王霞 劉新樂 唐予軍

摘 要： 探討平面五桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)在負(fù)載跳變時(shí)的跟蹤控制問題。用切換模型中的切換信號(hào)表示由負(fù)載切換帶來的參數(shù)跳變，建立平面五桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)的切換模型。采用多李雅普諾夫函數(shù)及平均駐留時(shí)間方法為系統(tǒng)設(shè)計(jì)切換滑模跟蹤控制器，在負(fù)載跳變下實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤。利用該方法對(duì)平面五桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，平面五桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)在負(fù)載跳變下，能夠保證漸近跟蹤性能。

關(guān)鍵詞： 跳變負(fù)載； 平面五桿機(jī)構(gòu)； 切換控制； 平均駐留時(shí)間； 滑模控制； 漸近跟蹤

中圖分類號(hào)： TN876?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2018）14?0029?05

Switching control of planar five?bar mechanism during load transition

WANG Xia， LIU Xinle， TANG Yujun

（School of Electronic Information Engineering， Hebei University， Baoding 071002， China）

Abstract： The tracking control problem of the planar five?bar parallel mechanism during load transition is discussed. The switching model of the planar five?bar parallel mechanism is established by using the switching signals of the switching model to represent the parameter transition caused by load switching. The switched sliding mode tracking controller for the system is designed by using the multi?Lyapunov function and the average dwell time method， and then the asymptotic tracking is realized during load transition. An experiment was carried out for the planar five?bar parallel mechanism by using this method. The results show that the planar five?bar parallel mechanism can ensure the asymptotic tracking performance during load transition.

Keywords： transition load； planar five?bar mechanism； switching control； average dwell time； sliding mode control； asymptotic tracking

0 引 言

近年來并聯(lián)機(jī)器人已經(jīng)成為機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。與串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)器人具有一些獨(dú)特的性能，如剛度高、承載能力高、速度高、驅(qū)動(dòng)電機(jī)在機(jī)架上使活動(dòng)構(gòu)件的質(zhì)量輕，因此引起了國際學(xué)者的廣泛關(guān)注[1]。并聯(lián)機(jī)器人的控制是一個(gè)很重要的問題，尤其是軌跡跟蹤控制問題。在過去的幾十年里各種控制方法以及應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)器人上，其控制方法一般有前饋補(bǔ)償法[2]、自適應(yīng)控制[3]、魯棒控制[4]、PID控制[5]等控制方法。然而在實(shí)際應(yīng)用中，往往要求機(jī)器人反復(fù)拿起、放下不同的負(fù)載，例如，物流配件機(jī)器人需要反復(fù)搬運(yùn)和打包不同大小和質(zhì)量的貨物，汽車安裝機(jī)器人需要不斷地拿起和放下固定質(zhì)量的汽車配件；機(jī)器人各個(gè)連桿質(zhì)心的大小和位置會(huì)因?yàn)樨?fù)載的切換而產(chǎn)生突變，且未知參數(shù)是不斷跳變的常量。此時(shí)，若采用非切換系統(tǒng)模型以及上述傳統(tǒng)的控制方法，那么在每次負(fù)載切換之后，控制器的參數(shù)都要重新調(diào)整一次，從而導(dǎo)致切換瞬間控制誤差極大。因此，當(dāng)負(fù)載反復(fù)切換，也就是未知參數(shù)不斷跳變時(shí)，系統(tǒng)誤差不會(huì)隨著時(shí)間的推移而逐漸消失，傳統(tǒng)的控制器不能保證漸近的控制性能。因此，有必要建立合適的模型來精確表示負(fù)載跳變的影響，也就是將具有跳變參數(shù)的并聯(lián)機(jī)器人作為切換系統(tǒng)來考慮，為每一個(gè)不同的負(fù)載定義一個(gè)子系統(tǒng)，并對(duì)其設(shè)計(jì)控制器。

對(duì)于一個(gè)含有參數(shù)跳變的系統(tǒng)，可以把它看作是一個(gè)切換系統(tǒng)，其子系統(tǒng)之間僅有一些特定的參數(shù)是不同的，系統(tǒng)的參數(shù)跳變可以通過切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)間的切換來描述[6]。在平面五桿機(jī)構(gòu)參數(shù)值變化情況已知的情況下，可以為每一個(gè)負(fù)載設(shè)計(jì)一個(gè)子控制器，讓子控制器和負(fù)載同步切換， 實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，有研究者使用切換模型來描述平面五桿并聯(lián)機(jī)器人的負(fù)載變化，但是關(guān)于平面五桿并聯(lián)機(jī)器人在負(fù)載跳變下的切換控制并未有人做過。在設(shè)計(jì)切換系統(tǒng)的控制器時(shí)，需要用到穩(wěn)定性分析工具，如多李雅普諾夫函數(shù)方法、平均駐留時(shí)間方法等[7]。

本文針對(duì)跳變負(fù)載軌跡跟蹤問題，首先采用切換系統(tǒng)來描述參數(shù)跳變平面五桿機(jī)構(gòu)，在設(shè)計(jì)過程中，采用含有系統(tǒng)跳變參數(shù)的李雅普諾夫函數(shù)，在多李雅普諾夫函數(shù)的框架下給出漸近跟蹤的駐留時(shí)間條件，基于平均駐留時(shí)間方法設(shè)計(jì)切換滑模控制器。使系統(tǒng)狀態(tài)漸近跟蹤一個(gè)給定的參考信號(hào)，從而使得機(jī)器人的末端位置能夠跟蹤給定的理想軌跡。在Quanser公司生產(chǎn)的五連桿實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的切換控制器能夠在切變負(fù)載下有效克服負(fù)載的影響，確保并聯(lián)機(jī)器的跟蹤精度。

1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)所用的設(shè)備是Quanser公司生產(chǎn)的SRV02旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)控制伺服系統(tǒng)，如圖1所示，它包括精密直流電機(jī)、光學(xué)編碼器、放大器和數(shù)據(jù)采集器等，控制程序在PC機(jī)中的Quar軟件上進(jìn)行設(shè)計(jì)，它可以在Simulink中完成控制器設(shè)計(jì)，生成代碼并實(shí)時(shí)運(yùn)行。數(shù)據(jù)采集器（DAQ devices）提供了一個(gè)方便快速原型開發(fā)和硬件在環(huán)（HIL）開發(fā)的環(huán)境。旋轉(zhuǎn)伺服機(jī)構(gòu)系統(tǒng)配備有高分辨率編碼器和可以用來測(cè)量輸出和負(fù)載軸位置的電位計(jì)。放大器選用帶有兩個(gè)輸出通道的VoltPAQ?X2線性電壓控制功率放大器，用來與數(shù)據(jù)采集板和控制設(shè)計(jì)軟件相配對(duì)，用來搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)完成兩自由度實(shí)驗(yàn)。

控制系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)如圖2所示，PC機(jī)通過主機(jī)通信接口向運(yùn)動(dòng)控制器發(fā)出運(yùn)動(dòng)控制指令，并通過接口獲取運(yùn)動(dòng)控制器的當(dāng)前狀態(tài)和相關(guān)參數(shù)。運(yùn)動(dòng)控制器接收來自上位機(jī)發(fā)出的指令，并輸出至驅(qū)動(dòng)器的I/O接口，為電機(jī)提供動(dòng)力?？刂扑欧姍C(jī)運(yùn)動(dòng)按指定的角度運(yùn)動(dòng)，編碼器將反饋信號(hào)傳輸?shù)津?qū)動(dòng)器，完成實(shí)時(shí)軌跡規(guī)劃。

在平面五桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制系統(tǒng)中，運(yùn)動(dòng)控制器與伺服驅(qū)動(dòng)器采用模擬量控制方式，伺服控制系統(tǒng)端口圖如圖3所示。將PC機(jī)中的PCI卡通過排線連接到接口板上，接口板上的模擬輸出通道連接放大器上的放大器指令端口，放大器上的電流反饋端連接到接口板的模擬輸入通道；放大器上的負(fù)載端口分別連接到兩個(gè)SRV02上的電機(jī)對(duì)應(yīng)的端口，將SRV02面板上的編碼器端口連接到接口板上的編碼器輸入端口。

2 五連桿動(dòng)力學(xué)與控制目標(biāo)

如圖4所示，平面五桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型為[6]：

[Hqq+Cqq=τ] （1）

式中：[q=θ1θ4Τ]為關(guān)節(jié)角度矢量；[τ=M1M2Τ]為驅(qū)動(dòng)扭矩；[Cq∈Rn×n]代表離心力和科里奧利力；[Hq∈Rn×n]是慣性矩陣。

四個(gè)連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 [J1=m1l2s13]，[J2=m2l2s23]，[J3=m3l2s33]，[J4=m4l2s43]?？梢缘玫疥P(guān)節(jié)1，4的等效慣量[J11]，[J44]和關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)4之間的耦合慣量[J14]。

[J11=J1+m1l2s1+m2l21+2l1ls2?θ2?θ1cosθ2-θ1+ m2l2s2+J2?θ2?θ12+m3l2s3+J3?θ3?θ12]

[J14=m2l2s2+J2?θ2?θ1·?θ2?θ4+m3l2s3+J3?θ3?θ1·?θ3?θ4+ m2l1ls2?θ2?θ4cosθ2-θ1+m3l4ls3?θ3?θ1cosθ3-θ4][J44=J4+m4l2s4+m3l24+2l4ls3?θ3?θ4cosθ3-θ4+ m4l2s4+J4?θ3?θ42+m2l2s2+J2?θ2?θ42]

性質(zhì)1 [λminHx2≤xTHqx≤λmaxHx2，][?x∈Rn，]其中[λmin·，λmax·]分別代表取矩陣的最小和最大特征值。

性質(zhì)2 [H（q）-2C（q，q）]是一個(gè)反對(duì)稱矩陣。

當(dāng)平面五桿機(jī)構(gòu)搭載不同的負(fù)載時(shí)，矩陣[H（q）]，[Cq]的物理參數(shù)在幾個(gè)恒定值之間進(jìn)行切換，把每個(gè)值看成一個(gè)子系統(tǒng)，則原系統(tǒng)（1）可以變?yōu)榍袚Q系統(tǒng)：

[Hσlqq+Cσlqq=τ] （2）

式中：[Hσl]，[Cσl]是不同的子系統(tǒng)的參數(shù)；[σl（t）：[0，∞）?Λ={1，2，…，N}]是一個(gè)代表負(fù)載變化的分段常數(shù)切換信號(hào)，[N]是負(fù)載的個(gè)數(shù)。

控制目標(biāo)是為負(fù)載跳變的平面五連桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)（2）設(shè)計(jì)切換滑?？刂破?，給出基于平均駐留時(shí)間的子控制器切換規(guī)則，使得關(guān)節(jié)軌跡[q]在負(fù)載切換的情況下能夠漸近跟蹤期望軌跡[qd]。

定義[9] 對(duì)任何[T2>T1≥0，]用[NσT1，T2]表示在[T1，T2]期間內(nèi)[σt]的切換次數(shù)，如果[Ta>0，N0≥0]時(shí)，

[NσT1，T2≤N0+T2-T1Ta] （3）

那么[Ta]就叫作平均駐留時(shí)間，[N0]稱為抖振界。

3 切換滑模控制器設(shè)計(jì)

為平面連桿機(jī)構(gòu)（2）設(shè)計(jì)滑模跟蹤控制器。定義滑模平面[10]：

[q+Λq=0] （4）

式中， [Λ]是一個(gè)常數(shù)矩陣。

構(gòu)造輔助變量：

[qr=qd-Λ0tqdt] （5）

能夠得到：

[qr=qd-Λq] （6）

[qr=qd-Λq] （7）

定義滑模變量：

[s=q+Λq] （8）

第[i]個(gè)子系統(tǒng)的滑?？刂坡蔀椋?/p>

[τi=Hi（q）qr+Ci（q，q）qr-KDs] （9）

式中，[KD]是一個(gè)正定矩陣。

定理1 考慮系統(tǒng)（2），如果采用控制律式（9），在切換信號(hào)[σl（t）]滿足駐留條件：

[Ta≥T*a=ln u2λ， λ∈0，λ0] （10）

時(shí)，則系統(tǒng)式（2）中跟蹤誤差[qt]漸近收斂于零。

證明：當(dāng)?shù)赱i]個(gè)子系統(tǒng)激活時(shí)，取正定對(duì)稱函數(shù)[Vi=12sTHs]，由性質(zhì)1可得：

[ais2≤Vix≤bis2] （11）

由式（11）可得：

[Vis≤μVjs] （12）

其中對(duì)任意的[i≠j，μ=maxi，j=1，2，…，Maibj]。當(dāng)?shù)赱i]個(gè)系統(tǒng)被激活時(shí)，[Vi]沿相應(yīng)的子系統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)為：

[Vi=sTHjqr+Cjqr-KDs-Cis+qr-Hiqr+12sTHis] （13）

將滑模切換控制律式（9）代入式（13）得：

[Vi≤-λminKDs2] （14）

由性質(zhì)1可得：

[s2≤ViλminH] （15）

將式（15）代入式（14）中可得：

[Vi≤λminKDλminHVi] （16）

則：

[Vi≤-2λ0Vis] （17）

式中，[λ0=12·λminKDλminH]。

對(duì)任意[t>0，t0

[Vt≤e-2λ0t-tkVtk ≤μe-2λ0t-tke-2λ0tk-tk-1Vtk-1 ≤… ≤μN(yùn)σt，0e-2λ0tV0 =e-2λ0t+Nσt，0ln uV0] （18）

由式（3）和式（10）可得：

[Nσt，0ln u≤2λt] （19）

接著由式（18）和式（19）可得：

[Vt≤e-2λ0-λV0] （20）

再由式（11）可得：

[st≤biaie-2λ-λ0ts0] （21）

顯然，滑動(dòng)面[s]以指數(shù)速度向0收斂，即誤差[q→0，]即可證得[q]漸近跟蹤[qd]。

4 實(shí)驗(yàn)方法及結(jié)果

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)的保護(hù)，實(shí)驗(yàn)中加入了電流保護(hù)模塊，如圖5所示，電流保護(hù)模塊的作用是避免電流超過電流限定值。電流低于限定值，直接輸出控制命令，一旦采樣電流超過了限定值，電機(jī)就切斷電源，停止一切運(yùn)動(dòng)。直到系統(tǒng)重新啟動(dòng)，電機(jī)才能再次投入應(yīng)用，此單向邏輯切換功能利用如圖6所示的鎖存子模塊實(shí)現(xiàn)，Memory初始值設(shè)為1。

為了驗(yàn)證該切換滑?？刂破鞯挠行院涂尚行?，筆者進(jìn)行了平面五桿機(jī)構(gòu)在負(fù)載參數(shù)跳變情況下的實(shí)驗(yàn)。讓[N=2]。桿長[l1=l2=l3=l4=0.127 m，]各個(gè)桿的質(zhì)心位置分別為[ls1=ls2=ls3=ls4=0.063 5 m，]空載狀態(tài)下各個(gè)桿的質(zhì)量[m1=m2=m3=m4=0.065 kg，]負(fù)載放在第三根桿上，負(fù)載狀態(tài)下[m3=0.16 kg]。

對(duì)于切換系統(tǒng)式（2），使用控制器式（9）進(jìn)行控制。關(guān)節(jié)的位置指令為[qd1=qd2=sin πt]。選擇關(guān)節(jié)的初始位置[q10=1.57 rad，q20=0 rad]。

取[KD=0.002×I2]，[Λ=diag1，1]。選擇[ai=2.3×10-3][aj=1.7×10-3][bi=3.3×10-3，][bj=1.7×10-3]，則[μ=1.941 2]，所以[T*a=1.44]，選擇駐留時(shí)間[Ta=2]滿足了定理1的條件。

平面五桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡切換控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示，圖像中箭頭時(shí)刻的U與L分別代表空載狀態(tài)和負(fù)載狀態(tài)。

圖8和圖9所示為非切換滑?？刂破飨碌钠矫嫖鍡U機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡情況，其區(qū)別是[m3=0.065]時(shí)表示為空載控制器，此時(shí)當(dāng)桿3狀態(tài)為空載時(shí)，控制器跟蹤效果較好。

在此控制器下突然將負(fù)載放到桿3上，從圖8中很明顯可以看到控制器跟蹤誤差變大，撤掉負(fù)載后跟蹤效果又變好。同理，[m3=0.16]時(shí)表示為負(fù)載控制器，此時(shí)當(dāng)桿3狀態(tài)為負(fù)載時(shí)，控制器跟蹤效果較好，在此控制器下突然將桿3的負(fù)載撤掉，從圖9中很明顯可以看到控制器跟蹤誤差變大，再放上負(fù)載后跟蹤效果又變好。

從圖8與圖9中可以看出當(dāng)控制器狀態(tài)與負(fù)載狀態(tài)不匹配時(shí)，跟蹤誤差相對(duì)的增加，因此表明單一的控制器，在負(fù)載跳變的情況下能保證系統(tǒng)的跟蹤誤差精度。

5 結(jié) 論

本文為負(fù)載跳變的平面五桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)建立了切換模型，并設(shè)計(jì)了切換滑?？刂破?。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，加入切換控制后的系統(tǒng)，關(guān)節(jié)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡漸近跟蹤上指令軌跡，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)切換控制器能夠在跳變負(fù)載下有效克服負(fù)載的影響，確保并聯(lián)機(jī)器的跟蹤精度。

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