黃曉冬 袁銀男 歐陽天成 陳 南 潘明章

(1江蘇大學汽車與交通工程學院， 鎮(zhèn)江 212013)(2東南大學機械學院， 南京 211189)(3廣西大學機械工程學院， 南寧 530004)

齒輪傳動裝置是現(xiàn)代機械裝備的重要組成部分，隨著旋轉(zhuǎn)機械向高轉(zhuǎn)速、大型化、集成化方向發(fā)展，對機械系統(tǒng)整機性能有重要影響的齒輪動力學已成為當前研究熱點[1-2].對膠印機而言，良好的運行平穩(wěn)性是印刷質(zhì)量的重要保證，膠印印刷過程依靠多級平行軸滾筒齒輪的相互轉(zhuǎn)動完成圖像轉(zhuǎn)移，傳動過程中如何保證齒輪的高精度嚙合是實現(xiàn)精確套印的前提.因此，滾筒齒輪嚙合傳動的平穩(wěn)性和精確度是高速膠印機設計與制造的首要任務[2-4].

近年來，國內(nèi)外眾多學者對齒輪傳動系統(tǒng)動力學問題展開了一系列研究[5-10]，在傳動誤差與系統(tǒng)動態(tài)響應的關(guān)系、齒輪嚙合非線性動力學、齒側(cè)間隙與動態(tài)特性的關(guān)系等方面取得了豐富的研究成果.郭磊等[11]運用ADAMS軟件建立汽車變速箱多體動力學模型，分析了多檔位下的齒輪嚙合拍擊特性和嘯叫噪聲，并利用表面振動速度法對箱體振動速度等級進行精確識別.在考慮齒輪偏心、傳動誤差和時變輸入/輸出力矩前提下，任朝暉等[12]利用集中參數(shù)法建立風電斜齒輪傳動動力學模型，分析了轉(zhuǎn)速、軸承間隙等參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響.Yang等[13-14]在考慮接觸時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙基礎上，建立行星齒輪空間機械臂關(guān)節(jié)動力學模型，研究系統(tǒng)不同設計參數(shù)下的非線性動力學特性.Besharati等[15]通過建立包含非對稱齒側(cè)間隙的齒輪-齒條非線性動力學模型，研究了預緊載荷對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響規(guī)律.為了研究齒側(cè)間隙與嚙合溫度對齒輪-滑動軸承系統(tǒng)動力學特性的影響，F(xiàn)argère等[16]整合齒輪-傳動軸動力學模型和滑動軸承潤滑模型，基于時間步長積分法與牛頓迭代法的聯(lián)合求解獲得控制方程數(shù)值解.基于有限元思想，Ouyang等[17]建立膠印機單對滾筒-軸承-齒輪非線性動力學模型，利用龍格庫塔法求解控制方程并分析了轉(zhuǎn)速、嚙合剛度、齒側(cè)間隙等因素對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響.基于斷裂力學原理，Han等[18]通過有限單元法建立了包含傳動軸裂紋的平行軸齒輪動力學模型，分析了裂紋類型和參數(shù)對穩(wěn)態(tài)、非穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)動態(tài)特性的影響.

以上文獻大都將焦點集中在傳統(tǒng)的多級平行軸齒輪系統(tǒng)，但對膠印機平行軸齒輪傳動系統(tǒng)動力學問題的研究卻相當缺乏.實驗測試結(jié)果顯示，膠印機平行軸齒輪傳動系統(tǒng)是高速印刷狀態(tài)下的主要振源，也是決定整機平穩(wěn)性的關(guān)鍵因素.因此，本文利用集中參數(shù)法建立膠印機平行軸滾筒齒輪多自由度非線性動力學模型，基于數(shù)值解分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，為膠印機滾筒齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性的改善提供理論支持和分析方法.

1 動力學模型

如圖1所示，膠印機多級平行軸滾筒齒輪傳動系統(tǒng)主要由齒輪、滾筒和軸承組成，在滾筒軸頸處設置軸承起支承作用.印刷過程中，齒輪1轉(zhuǎn)動帶動紙張從傳紙滾筒傳遞到壓印滾筒(沿X方向)，油墨從印版滾筒轉(zhuǎn)移到橡皮滾筒，橡皮滾筒將圖像或文字轉(zhuǎn)移到壓印滾筒表面的紙張.振動過大將導致印品模糊，甚至出現(xiàn)卡紙現(xiàn)象.一般而言，振動強度隨轉(zhuǎn)速提高而增大，為了提高印刷效率，有必要研究膠印機平行軸滾筒齒輪的動態(tài)特性.

圖1 膠印機多級平行軸滾筒齒輪傳動系統(tǒng)三維圖

基于振動理論，本研究利用集中參數(shù)法建立膠印機多級平行軸滾筒齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型.在保證計算精度前提下，對原機模型進行適當簡化，利用動力學等效法將滾筒平動質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量向斜齒輪中心簡化，用時變剛度彈簧模擬齒輪嚙合，支承軸承處理為等效剛度彈簧.

圖2(a)中，每個斜齒輪具有3個平動自由度和1個旋轉(zhuǎn)自由度，分別是X和Y方向的彎曲位移，Z方向的軸向位移和繞平行軸的扭轉(zhuǎn)位移.該機構(gòu)屬于4級平行軸齒輪傳動系統(tǒng)，共16個自由度，因此其動力學模型節(jié)點位移向量為

q= {x1,y1,z1,θ1,x2,y2,z2,θ2,
x3,y3,z3,θ3,x4,y4,z4,θ4}T

(1)

式中，xi(i=1,2,3,4)為斜齒輪沿X方向位移；yi(i=1,2,3,4)為斜齒輪沿Y方向位移；zi(i=1,2,3,4)為斜齒輪沿Z方向位移；θi(i=1,2,3,4)為斜齒輪繞Z方向的轉(zhuǎn)角.

(a) 平行軸斜齒輪整體坐標系簡圖

(b) 斜齒輪嚙合副動力學模型

1.1 動態(tài)嚙合力

如圖2(b)所示，在外部驅(qū)動轉(zhuǎn)矩和負載力矩共同作用下，接觸齒面將產(chǎn)生彈性變形，接觸點在嚙合平面內(nèi)發(fā)生相對位移，嚙合點在接觸面內(nèi)的相對位移近似表達式為

(2)

斜齒輪嚙合副沿X,Y,Z方向的動態(tài)嚙合力分別為

(3)

1.2 嚙合剛度、嚙合阻尼、靜態(tài)傳動誤差

齒輪嚙合過程中，由于接觸輪齒對數(shù)、接觸幾何特征等因素的變化，導致嚙合剛度具有時變特性，形成參數(shù)振動.基于回歸分析法，Cai[19]提出了一種較為接近實驗測量值的斜齒輪嚙合剛度擬合公式，本文將采用該擬合公式來模擬多級平行軸滾筒斜齒輪的嚙合剛度.單對輪齒的嚙合剛度計算式為

(4)

式中，t為沿接觸線的嚙合時間；tz為一個節(jié)距的嚙合周期時間；mn為斜齒輪法向模數(shù)；ε為總重合度；εa為端面重合度；kp為分度圓節(jié)點位置的嚙合剛度；bc為齒寬；H為全齒高.

多級平行軸滾筒斜齒輪嚙合剛度為

(5)

式中，n為同一時刻同時參與嚙合的輪齒對數(shù).

為了簡化計算過程，本文采用與速度成正比的線性黏性阻尼模擬齒輪嚙合阻尼，其計算式為

(6)

式中，Ji，Jj分別為主動輪和從動輪的轉(zhuǎn)動慣量；kave為齒輪平均嚙合剛度；ξg為齒輪嚙合阻尼比(取ξg=0.05).

在靜態(tài)條件下，由于制造原因引起的齒廓、齒向偏差以及輪齒接觸變形而導致的嚙合誤差稱為齒輪靜態(tài)傳動誤差.考慮到靜態(tài)傳動誤差具有周期性，其諧波函數(shù)表達式可描述為

(7)

式中，e0為靜態(tài)傳動誤差平均值；en為靜態(tài)傳動誤差諧波項幅值；νn為靜態(tài)傳動誤差諧波項嚙合相位；ωm為齒輪嚙合頻率，ωm=ωizi，其中ωi為主動輪轉(zhuǎn)速，zi為主動輪齒數(shù).

1.3 等效軸承剛度

膠印機采用滾動軸承支承斜齒輪平行軸，本文采用等效原理推導滾動軸承的等效剛度.在忽略軸承內(nèi)、外滾道與鋼球之間的間隙、軸承接觸角不隨載荷改變的前提下，軸承沿X，Y，Z方向的等效剛度分別為[20]

(8)

式中，sx為X方向的等效軸承剛度；sy為Y方向的等效軸承剛度；sz為Z方向的等效軸承剛度；δr為軸承內(nèi)、外圈的徑向相對位移；δa為軸承內(nèi)、外圈的軸向相對位移；Kn為赫茲剛度系數(shù)；Zn為滾子數(shù)目；Cc為余弦計算系數(shù)；αc為接觸角.

1.4 等效質(zhì)量

確定X，Y，Z方向上的等效質(zhì)量和軸承安裝等效剛度是集中參數(shù)法建立平行軸滾筒齒輪動力學模型的重要環(huán)節(jié).圖3為膠印機單級滾筒齒輪等效參數(shù)簡圖，由于滾筒沿軸向的長度遠大于齒輪中心(C點)到軸承2的距離(lb>la)，因此將滾筒視為質(zhì)量均勻分布的梁.膠印機滾筒在圖3所示的支承方式下，梁單元(滾筒)任意一點的彈性變形為

(9)

且有

(10)式中，yC為梁單元在C點的彈性變形；Wg為外載荷；la為齒輪中心到軸承的距離；lb為滾筒長度；E為梁單元的彈性模量；I為梁單元的截面慣性矩.

圖3 等效參數(shù)簡圖

根據(jù)Rayleigh法原理[21]，梁單元最大動能表達式為

(11)

式中，Kmax為梁單元的最大動能；wg為單位長度的梁單元質(zhì)量；g為重力加速度.

基于動力學等效原理，平動方向和豎直方向的等效質(zhì)量和軸承安裝等效剛度分別為

(12)

式中，mx和my分別為平動方向和豎直方向上齒輪中心等效質(zhì)量；mg為斜齒輪質(zhì)量；mc為滾筒質(zhì)量.

同樣按照上述方法求得軸向振動方向齒輪中心等效質(zhì)量和軸承安裝等效剛度，表達式為

(13)

式中，mz為軸向方向的齒輪中心等效質(zhì)量.

1.5 動力學方程

在任意時刻，滾筒斜齒輪上的慣性力、阻尼力和彈性力構(gòu)成平衡力系，根據(jù)達朗貝爾原理得到每個滾筒斜齒輪的運動微分方程：

1) 傳紙滾筒斜齒輪

(14a)

2) 壓印滾筒斜齒輪

(14b)

3) 橡皮滾筒斜齒輪

(14c)

4) 印版滾筒斜齒輪

(14d)

將4個滾筒斜齒輪的偏微分方程整合并用矩陣形式表示，得到16個自由度的多級平行軸滾筒齒輪動力學方程，其表達式為

(15)

式中，M為滾筒齒輪質(zhì)量矩陣；C為滾筒齒輪阻尼矩陣；K為滾筒齒輪剛度矩陣；F為滾筒齒輪載荷列向量；q為滾筒齒輪節(jié)點位移列向量.

2 動態(tài)特性分析

表1給出了膠印機平行軸滾筒齒輪傳動系統(tǒng)的特征參數(shù)，表2給出了滾筒齒輪的部分嚙合參數(shù).

在轉(zhuǎn)速4 000～17 000 r/h 范圍內(nèi)，本文采用Newmark-β法對膠印機平行軸滾筒齒輪動力學模型進行數(shù)值求解，分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，如齒輪嚙合力的波動、齒輪中心角速度的波動、齒輪中心加速度隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢，以及螺旋角、壓力角與嚙合剛度波動的關(guān)系.

表1 滾筒齒輪傳動系統(tǒng)的特征參數(shù)

表2 齒輪嚙合參數(shù)

2.1 動態(tài)嚙合力

嚙合力的波動是造成齒輪傳動系統(tǒng)振動的最直接因素，波動越劇烈，動載系數(shù)越大，振動越強烈.為驗證本文建立的多級平行軸滾筒齒輪動力學模型的準確性，圖4將ADAMS模型[4]得到的嚙合力與本文建立的動力學模型的數(shù)值計算嚙合力作對比.從圖4可看出，在17 000 r/h轉(zhuǎn)速下，斜齒輪的嚙合力具有周期性質(zhì)，呈上下波動狀態(tài)，齒對12的嚙合力圍繞9 000 N上下波動，而齒輪34的嚙合力則圍繞1 200 N上下波動.由圖4可知，ADAMS模型的計算結(jié)果在波動幅值和波動變化率方面均大于動力學模型的數(shù)值解，原因是ADAMS模型通過定義剛體碰撞函數(shù)模擬齒輪嚙合，而動力學模型則是基于振動理論建立控制方程，因此動力學模型的數(shù)值解呈現(xiàn)相對較小的波動性和波動變化率.通過圖4的對比，驗證了本文建立的動力學模型的計算精度.

(a) 齒對12

(b) 齒對34

2.2 角速度

理想狀態(tài)下齒輪角速度應為恒定值，但由于振動的存在導致角速度出現(xiàn)波動，波動越大，振動越強烈.如圖5所示，膠印機滾筒齒輪的角速度也具有周期性質(zhì)，ADAMS模型的波動幅度同樣大于動力學模型.圖5(a)中,ADAMS模型的波動幅值約為13°/s，動力學模型的波動幅值則約為10°/s.圖5(b)中，ADAMS模型和動力學模型的角速度基本是圍繞1 700°/s(理想轉(zhuǎn)速)上下波動，分析結(jié)果說明了穩(wěn)態(tài)工況下齒輪角速度是理想轉(zhuǎn)速與振動的疊加.

(a) 傳紙滾筒斜齒輪

(b) 印版滾筒斜齒輪

2.3 加速度

加速度有效值能反映某一時間段振動能量的大小，是衡量振動強度的重要指標.圖6給出了壓印滾筒斜齒輪和印版滾筒斜齒輪在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)(4 000～17 000 r/h)的X，Y,Z和三向合成加速度有效值.總體而言，加速度隨轉(zhuǎn)速的提高而增大，在7 000, 11 000, 16 000 r/h轉(zhuǎn)速下出現(xiàn)峰值，表現(xiàn)出加速度共振峰特征.Z方向的加速度小于X，Y方向，原因可歸結(jié)為軸向力波動相對較小.

2.4 嚙合剛度

大量研究證實，嚙合剛度激勵是引起齒輪系統(tǒng)振動的主要原因之一，齒輪嚙合過程中，剛度波動越大振動越強烈，嚙合剛度的平穩(wěn)性對齒輪減振有重要意義.標準差是衡量嚙合剛度周期波動大小的一個有效指標，能反映齒輪動態(tài)設計的優(yōu)劣.如圖7所示，螺旋角和壓力角的變化對嚙合剛度波動(齒對12)有顯著影響.

(a) 壓印滾筒斜齒輪

(b) 印版滾筒斜齒輪

圖7(a)中壓力角恒定為20°，當螺旋角為10°和20°時，嚙合剛度標準差較小；螺旋角為16°時標準差較大；當螺旋角小于10°時，標準差隨螺旋角的減小而增大；當螺旋角大于22°時，標準差隨螺旋角的增大而增大.這說明需要合理設計膠印機滾筒斜齒輪的螺旋角以降低振動強度.

圖7(b)中螺旋角恒定為15°，當壓力角為16°時，嚙合剛度標準差最小，壓力角偏離16°越大，標準差越大，振動越強烈.

3 結(jié)論

1) 基于集中參數(shù)法建立膠印機多級平行軸滾筒齒輪動力學模型，利用Newmark-β法求解系統(tǒng)控制方程，分析了齒輪系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力、角速度、角加速度以及嚙合剛度標準差，通過與多體動力學ADAMS仿真軟件的對比，驗證了動力學模型的計算精度.

(a) 螺旋角

(b) 壓力角

2) 斜齒輪的嚙合力具有周期性質(zhì)，呈上下波動狀態(tài)，波動越劇烈，動載系數(shù)越大，振動越強烈.

3) 總體上，加速度隨轉(zhuǎn)速的提高而增大，在印刷速度范圍內(nèi)存在幾個共振峰，尤其以16 000 r/h最明顯.

4) 螺旋角為10°、壓力角為16°時嚙合剛度標準差較小，齒輪系統(tǒng)具有較好的動態(tài)特性.