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(廣東工業(yè)大學(xué)，廣東廣州 510006)

0 引言

隨著永磁材料性能的不斷提高，永磁電機(jī)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。永磁體與電樞鐵心相互作用產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩是永磁電機(jī)固有問(wèn)題，始終無(wú)法避免。齒槽轉(zhuǎn)矩會(huì)引起轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，進(jìn)而導(dǎo)致電機(jī)振動(dòng)和噪聲，影響控制系統(tǒng)的精度[1]。

一定程度的永磁體削角既能降低齒槽轉(zhuǎn)矩與諧波畸變率，又能夠節(jié)省永磁體材料，降低成本。文獻(xiàn)[2]利用Maxwell 2D對(duì)一款無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)在永磁體不同削角的情況進(jìn)行對(duì)比與分析，找出最佳削角。文獻(xiàn)[3]針對(duì)表貼式永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩削弱問(wèn)題，提出了削角長(zhǎng)度比例系數(shù)的最佳確定方法。文獻(xiàn)[4]對(duì)不同程度削角磁極對(duì)應(yīng)的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行計(jì)算，找到最佳削角位置。文獻(xiàn)[5]推導(dǎo)無(wú)槽口電機(jī)的削角永磁體齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式，并分析了削角對(duì)氣隙磁場(chǎng)畸變率的影響。

由于解析法的局限性，文獻(xiàn)[4]很難準(zhǔn)確計(jì)算永磁體削角后的齒槽轉(zhuǎn)矩大小。文獻(xiàn)[2]選取24組永磁體削角尺寸進(jìn)行分析，最終找到的削角位置只是局部?jī)?yōu)點(diǎn)。本文對(duì)比分析25組永磁體削角的情況，并在此基礎(chǔ)上利用支持向量機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，獲得齒槽轉(zhuǎn)矩目標(biāo)函數(shù)，然后通過(guò)縱橫交叉算法求解確定永磁體的最佳削角方式。Maxwell 2D仿真分析結(jié)果顯示，本方法是合理有效的，為PMSM磁極削角降低齒槽轉(zhuǎn)矩提供了一種新思路。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩解析分析

齒槽轉(zhuǎn)矩是由電樞齒和永磁體之間相互作用力的切向分量引起的轉(zhuǎn)矩，可表示為不通電情況下，電機(jī)磁場(chǎng)能量W對(duì)定轉(zhuǎn)子相對(duì)位置角α的負(fù)導(dǎo)數(shù)。

(1)

根據(jù)電樞鐵心導(dǎo)磁率為無(wú)窮大的假設(shè)，可以得出電機(jī)內(nèi)存儲(chǔ)磁場(chǎng)能量的近似表達(dá)式

(2)

式中，Wairgap—?dú)庀洞艌?chǎng)能量；WPM—永磁體存儲(chǔ)的磁場(chǎng)能量；μ0—真空磁導(dǎo)率。

電機(jī)的氣隙磁密沿電樞表面有規(guī)律分布，可表示為

(3)

利用式(3)整理式(2)可得

(4)

式中，δ(θ，α)、hm(θ)—為有效氣隙長(zhǎng)度、沿圓周方向分布的永磁體充磁方向長(zhǎng)度和永磁體剩磁。

根據(jù)Br(θ)沿圓周的分布情況，對(duì)Br2(θ)進(jìn)行傅里葉分解可得

(5)

(6)

綜合以上各式，并利用三角函數(shù)滿(mǎn)足的積分關(guān)系式，得到不考慮斜槽時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為

(7)

2 永磁體削角設(shè)計(jì)

2.1 表貼式永磁電機(jī)主要技術(shù)參數(shù)

本文研究對(duì)象的主要技術(shù)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 主要技術(shù)參數(shù)

2.2 永磁體不同削角分析

本文以永磁體厚度為6mm，寬度為12mm，結(jié)構(gòu)為面包狀，徑向充磁的12槽10極表貼式永磁同步電機(jī)為例進(jìn)行分析。提出永磁體削角方式見(jiàn)圖1，具有兩個(gè)自由度，通過(guò)改變永磁體邊緣a、b的值，即可得到不同程度的削角永磁體。

圖1 永磁體的削角方式

永磁體削角后的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 永磁體削角電機(jī)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)上述削角方式，按照不同的a、b值對(duì)永磁體進(jìn)行邊緣削角，這里初步選取25組尺寸配合，在Ansys Maxwell 2D中進(jìn)行仿真分析得到對(duì)應(yīng)齒槽轉(zhuǎn)矩的值見(jiàn)表2。這里的仿真時(shí)間設(shè)置為6s，即1個(gè)周波。

3 削角尺寸優(yōu)化

齒槽轉(zhuǎn)矩與電機(jī)參數(shù)之間是高度非線性的，難以建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系式。這里選取永磁體邊緣尺寸a、b為設(shè)計(jì)變量，以齒槽轉(zhuǎn)矩為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。本文先采用支持向量機(jī)回歸算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)建模，然后通過(guò)縱橫交叉算法對(duì)其進(jìn)行尋優(yōu)。

3.1 支持向量機(jī)回歸

支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)是統(tǒng)計(jì)理論的核心，主要用于解決二值分類(lèi)問(wèn)題。SVM在機(jī)器學(xué)習(xí)方面性能優(yōu)良，其應(yīng)用已拓展至一類(lèi)分類(lèi)問(wèn)題、多類(lèi)分類(lèi)問(wèn)題及回歸問(wèn)題。 通過(guò)引入核函數(shù)，SVM能降低高維問(wèn)題的維度，并能更好的求解非線性問(wèn)題。作為統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中5種常用核函數(shù)之一，高斯徑向基核函數(shù)目前是SVM的常用選擇。

給定n組樣本數(shù)據(jù){xk,yk},k=1,2,Λ,n，通過(guò)非線性映射將數(shù)據(jù)x映射到高維特征空間G，并在G內(nèi)執(zhí)行線性逼近操作。對(duì)于上述訓(xùn)練集{xk,yk}，基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則并使用核函數(shù)來(lái)求解凸二次規(guī)劃，進(jìn)而獲得支持向量機(jī)模型[6]。

(8)

式中，l—支持向量的數(shù)量；αi—拉格朗日常數(shù)；k(xi,x)—核函數(shù)；b—閾值。

取25組尺寸配合中的20組對(duì)SVM算法進(jìn)行訓(xùn)練，再利用剩下的5組對(duì)SVM的擬合效果進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的對(duì)比情況見(jiàn)圖3。

圖3 實(shí)際值與預(yù)測(cè)值對(duì)比圖

由上圖可以看出，SVM回歸模型對(duì)目標(biāo)函數(shù)的擬合效果較好，可用作CSO算法的適應(yīng)度函數(shù)。

3.2 CSO算法尋優(yōu)

縱橫交叉算法(crisscross optimization algorithm，CSO)是一種基于種群的隨機(jī)搜索算法[7]，縱橫交叉在每次種群進(jìn)化迭代中分別在橫向和縱向產(chǎn)生中庸解，兩種算子交替進(jìn)行，同時(shí)在每次交叉運(yùn)算后引入競(jìng)爭(zhēng)操作，保留最優(yōu)的個(gè)體粒子進(jìn)入下次迭代。CSO的搜索行為由橫向交叉算子、縱向交叉算子和競(jìng)爭(zhēng)算子一起構(gòu)成。

兩個(gè)不同個(gè)體粒子在所有維之間進(jìn)行的一種算數(shù)交叉稱(chēng)為橫向交叉，假設(shè)父代個(gè)體粒子X(jué)(i)和X(j)的第d維進(jìn)行橫向交叉，則產(chǎn)生的子代使用以下公式

式中，d∈(1,D),r1,r2—(0，1)之間的隨機(jī)數(shù)；c1，c2—(-1，1)之間的隨機(jī)數(shù)；X(i,d)，X(j,d)—父代種群中個(gè)體粒子X(jué)(i)和X(j)的第d維；MShc(i,d)，MShc(j,d)—通過(guò)橫向交叉產(chǎn)生的第d維子代。

所有個(gè)體粒子在兩個(gè)不同維之間進(jìn)行的一種算數(shù)交叉稱(chēng)為縱向交叉；假設(shè)種群的第d1維和第d2維參與縱向交叉操作，則由以下公式可得到個(gè)體粒子X(jué)(i)的第d1維和第d2維通過(guò)縱向交叉產(chǎn)生的第d1維后代，表示為MSvc(i,d1)

MSvc(i,d1)=r×X(i,d1)+(1-r)X(i,d2)

(10)

式中，d1,d2∈N(1,D),i∈N(1,M),r∈U(0,1)

文中CSO算法以削角尺寸a、b為優(yōu)化變量，SVM回歸模型為目標(biāo)函數(shù)，其具體參數(shù)設(shè)定為：種群數(shù)量30，最大進(jìn)化代數(shù)100，縱向交叉率0.8。優(yōu)化結(jié)果如圖4所示，最佳削角尺寸為a=3.8477，b=4.3537，對(duì)應(yīng)的Torque=115.29m N·M。

圖4 CSO算法尋優(yōu)結(jié)果

3.3 仿真驗(yàn)證

將SVM-CSO算法優(yōu)化過(guò)的削角尺寸a=3.8477，b=4.3537代入Maxwell 2D仿真，結(jié)果見(jiàn)圖5，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的齒槽轉(zhuǎn)矩為115.62mN.M，與算法求解值115.29接近。同時(shí)與表2的結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本方法的準(zhǔn)確性。

圖5 優(yōu)化后PMSM齒槽轉(zhuǎn)矩

4 結(jié)語(yǔ)

本文以12槽10極表貼式永磁同步電機(jī)為例，使用Ansys軟件對(duì)永磁體不同位置削角時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行仿真分析。以25組數(shù)據(jù)為樣本空間，通過(guò)支持向量機(jī)算法建立目標(biāo)函數(shù)，并使用縱橫交叉算法求解獲得最優(yōu)的削角尺寸，最后應(yīng)用有限元仿真軟件驗(yàn)證。研究結(jié)果表明SVM-CSO算法模型的有效性及準(zhǔn)確性，為電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化提供了新思路。