樓英邦，張小玉，方璽，呂泳，吳華春

(1.武漢理工大學(xué)a.理學(xué)院 工程結(jié)構(gòu)與力學(xué)系，b.機電工程學(xué)院，武漢 430070；2.新材料力學(xué)理論與應(yīng)用湖北重點實驗室，武漢 430070)

純電磁磁力軸承是利用電磁力將轉(zhuǎn)子穩(wěn)定地懸浮于空中的軸承，由于定子和轉(zhuǎn)子間不接觸，因此具有無摩擦、高精度、無需潤滑、高轉(zhuǎn)速等優(yōu)點，具有廣闊的研究前景[1-2]。然而，傳感器在安裝和測量的過程中存在誤差，且轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速升高時，特別在高速下，轉(zhuǎn)子繞慣性中心旋轉(zhuǎn)，由于其材料分布不均勻，機械加工、裝配精度低等原因，造成轉(zhuǎn)子的幾何中心與慣性中心不重合，從而產(chǎn)生偏心。如果忽略偏心產(chǎn)生的耦合力的影響，就無法發(fā)揮磁懸浮轉(zhuǎn)子高速高精的優(yōu)越性。耦合力的存在影響了控制系統(tǒng)性能，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子失穩(wěn)。特別是在磁懸浮硬盤驅(qū)動器、微型磁懸浮陀螺等微小磁懸浮轉(zhuǎn)子應(yīng)用領(lǐng)域，耦合力的影響不能忽略。

為減輕或消除磁力軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在的力耦合和力矩耦合，針對八極徑向磁力軸承，以轉(zhuǎn)子偏心距為變量，文獻[3]分析計算了電磁力的分布，推導(dǎo)了徑向磁力軸承沿周向任意點處電磁力的表達式。文獻[4]表明由于忽略漏磁及定子鐵心和轉(zhuǎn)子的磁阻等原因，使得理論分析存在較大誤差，從而采用有限元對磁力軸承進行模擬分析，證明了ANSYS分析的可靠性。文獻[5]表明在正交偏心的情況下，考慮單因素偏心距對耦合力的影響，運用有限元軟件ANSYS對磁力軸承進行耦合數(shù)值計算與分析。文獻[6]表明為了研究振動特性，在磁懸浮高速電動機轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速下，把轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)簡化模型導(dǎo)入ANSYS Workbench中，對振動情況進行了仿真分析。文獻[7]建立了耦合剛度模型，表明徑向和軸向之間的弱耦合性有利于設(shè)計CRAMB系統(tǒng)的控制器和動態(tài)穩(wěn)定性控制。

目前，關(guān)于多因素對耦合力影響的研究不足，因此，通過研究偏心距、工作電流對耦合力的影響，運用理論計算和有限元軟件分析耦合力的變化規(guī)律，并定量分析耦合力在偏心距和工作電流影響下，理論值較仿真值的相對誤差及通道間的耦合程度，以期為理論公式的適用范圍提供參考。

1 徑向磁力軸承的力耦合

一般情況下，當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時定子和轉(zhuǎn)子存在偏心，如圖1所示。由于徑向磁力軸承的對稱性，圖中只顯示出一組磁極的情況。其中：e為偏心距；α為偏心角；b為磁極寬度；R為定子內(nèi)半徑；r為轉(zhuǎn)子外半徑；Δs為定子磁極上的微小寬度；fi為Δs對應(yīng)的電磁力。

圖1 轉(zhuǎn)子和定子在偏心下的幾何關(guān)系Fig.1 Geometrical relationship between rotor and stator under eccentricity

由磁力軸承的工作原理可推導(dǎo)出懸浮力為[8]43

(1)

式中：I0為工作電流；μ0為空氣磁導(dǎo)率；L為軸承厚度；n為線圈匝數(shù)；N為磁極序號，以直角坐標(biāo)逆時針方向排列，如圖2所示。

圖2 磁極序號示意圖Fig.2 Diagram of pole number

為了便于分析耦合力的大小和影響，將x軸和y軸上的2組磁極的電磁力分開計算，并將總懸浮力F向x和y軸投影，則

N=0,3，4，7時

(2)

N=1,2,5,6時

(3)

式中：F的第1個下標(biāo)表示磁極的布置方向，第2個下標(biāo)表示電磁力的投影方向，如Fxy表示x方向的磁極產(chǎn)生的電磁力在y軸的分力。

2 ANSYS計算模型

磁力軸承參數(shù)如下：n=80匝，定子外徑100 mm，R=25 mm，r=24.5 mm，單邊氣隙為0.5 mm，L=30 mm，b=10 mm。根據(jù)磁力軸承的對稱結(jié)構(gòu)，簡化成二維模型進行計算。

建立平面模型，選用二維8節(jié)點單元PLANE53，只選用磁矢勢Az這一個自由度。磁力軸承相應(yīng)部分的相對磁導(dǎo)率見表1。定子和轉(zhuǎn)子外層是鐵磁材料，其磁化B-H曲線如圖3所示;轉(zhuǎn)子內(nèi)層由45#鋼制成。由于只研究磁力軸承內(nèi)部的磁場分布，故以有限元模型中的最外圍所有節(jié)點作為邊界，令A(yù)z=0。磁力軸承有限元模型如圖4所示。

表1 相對磁導(dǎo)率Tab.1 Relative permeability

圖3 鐵磁材料B-H曲線圖Fig.3 B-H curve diagram of ferromagnetic material

圖4 ANSYS計算模型圖Fig.4 ANSYS calculation model

由于轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中的任何位置均可分解成x軸和y軸的位移，所以在分析耦合力的過程中只需研究沿x軸和y軸方向的分力，總耦合力在x軸的分力Fx=Fxx+Fyx，總耦合力在y軸的分力Fy=Fxy+Fyy。

3 理論和有限元計算結(jié)果分析

為了探究偏心距和電流同時作用對電磁力的耦合影響，分5種工況(表2)進行分析。每種工況中工作電流分別為1，2，3，4 A，轉(zhuǎn)子在x軸、y軸上的偏心距取值范圍為-0.3～0.3 mm，增量為0.1 mm。以直角坐標(biāo)系x軸和y軸正方向為偏心距和耦合力的正方向。

表2 工況Tab.2 Operating conditions

3.1 工況1結(jié)果分析

給0和7這組磁極通電，當(dāng)轉(zhuǎn)子沿x軸偏心時，轉(zhuǎn)子只受到x軸方向的電磁力，由(2)式可得Fxy=0，則Fx=Fxx，F(xiàn)y=Fxy=0。在不同偏心距和工作電流下，F(xiàn)x的理論和有限元計算結(jié)果對比如圖5所示，圖中It，Is分別為理論計算、數(shù)值模擬中所用的電流。

圖5 工況1不同電流下x軸偏心距與Fx的關(guān)系Fig.5 Relationship between x-axis eccentricity and Fx under different current in operating condition 1

由圖5可知，隨著轉(zhuǎn)子偏心距的增大，由于轉(zhuǎn)子逐漸靠近磁極0和7，轉(zhuǎn)子所受電磁力逐漸增大。偏心距在-0.3～0.2 mm內(nèi)，理論值和數(shù)值模擬值吻合較好；偏心距在0.2～0.3 mm內(nèi)，理論值和數(shù)值模擬值出現(xiàn)較大偏差，這是由于定子材料在磁化過程中存在磁飽和現(xiàn)象。當(dāng)轉(zhuǎn)子逐漸靠近通電磁極0和7時，磁飽和現(xiàn)象越來越明顯，而在理論公式中，磁感應(yīng)強度為定值。隨著電流增大，電磁力逐漸增大，且理論值和數(shù)值模擬值偏差也逐漸增大。主要因為電流增大，較小的偏心距使通電磁極達到磁飽和。理論值比數(shù)值模擬值大，主要因為數(shù)值模擬時存在少量的漏磁現(xiàn)象。

當(dāng)轉(zhuǎn)子沿y軸偏心時，F(xiàn)x=Fxx，F(xiàn)y=Fxy。在不同偏心距和工作電流下，F(xiàn)x，F(xiàn)y的理論和有限元計算結(jié)果對比分別如圖6、圖7所示。

圖6 工況1不同電流下y軸偏心距與Fx的關(guān)系Fig.6 Relationship between y-axis eccentricity and Fx under different current in operating condition 1

圖7 工況1不同電流下y軸偏心距與Fy的關(guān)系Fig.7 Relationship between y-axis eccentricity and Fy under different current in operating condition 1

由圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子從-0.3 mm移動到0時，F(xiàn)x，F(xiàn)y的絕對值逐漸減小；當(dāng)轉(zhuǎn)子從0移動到0.3 mm時，F(xiàn)x，F(xiàn)y的絕對值逐漸增大。當(dāng)轉(zhuǎn)子在y軸正向和負(fù)向偏移相同距離時，F(xiàn)x相等；當(dāng)轉(zhuǎn)子在y軸正向和負(fù)向偏移相同距離時，F(xiàn)y大小相等，方向相反。理論值和數(shù)值模擬值的偏差隨著轉(zhuǎn)子偏心距的增大而增大。圖6中轉(zhuǎn)子從-0.3 mm移動到0.3 mm過程中，每個偏心距下電流從1～4 A對應(yīng)的平均誤差分別為5.35%，2.51%，0.67%，0.01%，0.67%，2.52%，5.35%。

3.2 工況2結(jié)果分析

給0和7，1和2這2組相鄰磁極通電，考慮磁極分布及轉(zhuǎn)子偏心的對稱性，只需分析轉(zhuǎn)子在x軸上偏心的情況。當(dāng)轉(zhuǎn)子沿x軸偏心時，由于Fxy=0，則Fx=Fxx+Fyx，F(xiàn)y=Fyy。在不同偏心距和工作電流下，F(xiàn)x，F(xiàn)y的理論和有限元計算結(jié)果對比分別如圖8、圖9所示。

由圖8可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子沿x軸正方向偏心時，F(xiàn)x逐漸增大。由圖9可知，偏心距分別為-0.3，0.3 mm時,Fy的理論值相等，但數(shù)值模擬值不等。一方面是由于轉(zhuǎn)子靠近磁極0和7時，磁極逐漸達到磁飽和;另一方面是由于軸承的磁極是按照NNSS的形式布置的，磁極0和1的磁性是相同的，當(dāng)這2組磁極通電時，磁極0和1之間存在微弱的相斥現(xiàn)象，導(dǎo)致磁極2處磁感應(yīng)強度略大于磁極1處。

圖8 工況2不同電流下x軸偏心距與Fx的關(guān)系Fig.8 Relationship between x-axis eccentricity and Fx under different current in operating condition 2

圖9 工況2不同電流下x軸偏心距與Fy的關(guān)系Fig.9 Relationship between x-axis eccentricity and Fy under different current in operating condition 2

圖10 工況2不同電流下x軸偏心距與y通道對x通道耦合程度的關(guān)系Fig.10 Relationship between x-axis eccentricity and coupling degree of y channel to x channel under different current in operating condition 2

3.3 工況3結(jié)果分析

給0和7，3和4這2組相對磁極通電，當(dāng)轉(zhuǎn)子沿著x軸偏心時，總耦合力在x軸上的分力Fx=Fxx，總耦合力在y軸上的分力Fy=Fxy=0。當(dāng)轉(zhuǎn)子沿著y軸偏心時，總耦合力在x軸上的分力Fx=Fxx=0，總耦合力在y軸上的分力Fy=Fxy。Fx，F(xiàn)y的理論和有限元結(jié)果對比分析分別如圖11、圖12所示。

圖11 工況3不同電流下x軸偏心距與Fx的關(guān)系Fig.11 Relationship between x-axis eccentricity and Fx under different current in operating condition 3

圖12 工況3不同電流下y軸偏心距與Fy的關(guān)系Fig.12 Relationship between y-axis eccentricity and Fy under different current in operating condition 3

由圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子從-0.3 mm移動到0時，F(xiàn)x，F(xiàn)y的絕對值逐漸減??；當(dāng)轉(zhuǎn)子從0移動到0.3 mm時，F(xiàn)x，F(xiàn)y的絕對值逐漸增大。轉(zhuǎn)子在y軸偏心時產(chǎn)生的耦合力Fy是給磁極0,7通電時Fy的2倍。圖11中轉(zhuǎn)子從-0.3 mm移動到0.3 mm的過程中，每個偏心距下電流從1～4 A的平均誤差分別為21.17%，5.83%，1.81%，0.04%，1.84%，5.84%，21.18%。

3.4 工況4結(jié)果分析

給0和7，1和2，3和4這3組磁極通電，當(dāng)轉(zhuǎn)子沿x軸偏心時，由于Fxy=0，則Fx=Fxx+Fyx，F(xiàn)y=Fyy，F(xiàn)x，F(xiàn)y的理論和有限元計算結(jié)果分別如圖13、圖14所示。工況4不同電流下x軸偏心距與y通道對x通道耦合程度的關(guān)系如圖15所示。當(dāng)轉(zhuǎn)子沿y軸偏心時，F(xiàn)x=0，F(xiàn)y=Fxy+Fyy。Fy的理論和有限元計算結(jié)果對比如圖16所示。工況4不同電流下x軸偏心距與x通道對y通道耦合程度的關(guān)系如圖17所示。

圖13 工況4不同電流下x軸偏心距與Fx的關(guān)系Fig.13 Relationship between x-axis eccentricity and Fx under different current in operating condition 4

圖14 工況4不同電流下x軸偏心距與Fy的關(guān)系Fig.14 Relationship between x-axis eccentricity and Fy under different current in operating condition 4

圖15 工況4不同電流下x軸偏心距與y通道對x通道耦合程度關(guān)系Fig.15 Relationship between x-axis eccentricity and coupling degree of y channel to x channel under different current in operating condition 4

圖16 工況4不同電流下y軸偏心距與Fy的關(guān)系Fig.16 Relationship between y-axis eccentricity and Fy under different current in operating condition 4

圖17 工況4不同電流下y軸偏心距與x通道對y通道耦合程度的關(guān)系Fig.17 Relationship between y-axis eccentricity and coupling degree of x channel to y channel under different current in operating condition 4

由圖13可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子從-0.3 mm移動到0時，F(xiàn)x的絕對值逐漸減小；當(dāng)轉(zhuǎn)子從0移動到0.3 mm時，F(xiàn)x的絕對值逐漸增大。由圖14可知，F(xiàn)y的理論值與數(shù)值模擬值變化趨勢不同，一方面是由于轉(zhuǎn)子靠近3和4或0和7這2組磁極時，被靠近磁極逐漸達到磁飽和；另一方面是由于軸承的磁極是按照NNSS的形式布置的，磁極0和1的磁性相同，磁極2和3的磁性相同，當(dāng)這3組磁極通電時，磁極0和1，2和3之間存在微弱的相斥現(xiàn)象，導(dǎo)致磁極1，2外側(cè)的磁感應(yīng)強度略小于內(nèi)側(cè)。圖14中當(dāng)轉(zhuǎn)子從-0.3 mm移動到0.3 mm的過程中，每個偏心距下電流從1～4 A的平均誤差分別為23.70%，10.57%，4.27%，2.33%，4.28%，10.62%，23.67%。

由圖16可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏心距為-0.3～0.3 mm時，由于轉(zhuǎn)子逐漸靠近磁極1和2，F(xiàn)y逐漸增大；當(dāng)偏心距為0.2～0.3 mm時，理論值和數(shù)值模擬值出現(xiàn)較大偏差，主要由于定子材料在磁化過程中存在磁飽和現(xiàn)象，當(dāng)轉(zhuǎn)子逐漸靠近通電磁極1和2時，磁飽和現(xiàn)象越來越明顯，而理論公式中磁感應(yīng)強度為定值。

3.5 工況5結(jié)果分析

給所有磁極通電，考慮磁極分布及轉(zhuǎn)子偏心的對稱性，只需分析轉(zhuǎn)子在x軸上偏心這一種情況。當(dāng)轉(zhuǎn)子沿x軸偏心時，由于Fxy=0，F(xiàn)yy=0，則Fx=Fxx+Fyx，F(xiàn)y=0，F(xiàn)x的理論和有限元計算結(jié)果如圖18所示。工況5不同電流下x軸偏心距與y通道對x通道耦合程度的關(guān)系如圖19所示。

圖18 工況5不同電流下x軸偏心距與Fx的關(guān)系Fig.18 Relationship between x-axis eccentricity and Fx under different current in operating condition 5

圖19 工況5不同電流下x軸偏心距與y通道對x通道耦合程度關(guān)系Fig.19 Relationship between x-axis eccentricity and coupling degree of y channel to x channel under different current in operating condition 5

由圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏心距為-0.3～0 mm時，F(xiàn)x的絕對值逐漸減??；當(dāng)轉(zhuǎn)子偏心距為0～0.3 mm時，F(xiàn)x逐漸增大。理論值和數(shù)值模擬值的偏差隨著轉(zhuǎn)子偏心距的增大而增大。

3.6 小結(jié)

由圖5、圖8、圖11可知，相鄰磁極通電產(chǎn)生的耦合力的理論值較仿真值的相對誤差最大，相對磁極通電時耦合力相對誤差適中，一組磁極通電時最小，偏心距為0.2 mm時相對誤差分別為7.10%，5.84%和4.21%。

由圖6、圖9、圖14可知，通電磁極間存在耦合。只有一組磁極通電時，耦合力的相對誤差較小，偏心距為0.2 mm時只有2.52%。相鄰磁極通電時，在靠近通電磁極一側(cè)的相對誤差較大，偏心距為0.2 mm時其值達到11.62%。相對磁極通電時，磁極兩側(cè)的相對誤差均較大，偏心距為±0.2 mm時其值分別為10.62%，10.57%。

由圖10、圖15、圖17、圖19可知，工況1、工況3中x，y通道的耦合程度為0，工況2、工況4、工況5中不同電流大小對x，y通道的耦合程度幾乎沒有影響，只有在轉(zhuǎn)子靠近磁極時有差別，這是由于被靠近磁極達到磁飽和造成的。

4 結(jié)論

1) 偏心距越大，耦合力的理論值較仿真值的相對誤差越大。偏心距為±0.3 mm時，相對誤差為25%，理論公式不再適用；偏心距為-0.2～0.2 mm時，相對誤差基本小于10%，理論值和仿真值吻合較好。

2) 耦合力隨工作電流的增大而增大，且理論值較仿真值的相對誤差逐漸增大。當(dāng)偏心距相同時，磁極達到飽和前，電流大小對通道間的耦合程度幾乎沒有影響；達到飽和后，不同電流大小對應(yīng)的通道間耦合程度有所不同。

3) 磁極對通電情況對通道間耦合程度的影響較為顯著。偏心距為0.2 mm時，相鄰磁極、相對磁極和一組磁極通電產(chǎn)生耦合力的理論值較仿真值的相對誤差分別為6.03%，5.14%和4.21%。