朱勁松 張一峰 陳興達

(1天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072)(2天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室，天津 300072)

橋梁是交通系統(tǒng)的咽喉，它的正常工作是保證交通順暢的關(guān)鍵.我國橋梁大部分是改革開放后所建，橋齡一般為40年左右，不少橋梁已經(jīng)或正在發(fā)生老化、破損、開裂等現(xiàn)象.因此，需要對帶病害橋梁進行深入研究，從而為后期的評估處理提供依據(jù).鋼筋混凝土T型梁橋因其結(jié)構(gòu)形式簡單、施工難度較小，自1950年代就在我國公路上大量地修建，這也使其在目前病害橋梁中占比很大，故本文主要針對開裂的鋼筋混凝土T型梁橋進行研究.

近年來相關(guān)學(xué)者針對車輛荷載作用下的開裂混凝土梁體進行了廣泛的研究.殷新鋒等[1]將車輛模型視為七自由度的整車模型，建立了多跨變截面損傷混凝土梁的車橋耦合方程并編制了相應(yīng)的計算程序，對不同裂縫類型、裂縫位置、裂縫參數(shù)及車輛組合等因素對橋梁沖擊系數(shù)的影響進行了分析.譚國金等[2]基于傳遞矩陣方法的基本思想，形成了車輛作用下裂縫簡支梁橋自振特性的分析方法，并采用數(shù)值模擬計算驗證了方法的正確性和有效性.王文潔等[3]對車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)進行時頻特性分析，以兩軸汽車模型模擬移動車輛，利用有限元法建立有損傷橋梁結(jié)構(gòu)在車輛作用下的運動方程，分析不同裂縫模型對橋梁動力響應(yīng)的影響.這些研究取得了一定的成果，但多集中在對損傷梁體的動力特性分析，極少有直接針對車橋耦合作用下梁體開裂狀態(tài)時變特征的研究.

應(yīng)力強度因子是評價裂縫狀態(tài)的有效方式.一般荷載作用下，可認(rèn)為開裂橋梁的裂縫是穩(wěn)定的，但實際情況中橋梁時刻受到汽車等動荷載的作用，其裂縫尖端應(yīng)力強度因子是時變的.李玉龍等[4]對三點彎曲試樣進行了動態(tài)分析，結(jié)果表明將沖擊荷載代入準(zhǔn)靜態(tài)公式中確定試樣應(yīng)力強度因子的做法是不正確的.姜風(fēng)春等[5]考慮了轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形，通過振動分析的方法對沖擊荷載作用下三點彎曲梁的動態(tài)應(yīng)力強度因子進行了計算，得到了較好的結(jié)果，說明可變荷載中需考慮慣性的作用.橋梁結(jié)構(gòu)時刻受到車輛等動載的作用，忽略車輛的質(zhì)量和慣性會造成較大誤差.因此，本文對開裂橋梁的裂縫進行描述時，采用考慮慣性的三維動態(tài)應(yīng)力強度因子.

目前，可通過解析法或數(shù)值法有效地計算出二維應(yīng)力強度因子[6].但對于復(fù)雜的三維裂縫，解析法求解極其困難，通常采用數(shù)值方法進行近似計算.相互作用積分法因其建模簡單、計算精度高，被廣泛應(yīng)用于應(yīng)力強度因子計算.Nakamura[7]首先運用相互作用積分法求解了復(fù)合材料界面彈性裂縫尖端處的三維應(yīng)力強度因子.Song等[8]將相互作用積分法引入到三維動態(tài)應(yīng)力強度因子的計算中，分析了不同材料特性、積分域大小和積分時長對計算結(jié)果的影響.本文同樣采用相互作用積分法，通過體積分的方式計算裂縫尖端的三維應(yīng)力強度因子.

本文結(jié)合車橋耦合振動分析方法和相互作用積分法，對車輛荷載作用下開裂梁體的裂縫擴展性能進行研究.使用MATLAB和ANSYS聯(lián)合建立了三維實體開裂梁的車橋耦合振動模型，裂縫尖端則通過奇異單元進行模擬.運用相互作用積分法求解開裂梁的三維動態(tài)應(yīng)力強度因子，并提出了一種評估動力作用下彎剪裂縫擴展性能的指標(biāo).最后，分析了路面等級、車重、車速、梁體損傷程度和裂縫角度對開裂梁體裂縫擴展性能的影響.

1 車橋動力方程

1.1 橋梁動力方程

將橋梁進行有限元離散化處理，其運動方程的矩陣形式可表示為

(1)

1.2 車輛動力方程

車輛模型采用簡化后的兩軸八自由度平面車輛模型[9]，車輛模型的布置和參數(shù)定義如圖1所示.

圖1 車輛模型

車輛模型包括車體、前輪和后輪3個部分，車輪和車體以及車輪與路面之間的相互作用均用彈簧阻尼進行連接.l1,l2分別為后輪和前輪距重心距離，l=l1+l2.各個部件的表示方法如下：m1,m2和m3分別為后輪質(zhì)量、車身質(zhì)量和前輪質(zhì)量；J為車身的轉(zhuǎn)動慣量；k1,k2,k3和k4分別為后輪與橋面、后輪與車身、前輪與車身和前輪與橋面之間的剛度系數(shù)；c1,c2,c3和c4分別為后輪與橋面、后輪與車身、前輪與車身和前輪與橋面之間的阻尼系數(shù).平面車模型的8個自由度包括：后輪的豎向位移y1、車身尾端的豎向位移y2、車身前端的豎向位移y3、前輪的豎向位移y4、后輪與橋面接觸處的位移z1、前輪與橋面接觸處的位移z2、車身質(zhì)心處的轉(zhuǎn)角yc、車身質(zhì)心處的轉(zhuǎn)角θ.其中z1,z2與橋面同一位置處的位移相等，yc,θ與y2,y3之間的關(guān)系可寫為

(2)

因此該模型的獨立自由度共有4個，車輛模型的位移列陣可表示為

YV=[y1y2y3y4]T

(3)

對車輛模型中的各部分分別進行動力分析，根據(jù)達朗貝爾原理可得

(4)

為便于編程使用，將式(4)用矩陣的形式表示，即

(5)

式中，

由式(5)右邊的荷載向量可知，車輛所受荷載中包含由于橋梁變形所引起的彈性力以及阻尼力，該部分荷載分量將車輛振動與橋梁結(jié)構(gòu)振動方程耦合起來，形成一個耦合振動體系.

當(dāng)車輛總質(zhì)量為20 t時的車輛參數(shù)具體取值見表1，對于后文數(shù)值模擬中不同載重的車輛，只改變m2的數(shù)值.

表1 車輛模型參數(shù)

1.3 路面不平順

路面不平順樣本函數(shù)r(x)是橋梁車致振動的主要影響因素，可采用三角級數(shù)疊加法[10]模擬，即

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，αk為余弦函數(shù)的幅值；ωk為位于功率譜密度定義區(qū)間[ωl，ωu]內(nèi)的頻率；θk為均勻分布在0～2π之間的隨機相位角；x為局部坐標(biāo)，表示橋上某點距橋梁左端的距離；N為模擬隨機不平順的點數(shù)；S(ωk)為功率譜密度函數(shù)，在區(qū)間[ωl，ωu]內(nèi)定義為路面不平順空間頻率的函數(shù)，

(10)

式中，α為不平順系數(shù)；指數(shù)β可取1.94.橋上路面粗糙度被劃分為5個等級，各等級路面不平順系數(shù)的選取見文獻[11].

1.4 車橋耦合振動分析

在進行車橋耦合振動分析時，通常假設(shè)車輛在行駛過程中始終與梁體保持接觸狀態(tài)，車輛的動力方程和梁的動力方程可通過接觸點作用力和位移的相互約束進行耦合.本文采用豎向耦合振動，以車輛后輪為例，車輪與梁體的相互作用力可表示為

(11)

式中，Δb(t)為后輪質(zhì)心在t時刻相對于梁體的垂直位移，其表達式為

Δb(t)=yb(t)-zb(t)-rb

(12)

式中，yb(t)為后輪質(zhì)心在t時刻的豎向位移；zb(t)為接觸點處橋面節(jié)點在t時刻的豎向位移；rb為后輪與橋面接觸點處的橋面不平順樣本值.

車輛與橋梁的耦合方程是一個時變的二階微分方程組，可采用Newmark-β法求解.本文通過編制的MATLAB與ANSYS聯(lián)合程序?qū)嚇蝰詈险駝臃匠踢M行迭代求解，基本思路如下：

① 在MATLAB中輸入各項參數(shù)，輸出輪壓荷載時程數(shù)據(jù)；

② 調(diào)用ANSYS計算橋梁結(jié)構(gòu)在輪壓荷載作用下的動力響應(yīng)并輸出中車輪接觸處位移及速度時程數(shù)據(jù)；

③ 在MATLAB中通過Newmark-β法根據(jù)橋梁響應(yīng)計算車輛動力響應(yīng)并輸出輪壓荷載時程數(shù)據(jù)；

④ 計算前后兩次計算所得輪壓荷載時程數(shù)據(jù)的差值ΔF，若小于限值則結(jié)束運算，并得到方程的數(shù)值解，若大于等于限值則重復(fù)步驟②～④.

2 三維動態(tài)應(yīng)力強度因子

2.1 三維裂縫尖端應(yīng)力場

對于含有裂縫的三維勻質(zhì)彈性體，其裂縫尖端的應(yīng)力場可表示為[12]

(13)

2.2 三維相互作用積分法

三維裂縫尖端的能量釋放率表示如下：

(14)

式中，s為裂縫尖端位置的參數(shù)；μk(s)為裂縫局部擴展方向；W為應(yīng)變能密度；σij為應(yīng)力分量；ui為位移分量；nk和nj為與積分圍道垂直的單位向量；Γ是圍繞裂縫頂端點按逆時針方向所做圍道，沿此圍道進行積分.

根據(jù)能量釋放理論可得到能量釋放率J和應(yīng)力強度因子的關(guān)系式為

(15)

式中，E為彈性模量；ν為泊松比.

相互作用積分法在計算應(yīng)力強度因子時，通過建立裂縫尖端的輔助場來分離并獲得真實場的應(yīng)力強度因子.裂縫尖端的輔助場是滿足平衡條件、物理方程和幾何關(guān)系的任一可能位移場和應(yīng)力場，而裂縫尖端的真實場則是待研究問題的裂縫尖端的實際位移場和應(yīng)力場.具體過程如下[13-14]：

① 將輔助場與真實場疊加后可得相互積分

(16)

式中，上標(biāo)“aux”表示輔助場的解，只要保證Γ值足夠小就能保證上述積分是守恒的.

② 由I(s)和能量釋放率的關(guān)系，可得到點s處的局部應(yīng)力強度因子和I(s)之間的關(guān)系式為

(17)

(18)

可用同樣方法計算KⅡ和KⅢ.

本文基于車橋耦合振動分析方法求解出所有離散時間點上的位移、應(yīng)力等信息.在每個步長中，通過將計算得到的應(yīng)力和應(yīng)變代入相互作用積分中求解每個步長內(nèi)的應(yīng)力強度因子，即可得到車輛在橋梁上行駛時的動態(tài)應(yīng)力強度因子KⅠ(t)和KⅡ(t)時程.

3 裂縫評價標(biāo)準(zhǔn)

3.1 彎剪裂縫擴展評價參數(shù)

由于車輛荷載是豎向荷載，故可將梁體的裂縫近似地看成Ⅰ，Ⅱ型復(fù)合裂縫.徐道遠等[15]通過四點剪切試樣研究所得到的Ⅰ，Ⅱ型復(fù)合裂縫的臨界斷裂曲線表達式為

(19)

式中，KⅠC為混凝土的斷裂韌度，其取值可根據(jù)試驗確定.

根據(jù)式(19)可構(gòu)造評估裂縫擴展性能的參數(shù)，其表達式可寫成

(20)

當(dāng)λ(t)=1時，表示裂縫處于臨界擴展?fàn)顟B(tài).當(dāng)λ(t)>1時，表示裂縫是不穩(wěn)定的，在當(dāng)前荷載作用下會發(fā)生擴展.當(dāng)0<λ(t)<1時，裂縫是穩(wěn)定的，但λ(t)越大，該裂縫就越危險，可通過λ(t)值的大小對裂縫擴展性能進行評價.

3.2 裂縫擴展動力放大系數(shù)

車輛荷載的作用通常采用放大系數(shù)來表示.對于車輛荷載對裂縫的擴展性能的影響，可以通過參數(shù)λ的動力放大系數(shù)來考慮，如下所示：

4 算例分析

4.1 數(shù)值模型

算例選取某跨度30 m簡支T梁進行實體建模分析.簡化后的兩軸車模型沿T梁上表面中軸線加載.根據(jù)橋面劃分的單元數(shù)確定過橋積分步數(shù)，先假設(shè)車輛荷載在每個步長作用點不變，通過ANSYS的動力分析過程得到每個作用點處接觸點的位移，然后再反求此時的輪壓荷載，通過迭代直到前后兩次算得的輪壓荷載相等，完成一步迭代.荷載通過兩軸車輛模型施加在T梁三維實體模型中線上的節(jié)點，施加位置隨不同積分步而改變.不同的移動速度通過積分時間步長控制，積分時間步長δ=l/v，l為主梁的單元長度，v為所設(shè)定的車速.T梁跨中截面如圖2所示，T梁總高220 cm，腹板高203 cm，寬27 cm，翼緣板寬240 cm，厚17 cm.材料采用C50混凝土，通過增加材料的彈性模量來考慮鋼筋的作用，取彈性模量E=45.4 GPa，材料泊松比為0.2，密度為2 549kg/m3，T梁質(zhì)量為73 113 kg.混凝土材料的斷裂韌度KⅠC可根據(jù)文獻中的試驗資料進行確定，其數(shù)值大致在0.632～0.949 MPa/m1/2之間.參考文獻[16]，本文取混凝土的斷裂韌度KⅠC=0.869 6 MPa/m1/2.

圖2 T梁跨中截面示意圖(單位：cm)

算例采用通用有限元軟件ANSYS建立開裂T梁實體有限元模型，混凝土采用solid186單元進行模擬.solid186單元是高階三維20節(jié)點實體單元，具有二次位移模式，不僅可以模擬不規(guī)則的網(wǎng)格，而且支持運用相互作用積分法進行三維應(yīng)力強度因子的計算.為了更加精確地模擬裂縫尖端場，裂縫端部采用奇異單元.裂縫尖端網(wǎng)格劃分如圖3所示.

圖3 裂縫尖端網(wǎng)格劃分示意圖

4.2 裂縫擴展性能參數(shù)研究

該算例分別分析了車重、路面平順度、車速和梁體損傷程度對跨中豎向裂縫擴展性能的影響，此外還分析了裂縫角度對四分之一跨處斜裂縫擴展性能的影響.各參數(shù)變量取值見表2.為敘述方便，設(shè)車重Rweight為車輛總質(zhì)量和T梁總質(zhì)量的比值，損傷程度α為跨中豎向裂縫深度和T梁高度的比值.

通過試算，發(fā)現(xiàn)車重是影響裂縫擴展性能參數(shù)的最主要因素，因此在具體分析某一變量對裂縫擴展性能的影響時，選取該參數(shù)和車重作為變量進行模擬分析，除車重外其余參數(shù)在各控制變量分析中的取值統(tǒng)一為：路面不平順等級3級，車速30 km/h，梁體損傷程度α=0.20，斜裂縫角度45°.

表2 數(shù)值模擬參數(shù)變量和取值

4.2.1 靜動態(tài)應(yīng)力強度因子對比分析

首先用編制的車橋耦合振動程序?qū)α后w跨中裂縫的三維動態(tài)應(yīng)力強度因子進行求解分析，對比靜止車輛作用在橋上的靜態(tài)應(yīng)力強度因子.具體選取的工況為：Rweight取0.12，車速60 km/h，路面不平順等級3，梁體損傷比0.2.圖4和圖5分別給出了該工況下應(yīng)力強度因子KⅠ(t)，KⅡ(t)以及裂縫擴展性能參數(shù)λ的時程曲線，并將各條曲線與不考慮振動時的靜態(tài)曲線進行了對比.可看出，車輛運動對橋梁會有沖擊作用，導(dǎo)致裂縫參數(shù)一定程度的放大.因此在判斷開裂梁橋中裂縫的穩(wěn)定性時，必須考慮車輛荷載的動力作用.由圖4(a)可見，Ⅰ類張開型應(yīng)力強度因子KⅠ(t)的時程曲線變化趨勢與其他文獻中車輛荷載作用下跨中的位移響應(yīng)時程變化趨勢相似，大致在車輛位于跨中時出現(xiàn)最大值.由圖4(b)可見，當(dāng)車輛位于跨中附近時，由于二維車輛前后輪的作用導(dǎo)致Ⅱ類滑開型應(yīng)力強度因子KⅡ(t)有一個雙谷的變化過程.對比圖4(a)和圖4(b)可以發(fā)現(xiàn)，該工況下KⅠ(t)遠大于KⅡ(t)，λ主要受到KⅠ(t)的影響，故圖5中裂縫擴展性能參數(shù)λ的時程曲線和KⅠ(t)的時程曲線趨勢相同.

(a) KⅠ(t)時程曲線

(b) KⅡ(t)時程曲線

圖5 裂縫擴展性能參數(shù)λ時程曲線

4.2.2 路面不平順對裂縫擴展性能的影響

為了考查路面不平順對車輛荷載作用下裂縫擴展性能的影響，進行了相關(guān)模擬分析.圖6給出了不同等級路面條件下裂縫擴展性能參數(shù)λ的動力時程曲線，其中Rweight取0.12，i為路面不平順等級，i=1，2，3，4，5，其他參數(shù)為上文所述控制變量分析中的統(tǒng)一取值.由圖6可見，當(dāng)車輛位于跨中時，裂縫擴展性能參數(shù)λ的振幅最大，且隨著路面粗糙度等級的增大，參數(shù)λ的振幅變大.

圖6 不同等級路面下裂縫擴展性能參數(shù)λ時程曲線

另一方面，3種車重作用下Λ的改變量Δj分別為0.26(Rweight=0.12)，0.20(Rweight=0.24)，0.18(Rweight=0.36).分析不同車輛荷載隨路面等級退化時Λ的增長率，可以看到車輛荷載越小，其隨路面等級退化時Λ的增長速率越大，這是由于輕車隨路面等級退化更易產(chǎn)生顛簸，車輛的沖擊作用對橋梁裂縫產(chǎn)生不利影響.圖8給出了3種不同車重情況下λ的動力放大系數(shù)隨著路面等級退化的變化情況.由圖可見，λ的動力放大系數(shù)隨著路面等級退化呈加速增大的趨勢，且車輛荷載越小趨勢越明顯，這也印證了圖7中輕車隨路面等級退化時Λ加速增長的現(xiàn)象.故保持路面狀況良好，能夠顯著降低車輛沖擊作用對橋梁裂縫的影響.此外，從圖中可看出運動車輛對橋梁的沖擊作用會導(dǎo)致裂縫擴展性能參數(shù)λ的放大，在某些工況下(Rweight=0.12，路面不平順等級5)達到靜態(tài)裂縫擴展性能參數(shù)的近2倍，說明考慮動態(tài)作用對于評估開裂梁橋中裂縫穩(wěn)定性是十分必要的.

圖8 不同等級路面下動力放大系數(shù)變化情況

4.2.3 車速對裂縫擴展性能的影響

4.2.4 梁體損傷程度對裂縫擴展性能的影響

4.2.5 彎剪區(qū)斜裂縫角度對裂縫擴展性能的影響

圖11 裂縫擴展性能參數(shù)λ時程曲線(斜裂縫角度45°)

5 結(jié)論

1) 本文提出的車橋耦合振動分析與相互作用積分相結(jié)合的方法能夠有效地對車輛荷載作用下實體開裂梁動態(tài)應(yīng)力強度因子進行計算分析.

2) 在求解車輛荷載作用下裂縫的動態(tài)應(yīng)力強度因子時，應(yīng)當(dāng)考慮慣性的作用，將車輛荷載直接代入應(yīng)力強度因子的求解公式中得到的靜態(tài)應(yīng)力強度因子偏小，在某些工況下會產(chǎn)生近2倍的誤差.

3) 車輛荷載的增加，路面等級的退化和梁體損傷程度的增大均會導(dǎo)致裂縫擴展性能參數(shù)變大，其中車輛荷載作用最為明顯，車輛行駛速度及裂縫角度的改變對其影響不大.四分之一跨處的斜裂縫在裂縫水平角接近45°時發(fā)生擴展的風(fēng)險最大.

4) 車輛荷載的沖擊作用會加大裂縫擴展的風(fēng)險，車輛荷載較輕和路面退化嚴(yán)重時，其對裂縫擴展性能的動力放大作用十分明顯.

5) 車輛荷載和梁體損傷程度對裂縫擴展性能參數(shù)的耦合作用表現(xiàn)出非線性，隨著車輛荷載的增大和梁體損傷程度的增加，裂縫擴展的風(fēng)險加速增大.