浙江溫州市仰義第一小學(xué) 林志輝 林 迪

人教版數(shù)學(xué)以兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的“雙拼法”為主要方法來推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式，承接了平行四邊形的面積計(jì)算公式，公式表達(dá)和幾何直觀聯(lián)系緊密，易于學(xué)生聯(lián)系圖形和公式之間的關(guān)系。但求平行四邊形的面積時(shí)采用沿高剪開割補(bǔ)的轉(zhuǎn)化方法，學(xué)生又缺乏圖形拼組的經(jīng)驗(yàn)。因此，學(xué)生理解“雙拼法”不難，怎么想到“雙拼法”反而有難度。

一、從人教版教材探究學(xué)生的知識起點(diǎn)

人教版的圖形面積教學(xué)部分，以單位面積度量圖形為基本方法，以長方形為基礎(chǔ)圖形，依次將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形。但在轉(zhuǎn)化方法上卻經(jīng)歷了圖形單側(cè)先割后補(bǔ)—圖形拼組這樣的跳躍。在教學(xué)如何計(jì)算長方形、平行四邊形的面積時(shí)都有用單位面積量一量、數(shù)一數(shù)、算一算的過程，而在教學(xué)三角形的面積計(jì)算公式時(shí)卻省略了格子圖和計(jì)算面積的過程，直接跳到了三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)上。

將三角形轉(zhuǎn)化為已知圖形的方法較多，人教版教材中僅僅出現(xiàn)了“雙拼法”，其他方法需不需要介紹，學(xué)生是否要掌握，就很難取舍了。

二、通過動手操作探究學(xué)生的思維過程

教師為A、B兩個(gè)班共67名五年級學(xué)生（已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積計(jì)算公式）提供三角形紙片，研究這批學(xué)生在探索三角形的面積計(jì)算公式時(shí)的思維過程。

1.原有的轉(zhuǎn)化方法失效

教師第一次提供給A班32名學(xué)生每人一個(gè)非等腰三角形紙片，其中有28名學(xué)生利用轉(zhuǎn)化成平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，將三角形沿高剪開再拼組，但全部學(xué)生都無法將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形。

教師第二次提供給A班每個(gè)學(xué)生一個(gè)非等腰三角形紙片，僅有3名學(xué)生能采取如圖1所示的雙側(cè)割補(bǔ)法將三角形轉(zhuǎn)化為長方形，其他學(xué)生均轉(zhuǎn)化失敗，并且沒有學(xué)生想到用多個(gè)三角形進(jìn)行拼組。

圖1

2.新的轉(zhuǎn)化方法突兀出現(xiàn)

教師提供給B班35名學(xué)生多個(gè)不同形狀的三角形，62.56%的學(xué)生會利用多個(gè)三角形進(jìn)行圖形的拼組，但教師的教學(xué)鋪墊痕跡過重。由于單個(gè)三角形轉(zhuǎn)化的難度，學(xué)生在利用兩個(gè)相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形后，就不再做其他嘗試了。

圖2

二、三角形面積教學(xué)的策略

1.搭橋牽線，讓“雙拼法”不是空穴來風(fēng)

教師可以提供給學(xué)生等腰和非等腰兩種三角形紙片進(jìn)行操作，學(xué)生借助沿高剪拼的圖形轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，會出現(xiàn)轉(zhuǎn)化成功和不成功兩種結(jié)果。教師引導(dǎo)學(xué)生對比結(jié)果，反思原因，從而獲取成功轉(zhuǎn)化不等腰三角形的經(jīng)驗(yàn)：（1）不沿高剪;（2）兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成長方形或平行四邊形。

2.借助格子圖,提供合適的形狀素材

對C、D兩個(gè)班共65名五年級學(xué)生（已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積計(jì)算公式），教師提供給C班的學(xué)習(xí)素材如圖3，提供給D班的學(xué)習(xí)素材如圖4。

圖3

圖4

圖5

圖6

數(shù)據(jù)顯示(如圖5）,學(xué)生對格子圖上三角形轉(zhuǎn)化的成功率都高于沒有格子圖的三角形，因此可采用格子圖輔助學(xué)生突破單個(gè)三角形的轉(zhuǎn)化難點(diǎn)。學(xué)生轉(zhuǎn)化直角三角形時(shí)容易受直角的影響而局限了思路，轉(zhuǎn)化鈍角三角形時(shí)容易受到高在三角形外面的干擾，因此可提供給學(xué)生如圖6的學(xué)習(xí)素材。

3.釜底抽薪，先教學(xué)三角形的面積

（1）轉(zhuǎn)化方法的正遷移

既然平行四邊形的面積教學(xué)中轉(zhuǎn)化方法不能對三角形的面積轉(zhuǎn)化有所借鑒，平行四邊形的面積計(jì)算公式對三角形的面積計(jì)算公式又有負(fù)遷移，那可以嘗試先教學(xué)三角形的面積。

圖7

如圖7，這三種三角形面積的轉(zhuǎn)化方法都不依賴于平行四邊形的面積計(jì)算公式，反過來還可以運(yùn)用到推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式中來 （如圖8）。

圖8

（2）另辟蹊徑，幾何證明

小學(xué)數(shù)學(xué)中“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)偏向于培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力，初中階段偏向于培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力，從而造成初小脫節(jié)。因此，在小學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)中，不妨讓學(xué)生接觸一些簡單的幾何證明。新加坡的教材在三角形的面積教學(xué)中就進(jìn)行了這種嘗試。

對于格子圖中的直角三角形，可以利用兩個(gè)相同的直角三角形拼成一個(gè)長方形，計(jì)算直角三角形的面積為3×4÷2=6cm2。離開格子圖，借助前面的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，就可以推導(dǎo)出S直角三角形=ah÷2。

圖9

接著以直角三角形為知識基礎(chǔ)，計(jì)算并推導(dǎo)銳角三角形和鈍角三角形的面積計(jì)算公式。

圖10

S△ABC=S△BCD+S△BDA

S=4×4÷2+2×4÷2=12

S=a1×h÷2+a2×h÷2=（a1+a2）×h÷2=AC(底）×h÷2

圖11

S△ABC=S△ABD-S△CDA

S=6×4÷2-2×4÷2=12-4=8

S=a1×h÷2-a2×h÷2=（a1-a2）×h÷2=BC(底）×h÷2

雖然這樣的證明方法對學(xué)生的思維水平要求比較高，但不妨早一點(diǎn)讓學(xué)生接觸，不要求掌握，但試著理解方法。

4.以算促理解，抽象出三角形的面積計(jì)算公式

教師將D班中能夠成功轉(zhuǎn)化銳角三角形的19名學(xué)生隨機(jī)分為兩組(一組10人，一組9人），提供兩種不同的學(xué)習(xí)單如圖12。

圖12

A組能推導(dǎo)出面積計(jì)算公式的學(xué)生比例為70%，而B組僅為22.2%，可見借助具體的數(shù)字運(yùn)算能夠幫助學(xué)生更好地理解三角形的底、高與面積之間的關(guān)系。

5.用“讀圖讀式”理解多種轉(zhuǎn)化方法

當(dāng)學(xué)生們出現(xiàn)多種方法時(shí)，怎么處理？可以參考日本小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的方法——“讀式”。

圖中日文翻譯為：“用各種方法求右圖底為8、高為6的三角形的面積， 算式分別為 （8×6）÷2，8×（6÷2），（8÷2）×6， 請說出每道算式對應(yīng)的是哪幅