張美紅，董皓，趙曉龍，劉波，張君安

(西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021)

1 引言

矩形靜壓推力軸承是根據(jù)氣體潤滑技術(shù)開發(fā)的精密機(jī)械元件，加工精度較高[1]。為從理論上分析此類軸承的潤滑性能，模擬其下表面微觀輪廓(圖1)是關(guān)鍵性的第1步。

圖1 矩形靜壓推力軸承下表面模型

目前，分形幾何作為一種新的數(shù)學(xué)理論，已被廣泛應(yīng)用于表面微觀形貌的研究[2-3]。文獻(xiàn)[4]基于分形學(xué)中的Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)建立了粗糙表面的分形模型，即M-B模型；文獻(xiàn)[5]提出了用于描述自然界隨機(jī)分形的分?jǐn)?shù)布朗模型；文獻(xiàn)[6-7]則基于分形插值理論提出了分形插值曲面模型，利用曲面上的部分信息和特征擬合出曲面的整體形態(tài)。

為模擬矩形靜壓推力軸承下表面的真實(shí)輪廓形貌，結(jié)合軸承表面特征，利用分形插值曲面法對其表面平面度和粗糙度進(jìn)行綜合分形模擬，為計(jì)算靜壓止推軸承的潤滑性能奠定基礎(chǔ)。

2 矩形靜壓推力軸承表面特征

盡管矩形靜壓止推軸承的表面加工精度很高，但從微觀角度，其表面形貌仍然由許多凸峰和凹谷組成，相鄰2個波峰或2個波谷之間的距離很小，肉眼難以區(qū)分。其中粗糙度輪廓波峰之間的距離通常小于1 mm，表面波紋度的波距通常為1～10 mm，幾何形狀輪廓(平面度誤差)的波距通常大于10 mm，且三者總是同時存在同一個表面。另外，矩形靜壓推力軸承表面多采用研磨的加工方式，研磨過程中會不同程度地出現(xiàn)邊緣塌邊現(xiàn)象[8]，從而使平面度誤差變大。因此，需要模擬一個同時具有平面度和粗糙度特征的軸承表面。

表面微觀形貌模擬通常有M-B模型、分?jǐn)?shù)布朗模型以及分形插值模型。用10 mm×10 mm作為采樣區(qū)域，采樣間距為0.1 mm時，通過M-B模型、分?jǐn)?shù)布朗模型所形成的表面輪廓如圖2所示。從圖中可以看出，對于這2種模型，參數(shù)一旦確定，表面形貌也唯一確定，且都表征的是表面粗糙度。分形插值模型則是利用曲面上的部分信息擬合出曲面的整體形貌，因此原始曲面形貌的變化會導(dǎo)致分形插值后曲面的幾何形狀也發(fā)生變化，且壓縮比的變化也會導(dǎo)致表面粗糙度的變化。基于同一原始曲面，選取不同的壓縮比α?xí)r得到的具有不同維數(shù)的粗糙表面形貌如圖3所示。

圖2 表面輪廓的模擬

因此，結(jié)合軸承表面特征及3種模型所模擬表面形貌的相互比較，選定分形插值模型來模擬矩形靜壓推力軸承下表面的微觀形貌。

3 矩形靜壓推力軸承表面模擬實(shí)例

3.1 原始曲面的建立

將軸承下表面平面度測量數(shù)據(jù)作為插值前的原始數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的平面測量為消除塌邊情形對結(jié)果的影響，在測量400 mm×400 mm的表面平面度時會在上下左右邊緣各留5 mm，共測25個點(diǎn)。為模擬塌邊情形，在傳統(tǒng)測量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上另外測量了軸承表面邊緣的多組數(shù)據(jù)，結(jié)果見表1?；诒?中數(shù)據(jù)，需要進(jìn)行插值的矩形靜壓推力軸承原始曲面如圖4所示，很明顯可以看出軸承表面邊緣有塌邊現(xiàn)象。

圖4 矩形靜壓推力軸承原始曲面

表1 矩形靜壓推力軸承下表面平面度測量數(shù)據(jù)

3.2 表面形貌的分區(qū)域插值模擬

如果將原始曲面進(jìn)行整體分形插值，由于分形理論中自相似性特征的存在，分形插值后的表面形貌中間部分也會出現(xiàn)塌邊情形，與實(shí)際情況不符。因此采用分區(qū)域插值，即將原始曲面分為如圖5所示的9個區(qū)域，分別為中間部分、4個邊緣以及4個邊角，各區(qū)域的原始曲面如圖6所示。

圖5 矩形靜壓推力軸承下表面的區(qū)域劃分

圖6 各區(qū)域的原始曲面

基于分形插值曲面數(shù)學(xué)理論，運(yùn)用MATLAB將9個區(qū)域同時進(jìn)行插值繪制出第1次插值后的曲面如圖7所示。

對于同一組插值數(shù)據(jù)，選取不同的垂直因子α值(壓縮比)，就可得到具有不同分形維數(shù)的粗糙表面。從圖7可以看出：垂直因子越小，平面度特征越明顯；垂直因子越大，表面越粗糙，隨著垂直因子的增大，粗糙度特征越來越明顯。

在第1次插值的基礎(chǔ)上，反復(fù)迭代從而得到不同程度的靜壓推力軸承分形插值曲面，垂直比例因子α=0.3時第2次及第3次插值所生成的曲面如圖8所示。

從圖7b和圖8可以看出，當(dāng)垂直因子一定時，隨著插值次數(shù)的增大，粗糙度特征越來越明顯。且平面度(幾何形狀)特征和粗糙度特征可以同時顯現(xiàn)出來，完成了對靜壓推力軸承表面粗糙度和平面度的綜合模擬。

圖7 第1次插值后軸承下表面輪廓形貌

圖8 軸承下表面分形插值曲面(α=0.3)

為驗(yàn)證該方法對矩形靜壓推力軸承表面邊緣塌邊情形的模擬是否符合實(shí)際情況，與利用電子水平儀[9]得到的軸承下表面平面度檢測結(jié)果(圖9)進(jìn)行了對比。從圖中可以看出，軸承邊緣確實(shí)出現(xiàn)塌邊情形，說明結(jié)合平面度測量數(shù)據(jù)將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分區(qū)域插值模擬出的邊緣塌邊符合真實(shí)情況。

圖9 軸承下表面平面度仿真圖

4 結(jié)束語

基于分形幾何學(xué)，結(jié)合矩形靜壓推力軸承的表面特征，選取分形理論中的分形插值模型對軸承下表面的微觀形貌進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究發(fā)現(xiàn)：

1)利用分形插值模型模擬出的軸承下表面形貌能夠同時反映出平面度及粗糙度特征。

2)將原始曲面數(shù)據(jù)進(jìn)行分區(qū)域插值模擬可以避免軸承表面中間部分出現(xiàn)塌邊的情形，模擬結(jié)果接近軸承表面真實(shí)形貌。