柵光譜的光強分布為[1]：

其中

為單縫衍射光強分布；當(dāng)=2時，

即雙縫干涉光強分布。從此可以看出，雙縫干涉是在縫寬遠(yuǎn)小于波長時雙縫衍射的近似表現(xiàn)；當(dāng)縫寬增大時，衍射現(xiàn)象明顯，雙縫干涉圖樣就轉(zhuǎn)變成雙縫衍射圖樣[7-9]。

2 雙縫干涉與衍射光強分布的仿真模擬

綜合應(yīng)用大學(xué)物理、高等數(shù)學(xué)、數(shù)值算法和編程語言等相關(guān)知識對物理問題進(jìn)行仿真和模擬有利于理解物理概念及現(xiàn)象[10-12]。我們運用Matlab模擬計算了光的干涉和衍射的光強分布圖。光柵光譜的光強分布公式中，=2時就可模擬雙縫干涉與衍射的光強分布，輸入不同的或，可觀察它們對光譜分布的影響。圖1所示為縫數(shù)=2，縫間距=0.599 mm，透射縫寬從0.0001 mm到0.1 mm變化的幾張模擬結(jié)果，可以清楚地看出透射縫寬對光強分布的影響。

因為光源波長為632.8 nm。在縫寬為0.0001 mm時，<<，衍射現(xiàn)象不明顯，光譜表現(xiàn)為干涉圖樣，如圖1（a）。在縫寬為0.01 mm時，衍射現(xiàn)象開始顯現(xiàn)，如圖1（d）。在縫寬為0.05 mm時，衍射現(xiàn)象明顯，如圖1（e）。在縫寬為0.1 mm時，已經(jīng)可以看清單縫衍射整個輪廓，如圖1（f）。

圖1 運用Matlab模擬雙縫干涉與衍射光強分布隨縫寬的變化

3 光的干涉與衍射的實驗觀測

3.1 雙縫干涉圖樣的觀測

我們對縫寬不同的雙縫開展了光的干涉實驗。由于鈉光燈亮度不夠，無法在光屏上得到清晰的干涉條紋，因此實驗中的光源采用He-Ne激光器。對于如圖2（b）中縫寬和縫間距過大的雙縫Ⅰ，觀測到的不是干涉條紋，而是兩單縫衍射的疊加圖樣：將其中一個縫用遮光板擋去后觀察圖樣，再換另一個縫進(jìn)行遮擋觀察圖樣，經(jīng)比對發(fā)現(xiàn)都是單縫衍射條紋。實驗中我們還在光源與雙縫之間放置了一個焦距很小的凸透鏡，對激光進(jìn)行擴束，使得照射到雙縫上的光源從點光源變?yōu)榫€光源，觀測到的兩種光源狀態(tài)下的干涉圖樣，如圖2（c）和圖2（d）所示。從圖2顯示的結(jié)果能明顯看出，此時產(chǎn)生的是雙縫衍射現(xiàn)象。

（a）：光路原理圖，其中S、D和M分別為光源、雙縫和光屏，S1和S2為兩個狹縫；（b）：縫寬和縫間距較大的雙縫Ⅰ；（c）：激光未擴束觀測到的圖樣；（d）：激光擴束后觀測到的圖樣

為了得到更好的干涉效果，我們刻制了兩個縫寬和縫間距都較小的雙縫Ⅱ和Ⅲ進(jìn)行實驗，如圖3（a）和圖3（d）所示?？p間距小于激光光斑尺寸，使得激光能照亮整個雙縫。相比而言，此次實驗顯示出了較好的干涉圖樣，干涉明（暗）條紋等間距。對于激光未擴束的點光源的條紋，其外圍能觀察到因受單縫衍射而產(chǎn)生的包絡(luò)線，如圖3（b）和圖3（e）。這也說明任何時候都存在衍射，純干涉只是一種理想近似，實驗上較難實現(xiàn)。激光擴束后觀測到了明顯的雙縫干涉圖樣，明暗相間、等間距的豎條紋顯示在光屏上，如圖3（c）和圖3（f）。接著我們測量了激光擴束時雙縫位置0、光屏位置1、雙縫到光屏的距離、雙縫間距和相鄰明紋間距Δ，并根據(jù)公式[1]

計算出了激光波長，如表1和表2。而He-Ne激光器的激光波長理論值為632.8 nm，所以基于雙縫Ⅱ和Ⅲ干涉測量激光波長的誤差分別為：

均在允許的范圍內(nèi)。誤差主要來源于公式（7）中參數(shù)的測量，以及單縫衍射、雙縫間距對干涉圖樣的影響。

（a）：雙縫Ⅱ（= 0.60 mm）；（b）：雙縫Ⅱ激光未擴束的干涉圖樣；（c）：雙縫Ⅱ激光擴束后的干涉圖樣；（d）：雙縫Ⅲ（= 0.70 mm）；（e）：雙縫Ⅲ激光未擴束的干涉圖樣；（f）：雙縫Ⅲ激光擴束后的干涉圖樣

圖3 縫寬和縫間距都較小的雙縫干涉

Fig.3 Interference of two-slit with narrow slit width and spacing

表1 利用雙縫Ⅱ的干涉對激光波長的測定

3.2 光的單縫衍射實驗

為了進(jìn)一步驗證通過雙縫干涉實驗對激光波長的測定結(jié)果，我們又開展了光的單縫衍射實驗，并分別觀測了激光擴束前、后的衍射圖樣，如圖4所示。從圖4（c）和圖4（d）的實驗結(jié)果可以看到：單縫衍射條紋中央亮條紋亮度最大；中央亮條紋寬度是兩側(cè)亮條紋寬度的2倍；未擴束的點光源與擴束后的線光源產(chǎn)生的衍射條紋間距相同，其不同點在于點光源產(chǎn)生的干涉條紋較亮，線光源產(chǎn)生的干涉條紋較暗。同時，我們對照實驗的單縫參數(shù)運用Matlab仿真模擬了單縫衍射的光強分布，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果和實驗結(jié)果相吻合，如圖5所示。然后我們測量了單縫的縫寬、單縫與光屏的距離和同級條紋間距 2x，并根據(jù)公式[1]

計算出了激光波長，如表3所示。與根據(jù)雙縫干涉測量激光波長的情況一致，通過單縫衍射測得的激光波長與理論值也很接近，誤差也在允許的范圍內(nèi)。

（a）：單縫衍射光路原理圖，其中S1、S2、L、M和分別是光源、單縫、用來聚焦的凸透鏡、光屏和各級亮條紋到中央亮條紋的間距；（b）：單縫；（c）：激光未擴束的單縫衍射圖樣；（d）：激光擴束后的單縫衍射圖樣

圖4 光的單縫衍射

Fig.4 Single-slit diffraction of light

圖5 Matlab仿真模擬單縫衍射的光強分布

表3 利用單縫衍射測定激光波長

Table 3 Determination of laser wavelength based on single-slit diffraction

4 結(jié)論

本文利用Matlab仿真模擬了雙縫干涉隨縫寬變化的光強分布曲線，發(fā)現(xiàn)隨著縫寬的增大，干涉條紋在單縫衍射的調(diào)制下變?yōu)殡p縫衍射。在實驗上也觀測到了雙縫干涉圖案隨縫寬變化而變化，與Matlab仿真模擬結(jié)果一致。同時根據(jù)光的雙縫干涉與單縫衍射所測數(shù)據(jù)測定了He-Ne激光器的激光波長。通過從理論與實驗上對光的干涉與衍射的探究，直觀地展示干涉與衍射條紋分布特點，這有助于對光的干涉與衍射的理解和掌握。

[1] 姚啟鈞. 光學(xué)教程[M]. 5版.北京:高等教育出版社, 2011.

[2] 程守洙,江之永. 普通物理[M]. 北京: 高等教育出版社出版, 1987.

[3] 雙惠,侯維娜,楊志宏,等. 光的干涉與衍射的區(qū)別與聯(lián)系[J]. 石家莊學(xué)院學(xué)報, 2010, 12(6): 86-90.

[4] 宣桂鑫. 光的干涉和衍射的區(qū)別和聯(lián)系[J]. 物理教學(xué), 2010, 32(11): 8-12.

[5] 楊植宗,段永法,劉洋,等. 光的干涉與衍射現(xiàn)象的物理本質(zhì)[J]. 高師理科學(xué)刊, 2011, 31(1): 57-58.

[6] 解霞,董正超,楊建華. 夫瑯禾費縫衍射的計算機模擬[J]. 物理通報, 2017, 36(5): 15-18.

[7] 王瑞敏. 雙縫衍射-聯(lián)系干涉與衍射的橋梁[J]. 物理與工程, 2004, 14 (3): 52-62.

[8] 滕琴. 干涉與衍射異同點的探討[J]. 光學(xué)儀器, 2008, 30(4): 60-63.

[9] 秦林,王佳. 光的干涉與衍射的比較與MATLAB仿真[J]. 工程技術(shù), 2013, 25: 57-58.

[10] 李元杰,湯正新. 現(xiàn)代數(shù)值計算、模擬技術(shù)與力學(xué)典型模型教學(xué)[J]. 大學(xué)物理, 2002, 21(10): 35-39.

[11] 管靖,彭芳麟,胡靜,等. 數(shù)值計算與素質(zhì)培養(yǎng)-理論力學(xué)教學(xué)改革取得突破性進(jìn)展[J]. 大學(xué)物理, 2002, 21(10): 40-42.

[12] 段曉勇, 單永明. 光的干涉和衍射的Matlab數(shù)值模擬[J]. 大學(xué)物理實驗, 2012, 25(3): 95-97.

MATLAB SIMULATION AND EXPERIMENTAL OBSERVATION ON INTERFERENCE AND DIFFRACTION OF LIGHT

ZENG Jian-hua, ZENG Wei, WANG Zhi-feng, LAI Ning-an, SANG Zhi-wen, Chang Shan, HE Peng-hao

(School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao, Jiangxi 334001, China)

The distribution curve of light intensity with slit width for two-slit interference was presented by using Matlab simulation. The results show that two-slit interference becomes two-slit diffraction while increasing slit width, which is caused by the modulation of single-slit diffraction. Two-slit interference and diffraction patterns with different slit widths were observed through experiments, two-slit diffraction was showed for wide slit. Light-dark interchange and equal spacing stripes were observed after slit width was reduced, which was consistent with simulation results. At the same time, the laser wavelength was measured based on two-slit interference and single-slit diffraction. By exploring interference and diffraction of light in the theory and experiment, the characteristics of interference and diffraction fringe distribution are shown intuitively, which can deepen the understanding and mastery of interference and diffraction of light.

interference;diffraction; Matlab; slit width; laser wavelength

1674-8085(2018)03-0009-04

O436.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.03.003

2018-04-11；

2018-04-30

江西省教育廳科技項目(GJJ170923)；江西省上饒市科技局工業(yè)科技項目（5000110-255）；上饒師范學(xué)院博士科研啟動基金項目(6000108)

*曾建華(1978-)，男，江西寧都人，講師，博士，主要從事光學(xué)實驗教學(xué)和微、納光電材料與器件的研究(E-mail:zjhndkm@sina.com);

曾 偉(1996-)，男，江西會昌人，上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院本科生(E-mail:1712605467 @qq.com);

王志峰(1996-)，男，江西信豐人，上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院本科生(E-mail:1592562649@qq.com);

賴寧安(1995-)，男，江西興國人，上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院本科生(E-mail:1822404154@qq.com);

桑志文(1962-)，男，江西玉山人，副教授，碩士，主要從事光纖通信的研究(E-mail:sangzhiwen@126.com);

常 山(1964-)，男，山東陽谷人，副教授，碩士，主要從事信息光學(xué)的研究(E-mail:cs0328@126.com);

何鵬浩(1991-)，男，江西上饒人，助教，碩士，主要從事光學(xué)實驗教學(xué)和光電成像的研究(E-mail:1156717605@qq.com).