王金銘，葉時(shí)平，尉理哲，許森，蔣燕君

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半張量積壓縮感知模型的快速重構(gòu)方法

王金銘，葉時(shí)平，尉理哲，許森，蔣燕君

（浙江樹(shù)人大學(xué)信息科技學(xué)院，浙江 杭州 310015）

壓縮感知；觀測(cè)矩陣；半張量積；存儲(chǔ)空間；重構(gòu)時(shí)間

1 引言

隨著壓縮感知（CS, compressed sensing）[1-3]理論研究的深入，壓縮感知在大尺寸圖像壓縮采樣和重構(gòu)的應(yīng)用研究中一直存在著亟待改善和解決的問(wèn)題。

1) 信號(hào)壓縮采樣方面，雖然利用隨機(jī)觀測(cè)矩陣進(jìn)行壓縮采樣具有理論上的完美特性，但由于其具有的隨機(jī)特性，隨機(jī)矩陣在硬件實(shí)現(xiàn)、存儲(chǔ)分配和重構(gòu)算法構(gòu)造上，都需要占用大量的存儲(chǔ)空間和內(nèi)存空間，在實(shí)際應(yīng)用中受到很大的限制。

2) 信號(hào)優(yōu)化重構(gòu)方面，隨著圖像尺寸的增大，重構(gòu)過(guò)程運(yùn)算量將呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，這使圖像的重構(gòu)過(guò)程非常耗時(shí)，大大降低了壓縮感知重構(gòu)的實(shí)時(shí)性。當(dāng)設(shè)定采樣率為0.5時(shí)，利用迭代重加權(quán)（IRLS, iterative re-weighted least square）[4-5]算法重構(gòu)一幅256像素×256像素大小的圖像，所需時(shí)間約為60 s左右；若重構(gòu)一幅512像素×512像素大小的圖像，則約需1 000 s；但若重構(gòu)一幅大小為1 024像素×1 024像素大小的圖像，其重構(gòu)時(shí)間則是無(wú)法忍受的。

針對(duì)問(wèn)題1)，相關(guān)科研人員分別提出了分塊壓縮感知（BCS, block compressed sensing）[6-8]、Kronecker壓縮感知[9-11]、結(jié)構(gòu)化觀測(cè)矩陣[12-13]、低秩觀測(cè)矩陣[14-15]、確定性觀測(cè)矩陣[16-17]等方法，用于降低觀測(cè)矩陣所需的存儲(chǔ)空間。而針對(duì)重構(gòu)實(shí)時(shí)性問(wèn)題，雖然有一些重構(gòu)算法具備較快的重構(gòu)速度，如正交匹配追蹤算法（OMP, orthogonal matching pursuit）[18]，但其重構(gòu)精度卻稍劣于IRLS的重構(gòu)方法[19]。

因此，找到一種在保證重構(gòu)質(zhì)量的前提下，既能有效降低觀測(cè)矩陣（特別是隨機(jī)觀測(cè)矩陣）的存儲(chǔ)空間，又能降低計(jì)算復(fù)雜度、有效提升重構(gòu)實(shí)時(shí)性的重構(gòu)算法，仍是一個(gè)需要研究的課題。

本文將討論一種基于半張量積的壓縮感知（STP-CS, semi-tensor product CS）方法。該方法利用低階隨機(jī)矩陣對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行全局采樣，通過(guò)對(duì)測(cè)量值進(jìn)行分組處理，再結(jié)合IRLS方法進(jìn)行重構(gòu)。利用該方法既可成倍降低觀測(cè)矩陣的存儲(chǔ)空間，又可在保證重構(gòu)精度的前提下，大大提升重構(gòu)的實(shí)時(shí)性。

2 半張量積壓縮感知方法

根據(jù)附錄1中所述的半張量積理論，本文的半張量積壓縮感知模型定義為

或

2.1 相關(guān)性分析

展開(kāi)式(3)，有

(4)

對(duì)于式(4)，利用半張量積矩陣乘法定義，有

根據(jù)自相關(guān)定義，有

=++…++…+=(8)

整理式(8)，有

=(10)

對(duì)于一個(gè)選定的觀測(cè)矩陣，有

且>0，則有

從而，對(duì)于式(11)，有

2.2 測(cè)量數(shù)下限

展開(kāi)式(12)，有

利用半張量積乘法原理，有

由式(14)可知，利用STP-CS模型在對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行采樣的過(guò)程中，并沒(méi)有改變線性采樣的本質(zhì)，測(cè)量值同樣是用原始信號(hào)的線性組合來(lái)表示的。為了更加清晰地了解STP-CS的壓縮采樣過(guò)程，令=16，=12，=4，則有

觀察式(15)，將測(cè)量值12×1進(jìn)行分組，有

從另一個(gè)角度來(lái)看，本文所述的STP-CS方法也具備了分布式壓縮感知的功能，即將長(zhǎng)度為的原始信號(hào)劃分成組信號(hào)群，且該組信號(hào)群能在同一個(gè)稀疏基上進(jìn)行稀疏表示，并利用低階觀測(cè)矩陣對(duì)組信號(hào)群分別進(jìn)行壓縮采樣，得到組測(cè)量群。

此外，據(jù)式(16)~式(19)所示，本文所述的STP-CS的壓縮采樣方法，完全與傳統(tǒng)壓縮感知方法一樣，能夠保留原始信號(hào)所攜帶的信息，從而能保證對(duì)原始信號(hào)的精確重構(gòu)。

便能保證精確重構(gòu)長(zhǎng)度為的原始信號(hào)。

2.3 重構(gòu)算法

雖然IRLS具有較高的重構(gòu)精度，但由于IRLS算法的天然特性，利用其對(duì)大尺寸圖像進(jìn)行全局重構(gòu)時(shí)，實(shí)時(shí)性仍有待提升。為此，本文結(jié)合STP-CS壓縮采樣特點(diǎn)，提出了一種基于IRLS的分組重構(gòu)方法，可以有效提升重構(gòu)的實(shí)時(shí)性，且保持了信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量。

從而，本文所涉及的l-范數(shù)(0<<1)的迭代重加權(quán)分組重構(gòu)算法如下。

1) 初始化=1，取列測(cè)量值中的第列；

2) 根據(jù)式(21)對(duì)該列測(cè)量值進(jìn)行分組；

10) 執(zhí)行=+1，判斷=？若不滿足，返回步驟3)，繼續(xù)迭代計(jì)算，若滿足則退出迭代；

2.4 計(jì)算復(fù)雜度

以上，本文著重討論了利用半張量積壓縮感知原理對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣和分組重構(gòu)的理論方法。由于觀測(cè)矩陣在壓縮感知的采樣及重構(gòu)過(guò)程中擔(dān)任著關(guān)鍵角色，其矩陣大小是影響數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量及計(jì)算復(fù)雜度的關(guān)鍵因素。從而利用本文所述方法采用低階觀測(cè)矩陣既有益于降低數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)空間和計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)利用分組重構(gòu)方法也有益于提升重構(gòu)的實(shí)時(shí)性。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文所述方法的有效性，本文針對(duì)2維灰度圖像設(shè)計(jì)了2組驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，第一組設(shè)定不同的采樣率，分別構(gòu)建不同大小的高斯隨機(jī)矩陣進(jìn)行采樣，然后利用l-范數(shù)(0<<1)的IRLS方法進(jìn)行重構(gòu)，比較重構(gòu)圖像的峰值信噪比（PSNR, peak signal to noise ratio）和重構(gòu)時(shí)間。第二組設(shè)定不同的采樣率，與BCS[6]和Kronecker[10]等低存儲(chǔ)壓縮感知方法進(jìn)行了比較。

實(shí)驗(yàn)中采用的2維灰度圖像分別為256像素×256像素的Peppers、512像素×512像素的Lena、1 024像素×1 024像素的Mandrill以及2 048像素×2 048像素的Cameraman。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)配備了Intel i7- 4600 CPU，2.1 GHz主頻，8 GB內(nèi)存，64位Windows 8操作系統(tǒng)，仿真軟件采用Matlab R2010b。

首先利用低階觀測(cè)矩陣結(jié)合式(2)進(jìn)行半張量積壓縮采樣后，得到對(duì)應(yīng)的測(cè)量值；隨后對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行分組，并利用本文所述的l-范數(shù)方法進(jìn)行重構(gòu)，得到重構(gòu)的小波系數(shù)；通過(guò)對(duì)重構(gòu)結(jié)果重新進(jìn)行排列，進(jìn)而得到重組后的重構(gòu)小波系數(shù)；最后利用小波逆變換，得到重構(gòu)圖像。實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于每一幅灰度圖像的稀疏系數(shù)，根據(jù)設(shè)定的采樣率及觀測(cè)矩陣的大小，分別進(jìn)行了50次測(cè)試，以觀察其重構(gòu)圖像質(zhì)量，并對(duì)重構(gòu)圖像的峰值信噪比和重構(gòu)時(shí)間進(jìn)行評(píng)估。由于篇幅問(wèn)題，僅在圖1~圖3中列出了采樣率為0.5時(shí)的Peppers、Lena及Mandrill的重構(gòu)結(jié)果，其重構(gòu)圖像是在50次重構(gòu)結(jié)果中隨機(jī)選取的。

圖1~圖3中的(b)分別表示對(duì)2維原始圖像的重構(gòu)結(jié)果。從圖1~圖3可知，對(duì)于3種不同大小的原始圖像，當(dāng)=2、4、8、16、32時(shí)，其相應(yīng)的重構(gòu)圖像質(zhì)量與傳統(tǒng)壓縮采樣方法（=1）基本一致。為進(jìn)一步對(duì)重構(gòu)圖像的質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估，表2和表3分別列出了利用6種不同大小的高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣進(jìn)行50次采樣和重構(gòu)后，其重構(gòu)圖像峰值信噪比和重構(gòu)時(shí)間的平均值。

表1 半張量積壓縮感知模型的觀測(cè)矩陣大小(=0.5)

圖1 不同大小的觀測(cè)矩陣采樣重構(gòu)2維圖像比較（Peppers，M=128，N=256）

圖2 不同大小的觀測(cè)矩陣采樣重構(gòu)2維圖像比較（Lena，M=256，N=512）

圖3 不同維數(shù)觀測(cè)矩陣重構(gòu)2維圖像比較（Mandrill，M=512，N=1 024）

表2 不同大小的高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣重構(gòu)2維圖像峰值信噪比

表3列出了上述50次壓縮采樣和重構(gòu)所需的時(shí)間。由表3可知，當(dāng)=1時(shí)，對(duì)于全部采樣率，Peppers重構(gòu)所需的平均時(shí)間約為61.25 s；當(dāng)=2時(shí)，重構(gòu)的平均時(shí)間約為17.875 s，速度提升了3倍多；隨著繼續(xù)增大，重構(gòu)所需的時(shí)間持續(xù)降低，速度最快提升了近11倍多（當(dāng)=8時(shí)）。隨著圖像尺寸的增大，其重構(gòu)時(shí)間呈指數(shù)級(jí)增加，例如Lena，當(dāng)=1時(shí)，對(duì)于全部采樣率，Lena重構(gòu)所需的平均時(shí)間約為1 579 s；當(dāng)=2時(shí)，重構(gòu)的平均時(shí)間約為268 s，速度提升了近6倍；隨著繼續(xù)增大，重構(gòu)所需的時(shí)間持續(xù)降低，速度最快提升了近69倍（當(dāng)=16時(shí)，平均重構(gòu)時(shí)間僅約為23 s）。而對(duì)于Mandrill而言，當(dāng)=1時(shí)，隨著采樣率的增加，其所需的重構(gòu)時(shí)間是無(wú)法忍受的，而采用本文所述的分組重構(gòu)方法，其重構(gòu)所需的平均時(shí)間僅約為99 s（當(dāng)=32時(shí)），重構(gòu)速度加快了近260倍，極大地提升了大尺寸圖像重構(gòu)的實(shí)時(shí)性。

綜上所述，利用本文所述的低階觀測(cè)矩陣進(jìn)行壓縮全局采樣和分組重構(gòu)的方法，在保證重構(gòu)質(zhì)量的前提下，既可成倍降低觀測(cè)矩陣所需的存儲(chǔ)空間，又可大大提升重構(gòu)的實(shí)時(shí)性，這對(duì)于進(jìn)一步拓展壓縮感知的實(shí)際應(yīng)用有非常積極的意義。

本文旨在保證重構(gòu)質(zhì)量的前提下，針對(duì)大尺寸圖像數(shù)據(jù)，降低觀測(cè)矩陣的存儲(chǔ)空間并且同時(shí)提高重構(gòu)實(shí)時(shí)性，為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所述方法的有效性，我們利用2 048像素×2 048像素大小的Cameraman圖像進(jìn)行了一組測(cè)試，設(shè)定采樣率為0.5，分別取1、8、16、32或64，實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了10次，其重構(gòu)圖像峰值信噪比和重構(gòu)時(shí)間的平均值如表4所示。

表3 不同大小的高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣重構(gòu)2維圖像重構(gòu)時(shí)間

表4 不同大小的高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣重構(gòu)Cameramen圖像測(cè)試結(jié)果（2 048像素×2 048像素，=0.5）

由表4可知，本文所述方法適用于大尺寸圖像，特別是在圖像重構(gòu)的實(shí)時(shí)性上有非常大的提升作用。

為了更為直觀地展示本文所述方法的有效性，我們選取了=1、16及32時(shí)Lena圖像的重構(gòu)值和重構(gòu)時(shí)間繪制了關(guān)于重構(gòu)時(shí)間、值和采樣率的3維視圖，如圖4所示。圖4展現(xiàn)了本文所述方法在重構(gòu)實(shí)時(shí)性上的提升作用。

圖4 不同維數(shù)觀測(cè)矩陣重構(gòu)2維圖像性能比較（Lena，=0.5）

第二組與其他低存儲(chǔ)壓縮感知方法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，主要與文獻(xiàn)[6]所示的分塊壓縮感知方法和文獻(xiàn)[10]中的Kronecker壓縮感知方法進(jìn)行了比較。BCS壓縮采樣時(shí)人為地將原始圖像分成大小相等的若干塊（如16×16），隨后根據(jù)設(shè)定的采樣率，構(gòu)建觀測(cè)矩陣對(duì)原始圖像進(jìn)行分塊采樣和重構(gòu)；Kronecker壓縮感知方法首先根據(jù)設(shè)定的采樣率構(gòu)建一個(gè)或若干個(gè)低階觀測(cè)矩陣，隨后利用Kronecker運(yùn)算構(gòu)建一個(gè)大小與傳統(tǒng)壓縮感知方法一樣的觀測(cè)矩陣（×）進(jìn)行壓縮采樣并進(jìn)行全局重構(gòu)；本文所述的STP-CS方法根據(jù)設(shè)定的采樣率首先構(gòu)建一個(gè)較小的觀測(cè)矩陣（>1）對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行全局采樣，隨后進(jìn)行分組重構(gòu)。對(duì)于3種不同的低存儲(chǔ)化壓縮感知方法，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是采用的觀測(cè)矩陣大小與壓縮采樣方式的區(qū)別。

根據(jù)表5中值所示，對(duì)于相同的采樣率，利用本文所述方法，即便采用=32時(shí)的高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣，其所得重構(gòu)圖像的值均明顯高于文獻(xiàn)[10]的Kronecker方法所得結(jié)果，且相比文獻(xiàn)[6]的BCS方法，本文方法均能接近或超過(guò)BCS方法所得結(jié)果。此外，對(duì)于表6中所示的重構(gòu)時(shí)間，本文方法明顯快于Kronecker方法；且隨著采樣率的提高，本文所述方法的重構(gòu)速度要明顯優(yōu)于BCS方法。

需要指出的是，在對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于BCS方法，其塊大小的選擇對(duì)重構(gòu)質(zhì)量有非常大的影響，且對(duì)于Kronecker方法，其進(jìn)行Kronecker運(yùn)算的2個(gè)觀測(cè)矩陣大小對(duì)重構(gòu)質(zhì)量也同樣有著非常大的影響。而利用本文所述方法，其選用的觀測(cè)矩陣大小基本對(duì)重構(gòu)質(zhì)量沒(méi)有影響。

綜上所述，本文所述的STP-CS壓縮感知模型可以利用低階觀測(cè)矩陣實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的壓縮采樣，且在保證重構(gòu)質(zhì)量的前提下，極大地提升重構(gòu)的實(shí)時(shí)性，也成倍地降低了隨機(jī)觀測(cè)矩陣所需的存儲(chǔ)空間。

表5 與其他低存儲(chǔ)壓縮感知方法比較的峰值信噪比（Lena 512像素×512像素）

壓縮感知方法峰值信噪比/dB 0.125 00.250 00.375 00.437 50.500 00.562 50.625 00.750 0 本文t=225.458 230.192 034.216 335.767 936.506 837.436 639.727 842.287 9 本文t=425.412 329.578 134.124 735.086 436.342 237.493 039.270 542.433 7 本文t=825.751 429.734 733.225 835.286 436.226 637.530 138.591 041.950 1 本文t=1625.369 530.683 733.117 535.002 936.594 237.237 438.991 942.083 8 本文t=3224.926 429.219 533.015 734.907 136.035 937.795 838.317 141.254 6 文獻(xiàn)[6]BCS24.331 429.633 332.984 734.657 536.334 937.436 738.628 141.490 3 文獻(xiàn)[10]KroneckerCS25.060 928.349 729.528 131.121 533.785 334.981 035.296 137.237 2

表6 與其他低存儲(chǔ)壓縮感知方法比較的重構(gòu)時(shí)間（Lena 512像素×512像素）

壓縮感知方法重構(gòu)時(shí)間/s 0.125 00.250 00.375 00.437 50.500 00.562 50.625 00.750 0 本文t=273.29145.95241.79283.20299.61327.55357.10421.12 本文t=427.3345.2270.3386.1886.9399.4197.01102.31 本文t=815.5224.4031.6537.2441.0941.31344.2044.87 本文t=1617.7219.0025.1827.1522.7825.74825.6726.58 本文t=3224.7726.5628.3428.9526.5026.63326.4826.15 文獻(xiàn)[6]BCS24.149 326.918 835.4355.6071.3194.93122.27196.38 文獻(xiàn)[10]KroneckerCS230.79542.66989.491 212.81 649.61879.12 132.22 448.3

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)壓縮感知在大尺寸圖像應(yīng)用中存在的隨機(jī)觀測(cè)矩陣占用較大的存儲(chǔ)空間、重構(gòu)實(shí)時(shí)性差等問(wèn)題，提出了一種利用低階觀測(cè)矩陣對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行全局壓縮采樣和分組重構(gòu)的方法。利用該方法，既可以大大降低觀測(cè)矩陣所需的存儲(chǔ)空間，又使其重構(gòu)的實(shí)時(shí)性得到有效的提升。

但基于半張量積理論的壓縮感知方法還有一些問(wèn)題亟需進(jìn)一步的深入研究：1) 需要在理論上進(jìn)一步分析低階觀測(cè)矩陣與傳統(tǒng)觀測(cè)矩陣對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣后，與原始信號(hào)之間的差別；2) 需要進(jìn)一步提升采用低階觀測(cè)矩陣后的重構(gòu)質(zhì)量，目前的方法從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)并沒(méi)有提升信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量，為此，亟需能找到一種適合低階觀測(cè)矩陣壓縮采樣的重構(gòu)方法，使其既能提升重構(gòu)質(zhì)量，又能降低觀測(cè)矩陣的存儲(chǔ)空間并進(jìn)一步提升重構(gòu)的實(shí)時(shí)性。

利用本文所述方法，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用環(huán)境與條件，選擇合適大小的觀測(cè)矩陣，對(duì)于壓縮感知的硬件實(shí)現(xiàn)有非常積極的意義。

附錄1 半張量積理論

半張量積乘法（STP, semi-tensor product）是一種新型矩陣乘法。它是介于傳統(tǒng)矩陣乘法與張量積乘法之間的一種新運(yùn)算，即當(dāng)2個(gè)矩陣和滿足的列數(shù)和的行數(shù)呈倍數(shù)關(guān)系時(shí)，兩者之間即可進(jìn)行左半張量積乘法[20]。

展開(kāi)式(26)，有

由此便實(shí)現(xiàn)了矩陣和的左半張量積運(yùn)算。

性質(zhì)2 2個(gè)矩陣的左半張量積的維數(shù)可以很容易地根據(jù)消去前一個(gè)矩陣的列數(shù)和后一個(gè)矩陣的行數(shù)的公因子來(lái)計(jì)算得到，如

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WANG Jinming, YE Shiping, YU Lizhe, XU Sen, JIANG Yanjun

Collage of Information Science & Technology, Zhejiang Shuren University, Hangzhou 310015, China

compressed sensing, measurement matrix, semi-tensor product, storage space, reconstruction time

TN911.73

A

10.11959/j.issn.1000?436x.2018111

2017?07?21；

2018?06?01

尉理哲，great_baby@outlook.com

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.LY14E070001）；浙江省公益技術(shù)應(yīng)用研究計(jì)劃基金資助項(xiàng)目（No.LGJ18F020001, No.LGG18F010007）

The Natural Science Foundation of Zhejiang Province (No.LY14E070001), The Science and Technology Project of Zhejiang Province (No.LGJ18F020001, No.LGG18F010007)

王金銘（1978?），男，浙江富陽(yáng)人，浙江樹(shù)人大學(xué)副教授，主要研究方向?yàn)榉蔷€性信息處理、圖像處理、壓縮感知等。

葉時(shí)平（1967?），男，浙江麗水人，浙江樹(shù)人大學(xué)教授，主要研究方向?yàn)閳D像處理、智能系統(tǒng)、地理信息系統(tǒng)等。

尉理哲（1983?），女，內(nèi)蒙古呼倫貝爾人，浙江樹(shù)人大學(xué)講師，主要研究方向?yàn)檐嚶?lián)網(wǎng)、WSN、深度學(xué)習(xí)等。

許森（1982?），男，湖北荊門人，浙江樹(shù)人大學(xué)講師，主要研究方向?yàn)槿斯ぶ悄?、智能控制、物?lián)網(wǎng)等。

蔣燕君（1973?），男，浙江諸暨人，博士，浙江樹(shù)人大學(xué)教授，主要研究方向?yàn)橹悄茈娋W(wǎng)、圖像處理等。