張 政 馬金全 王學(xué)成

(中國(guó)人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院，河南鄭州 450002)

1 引言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)[1]技術(shù)由于頻譜利用率高、抗多徑能力強(qiáng)、實(shí)現(xiàn)方便等優(yōu)點(diǎn)，已成為水聲通信、移動(dòng)通信、短波通信等領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)之一。在非合作通信條件下，對(duì)接收OFDM信號(hào)的子載波數(shù)進(jìn)行估計(jì)，是準(zhǔn)確恢復(fù)信息的重要前提，因此，有效估計(jì)實(shí)際使用子載波數(shù)一直是研究人員關(guān)注的問(wèn)題，目前已取得了一些重要成果：Liedtke. F[2]利用倒譜法估計(jì)，但僅適用于信號(hào)質(zhì)量較高的情況；付哥佳[3]引入小波函數(shù)對(duì)倒譜法進(jìn)行改進(jìn)，提高了一定的輸出峰值與估計(jì)精度；鄭文秀[4]則引入了高階循環(huán)累積量的方法，但不適用于子載波數(shù)較多和子載波間隔較小的情況；李國(guó)漢[5]基于KS距離進(jìn)行估計(jì)，低信噪比下誤差較大?？傮w看來(lái)，在信號(hào)變?nèi)醯那闆r下，上述方法均會(huì)出現(xiàn)不同程度的性能下降，如何在低信噪比條件下實(shí)現(xiàn)微弱OFDM信號(hào)子載波數(shù)的有效估計(jì)，已成為本領(lǐng)域亟待探索的研究課題。

近年來(lái)，隨著非線性動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理理論的發(fā)展，隨機(jī)共振(Stochastic Resonance，SR)理論及相關(guān)技術(shù)引起通信領(lǐng)域的日益關(guān)注。隨機(jī)共振能夠?qū)⒃肼暤牟糠帜芰哭D(zhuǎn)化為有用信號(hào)的能量，使得系統(tǒng)輸出的局部信噪比有了較高的提升[6]，在微弱信號(hào)檢測(cè)等領(lǐng)域取得了不少豐碩成果，為精準(zhǔn)、高效提取強(qiáng)噪聲背景中的目標(biāo)信號(hào)提供了新的思路。本文以高斯白噪聲信道為例，研究了低信噪比下微弱OFDM信號(hào)的子載波數(shù)檢測(cè)問(wèn)題，提出了一種基于隨機(jī)共振的改進(jìn)方法。該方法在倒譜法及其小波改進(jìn)法的基礎(chǔ)上，利用隨機(jī)共振方法對(duì)微弱OFDM信號(hào)進(jìn)行帶內(nèi)能量的增強(qiáng)和帶外噪聲的抑制，從而進(jìn)一步增強(qiáng)頻譜的等波紋周期性，不僅增大了檢測(cè)的峰值和精度，而且降低了檢測(cè)的信噪比門(mén)限，較大程度地提升了對(duì)OFDM信號(hào)子載波數(shù)估計(jì)的算法性能，在低信噪比的情況下凸顯了一定的優(yōu)勢(shì)。

2 基本理論

2.1 OFDM子載波數(shù)估計(jì)方法

OFDM采用重疊子載波調(diào)制技術(shù)[7]，在頻域把信道分成多路正交子信道，其基本思想是把高速數(shù)據(jù)流由串行變?yōu)镹路低速的子數(shù)據(jù)流，用它們調(diào)制N個(gè)子載波，并分別在N路子信道上進(jìn)行并行傳輸。其具體實(shí)現(xiàn)可以利用離散傅里葉變換進(jìn)行[8]，后來(lái)誕生了離散傅里葉變換的快速算法，便采用IFFT/FFT進(jìn)行調(diào)制與解調(diào)。在信號(hào)的調(diào)制過(guò)程中，可以產(chǎn)生與IFFT點(diǎn)數(shù)N相同數(shù)目的正交并行子載波，而在實(shí)際應(yīng)用中，只是選擇部分子載波傳輸信號(hào)，其原理如圖1所示，第三方接收則需要對(duì)實(shí)際使用子載波的個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)[9]。

圖1 OFDM信號(hào)子載波分配示意Fig.1 OFDM signal subcarrier distribution

2.1.1 倒譜法

倒譜法是對(duì)頻譜的一種二次分析方法，它將卷積變?yōu)榍蠛?，從而達(dá)到分離特征的目的，可以用來(lái)分析語(yǔ)音信號(hào)中的基音周期等參數(shù)，由于OFDM信號(hào)具有等波紋的特殊頻譜形狀，因此可以利用倒譜法對(duì)其實(shí)際子載波數(shù)進(jìn)行估計(jì)?；舅悸啡缦拢?/p>

(1)

實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算倒譜則是利用FFT/IFFT實(shí)現(xiàn)的，F(xiàn)FT實(shí)際上是對(duì)Z變換在單位圓上的取樣，因此有如下公式：

C(q)=IFFT(log(|FFT(x(n))|))

(2)

其中，q被稱為倒頻率。利用式(3)和(4)即可計(jì)算子載波數(shù)M：

(3)

(4)

其中，η為信號(hào)采樣率與帶寬的比值。

倒譜法估計(jì)子載波數(shù)的過(guò)程如圖2：首先，利用Welch譜估計(jì)[10]方法對(duì)接收到的OFDM信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，這是對(duì)數(shù)據(jù)分段交疊并加窗作FFT的一種功率譜估計(jì)方法，相比對(duì)信號(hào)直接作FFT而言，可有效降低估計(jì)方差；然后取對(duì)數(shù)，進(jìn)行IFFT；最后對(duì)輸出的倒譜進(jìn)行譜峰檢測(cè)，從而估計(jì)出實(shí)際的子載波數(shù)。

圖2 倒譜法Fig.2 Method of cepstrum

2.1.2 小波改進(jìn)倒譜法

一般情況下，利用Welch法得到的功率譜中往往會(huì)存在很多有干擾諧波，求倒譜后，峰值的閾值并不是很高，因此可以使用小波函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，將與子載波帶寬不一致的分量濾除，盡可能減少干擾，突出IFFT之后的峰值。

利用Haar小波，其離散的表示為WTha(a,k)，將其與Welch功率譜取對(duì)數(shù)之后的結(jié)果進(jìn)行卷積，得到Z(k)，表示為下式：

Z(k)=log(X(k))*WTha(a,k)

(5)

小波改進(jìn)倒譜法的具體流程如圖3所示，Haar小波處理環(huán)節(jié)增加在IFFT之前，其余環(huán)節(jié)與倒譜法一致。

圖3 小波改進(jìn)倒譜法Fig.3 Improved method of cepstrum based on wavelet transform

小波改進(jìn)法雖然是對(duì)倒譜法的提升，但由于Haar系數(shù)必須要由預(yù)估的子載波帶寬來(lái)確定(具體參考文獻(xiàn)[3])，增加了一定的復(fù)雜度，而倒譜法算法簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，兩種方法各有優(yōu)勢(shì)，因此，本文對(duì)這兩種傳統(tǒng)方法都進(jìn)行了基于隨機(jī)共振的改進(jìn)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)視具體情況選擇合適的方法即可。

2.2 隨機(jī)共振理論2.2.1 朗之萬(wàn)方程

雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)是一類(lèi)典型的非線性系統(tǒng)，其可由Langevin方程[5]表示：

(6)

式中a和b為雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)，s(t)=Acos(2πf0t+φ)為被檢測(cè)信號(hào)，A為信號(hào)幅值，f0為信號(hào)頻率，Γ(t)為均值為0、噪聲強(qiáng)度為D高斯白噪聲，〈Γ(t)〉=0，〈Γ(t)Γ(0)〉=2Dδ(t)，其中〈·〉為時(shí)間平均。

隨機(jī)變量x的概率分布函數(shù)ρ(x,t)遵循Fokker-Planck方程[11]：

(7)

式中初始條件為ρ(x,t0|x0,t0)=δ(x-x0)。由式(7)分析知，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)受輸入Acos(2πft)影響，勢(shì)壘ΔU=a2/4b越高，系統(tǒng)在勢(shì)阱中暫留的時(shí)間越多。當(dāng)噪聲促使微弱輸入信號(hào)在兩個(gè)勢(shì)阱中不斷改變時(shí)，系統(tǒng)的切換速度與輸入同頻，因此存在系統(tǒng)與信號(hào)的周期量程匹配問(wèn)題。

2.2.2 絕熱近似理論

對(duì)于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，定義n±(t)為時(shí)刻t系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)±xm的概率。當(dāng)系統(tǒng)的平衡在輸入信號(hào)周期驅(qū)動(dòng)力的作用下被破壞，導(dǎo)致勢(shì)阱間躍遷行為的出現(xiàn)，定義W±(t)為時(shí)刻t系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)±xm躍遷的概率，可得關(guān)于n±(t)的方程：

n'/±(t)=-W±(t)n±(t)+W?(t)n?(t)

(8)

處于兩個(gè)勢(shì)阱的概率n±(t)滿足：

n±(t)+n?(t)=1

(9)

當(dāng)信號(hào)的頻率f很小時(shí)，可認(rèn)為系統(tǒng)在勢(shì)阱中到達(dá)平衡狀態(tài)所用的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于勢(shì)阱之間概率整體平衡所用的時(shí)間，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)隨著輸入信號(hào)的變化所用的時(shí)間，這就是絕熱近似。在絕熱近似條件下，F(xiàn)okker-Planck方程(7)在長(zhǎng)時(shí)間后將演進(jìn)為n+(t)和n-(t)之間的概率交換。

在絕熱近似條件下，即輸入信號(hào)頻率遠(yuǎn)小于rK，同時(shí)輸入信號(hào)幅值A(chǔ)和噪聲強(qiáng)度D?1，即f?rK，A?1,D?1。式中rk為Kramers躍遷率：

(10)

經(jīng)過(guò)相關(guān)理論(參考文獻(xiàn)[11]、[12])推導(dǎo)，可得系統(tǒng)輸出功率譜：

[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]

(11)

2.2.3 歸一化處理

為了突破絕熱近似理論對(duì)輸入必須滿足小參數(shù)的限制，引入以下變量對(duì)其進(jìn)行歸一化[14]處理：

(12)

帶入式(6)得：

(13)

(14)

歸一化處理對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行壓縮，對(duì)信號(hào)與噪聲的幅度進(jìn)行同比例縮放，即突破了小參數(shù)的制約，可處理大參數(shù)信號(hào)，使隨機(jī)共振能夠被廣泛應(yīng)用于更多的實(shí)際信號(hào)。

3 隨機(jī)共振在微弱OFDM信號(hào)子載波數(shù)估計(jì)中的算法實(shí)現(xiàn)

由于隨機(jī)共振能夠有效地將噪聲能量轉(zhuǎn)移到信號(hào)中，且對(duì)單頻周期信號(hào)的頻率譜線具有較好的增強(qiáng)作用，而在OFDM信號(hào)子載波數(shù)的倒譜估計(jì)方法中，正是利用了其等波紋頻譜的周期性，因此設(shè)想利用隨機(jī)共振來(lái)加強(qiáng)其頻譜中的周期成分，再利用倒譜法及小波改進(jìn)法進(jìn)行檢測(cè)，提高檢測(cè)性能。

改進(jìn)算法的處理流程如圖4所示，首先，設(shè)置高采樣率接收OFDM信號(hào)，高采樣率是為了避免隨機(jī)共振輸出發(fā)散，一般至少高于50倍的信號(hào)最高頻率[6]。其次，利用隨機(jī)共振對(duì)信號(hào)處理，由于隨機(jī)共振產(chǎn)生的條件較為苛刻，只有選取了合適的系統(tǒng)參數(shù)，才可以產(chǎn)生最佳隨機(jī)共振，本文利用孔德陽(yáng)提出的ASRASN算法[15-16]來(lái)確定系統(tǒng)參數(shù)，此算法是根據(jù)信號(hào)載波頻率的數(shù)量級(jí)確定出系統(tǒng)參數(shù)的大致范圍，并在此范圍內(nèi)根據(jù)人工魚(yú)群算法，結(jié)合歸一化原理選取最佳參數(shù)。最后，利用倒譜法及其小波改進(jìn)法計(jì)算參數(shù)。

在實(shí)際處理中，利用四階Runge-Kutta方程[12]將連續(xù)的差分方程轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的數(shù)值求解，迭代步長(zhǎng)h取采樣率Fs的倒數(shù)，即h=1/Fs。

圖4 OFDM實(shí)際子載波數(shù)的估計(jì)流程Fig.4 Estimation process of the actual number of subcarriers in OFDM

(1)定義局部信噪比(Local SNR，LSNR)為

(15)

其中，S(q)為信號(hào)功率譜密度，SN(q)為噪聲在信號(hào)頻率附近的強(qiáng)度大小，需要注意的是，這里的頻率實(shí)際指的是倒譜域上的倒頻率。LSNR衡量的是倒譜域上峰值的突顯程度和尖銳程度，其值越大，則代表譜峰越明顯，越易觀測(cè)。

(2)定義局部信噪比增益(Local SNR Improvement， LSNRI)為

LSNRI=LSNRsr/LSNRori

(16)

其中，LSNRsr與LSNRori分別指通過(guò)隨機(jī)共振方法改進(jìn)后和未改進(jìn)原始方法獲得的局部信噪比，LSNRI的大小代表了隨機(jī)共振方法相比于原始方法獲得的增益大小，以dB為單位，其值若大于0則證明隨機(jī)共振方法輸出的譜峰得到改善，其值越大，改善程度也越大。

(3)定義平均誤差(Average Error，AE)為

(17)

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 實(shí)驗(yàn)1：有效性驗(yàn)證

OFDM信號(hào)仿真參數(shù)如下：碼元個(gè)數(shù)為100，IFFT點(diǎn)數(shù)N為128，循環(huán)前綴NG長(zhǎng)度為1/4×N，并行子載波個(gè)數(shù)M為25，載波頻率間隔Δf為40 Hz，子載波調(diào)制方式采用QPSK，采樣率Fs為5.12 kHz，由于隨機(jī)共振要求信號(hào)有較高的采樣率，將采樣率擴(kuò)大100倍，即Fs為512 kHz，在高斯白噪聲信道條件下設(shè)定SNR為-15 dB。利用上節(jié)方法，使信號(hào)通過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)(經(jīng)過(guò)ASRASN確定出a=5100，b=114)，然后分別經(jīng)過(guò)倒譜法和小波改進(jìn)法，并與經(jīng)典方法對(duì)比，結(jié)果分別如圖5、圖6所示。為方便對(duì)比，所有輸出都進(jìn)行了最大幅值為1的歸一化處理。

圖5 基于隨機(jī)共振的倒譜法對(duì)比Fig.5 Comparison of the cepstrum method based on stochastic resonance

圖6 基于隨機(jī)共振的小波改進(jìn)倒譜法對(duì)比Fig.6 Comparison of the wavelet improved cepstrum method based on stochastic resonance

(1)與倒譜法對(duì)比。當(dāng)信道中白噪聲強(qiáng)度較高的情況下，直接利用倒譜法得到的輸出，譜峰用肉眼基本無(wú)法辨識(shí)，而使用隨機(jī)共振方法改進(jìn)后，峰值凸顯，易于測(cè)量(如圖5所示)。

(2)與小波改進(jìn)倒譜法對(duì)比。在同樣的條件下，小波改進(jìn)倒譜法相比于倒譜法而言，譜峰更加凸顯，但同時(shí)噪底提高，且譜峰不夠尖銳，而使用隨機(jī)共振方法對(duì)其改進(jìn)后，噪聲被大幅度抑制，譜峰尖銳且高聳，測(cè)量結(jié)果更加明晰(如圖6所示)。

(3)估計(jì)信號(hào)的實(shí)際子載波個(gè)數(shù)。以基于隨機(jī)共振的倒譜法為例，利用式(3)和式(4)，得：

其中，12780為倒譜中的峰值坐標(biāo)，即倒頻率，512000是采樣率，1005為估計(jì)的信號(hào)帶寬，經(jīng)過(guò)四舍五入取整即可正確估計(jì)出子載波的個(gè)數(shù)為25。

4.2 不同條件下算法性能對(duì)比與分析

本節(jié)將在不同的信號(hào)條件下檢驗(yàn)算法性能，所有實(shí)驗(yàn)均采用蒙特卡羅仿真方法，實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200次。

4.2.1 實(shí)驗(yàn)2：不同信噪比下算法性能

仿真參數(shù)如下：根據(jù)美軍標(biāo)(MIL-STD-188-110B)產(chǎn)生39音OFDM信號(hào)，碼元個(gè)數(shù)設(shè)置為100，IFFT點(diǎn)數(shù)N為128，循環(huán)前綴NG長(zhǎng)度為1/4×N，并行子載波個(gè)數(shù)M為39，子載波調(diào)制方式采用QPSK，載波頻率間隔Δf為56.25 Hz，采樣率Fs由7.2 kHz提高至720 kHz。信道為高斯白噪聲信道，SNR由-30 dB增加到10 dB。經(jīng)過(guò)ASRASN確定出a=5025，b=103。

圖7 LSNR隨SNR的變化Fig.7 The change diagram of LSNR with SNR

圖8 LSNRI隨SNR變化Fig.8 The change diagram of LSNRI with SNR

圖9 AE隨SNR的變化Fig.9 The change diagram of AE with SNR

由圖7所示，隨著輸入信噪比的不斷增大，四種方法輸出的局部信噪比均呈現(xiàn)不斷上升的趨勢(shì)。倒譜法及其小波改進(jìn)法在分別進(jìn)行隨機(jī)共振改進(jìn)之后，均獲得了較高的增益提升。

圖8描述了隨機(jī)共振方法改進(jìn)后的局部信噪比增益的變化規(guī)律，與圖7相比，更加清晰地體現(xiàn)了采用隨機(jī)共振方法帶來(lái)的局部信噪比增益。隨著SNR的提高，兩種方法的LSNRI變化趨勢(shì)相同，先增大后減小，且均在-20 dB左右達(dá)到最高增益14 dB，此時(shí)應(yīng)為噪聲、信號(hào)、系統(tǒng)三者達(dá)到最佳匹配狀態(tài)，符合隨機(jī)共振理論。

圖9則呈現(xiàn)了四種方法的平均誤差變化規(guī)律，在低信噪比條件下，倒譜法估計(jì)精度最低，小波改進(jìn)法在一定程度上降低了誤差和信噪比門(mén)限，而基于隨機(jī)共振的兩種方法相比原始方法而言，在-25 dB處平均誤差幾乎為零，進(jìn)一步降低了信噪比門(mén)限, 較倒譜法降低約7 dB, 較小波改進(jìn)法降低約5 dB。而且在更惡劣的信道條件下，誤差也得到一定程度的降低。

4.2.2 實(shí)驗(yàn)3：不同調(diào)制方式下算法性能

將子載波調(diào)制方式改為16QAM，隨機(jī)共振參數(shù)不變，按照實(shí)驗(yàn)2的方法對(duì)比LSNR、LSNRI及AE隨SNR的變化情況。

圖10、11、12分別畫(huà)出了子載波調(diào)制方式為16QAM與QPSK時(shí)的局部信噪比、局部信噪比增益以及平均誤差，虛線代表16QAM，實(shí)線代表QPSK，可以看出，兩種調(diào)制方式下的曲線僅有微小差異，基本保持一致，可見(jiàn)改進(jìn)算法并不受子載波調(diào)制方式的影響，具有很好的魯棒性。

圖10 LSNR隨SNR的變化Fig.10 The change diagram of LSNR with SNR

圖11 LSNRI隨SNR的變化Fig.11 The change diagram of LSNRI with SNR

圖12 AE隨SNR的變化Fig.12 The change diagram of AE with SNR

4.2.3 實(shí)驗(yàn)4：不同子載波數(shù)目下算法性能

子載波數(shù)設(shè)置為20到50，以2為間隔遞增。SNR為-23 dB，其余參數(shù)同實(shí)驗(yàn)2。

如圖13，隨著子載波數(shù)的增加，輸出的局部信噪比增益波動(dòng)不大，圖14則說(shuō)明了由隨機(jī)共振帶來(lái)的增益也不會(huì)隨著子載波數(shù)的變化而出現(xiàn)較大改變。由圖15可知，倒譜法及其小波改進(jìn)法的平均誤差隨著子載波數(shù)的增加而上升，而隨機(jī)共振改進(jìn)算法的平均誤差一直為零。

圖13 LSNR隨子載波數(shù)的變化Fig.13 The change diagram of LSNR with number of subcarriers

圖14 LSNRI隨子載波數(shù)的變化Fig.14 The change diagram of LSNRI with number of subcarriers

圖15 AE隨子載波數(shù)的變化Fig.15 The change diagram of AE with number of subcarriers

由此可以看出，本文提出的算法在不同子載波數(shù)條件下，均顯示出比原有倒譜法及其小波改進(jìn)法更好的估計(jì)性能。

5 結(jié)論

本文利用了隨機(jī)共振中噪聲對(duì)于微弱信號(hào)的增強(qiáng)作用，探索和發(fā)掘了隨機(jī)共振對(duì)于高斯白噪聲信道下的OFDM信號(hào)子載波個(gè)數(shù)估計(jì)中的譜線提升能力，并在仿真實(shí)驗(yàn)條件下做了有效性和魯棒性的分析。算法是在倒譜法和小波改進(jìn)法的基礎(chǔ)上完成的，綜合了這些方法的優(yōu)點(diǎn)，為整體的估計(jì)性能帶來(lái)了如下好處：第一，增大輸出的峰值，提升檢測(cè)性能；第二，降低信噪比門(mén)限，在信道環(huán)境惡劣的情況下發(fā)揮優(yōu)勢(shì)；第三，提高估計(jì)精度。結(jié)果表明，應(yīng)用隨機(jī)共振的改進(jìn)算法較原有的兩種算法在有效性和魯棒性上都具有更好的性能，為低信噪比條件下OFDM信號(hào)的后續(xù)解調(diào)以及信息恢復(fù)等起到了重要作用。同時(shí)，也拓展了隨機(jī)共振在通信信號(hào)中的應(yīng)用范圍。