吳聲

（寧夏科技發(fā)展戰(zhàn)略和信息研究所，寧夏 銀川 750000）

1 引言

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分[1-3]。自灰色關(guān)聯(lián)分析方法創(chuàng)立以來，不斷有研究者根據(jù)實(shí)際需要構(gòu)造出一系列的灰色關(guān)聯(lián)度量化模型[1-8]。其中，文獻(xiàn)[3-8]針對(duì)不同情況，以實(shí)數(shù)序列為研究對(duì)象，建立了各具特點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)模型。文獻(xiàn)[1]以區(qū)間灰數(shù)序列為研究對(duì)象，基于空間映射的思想，將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)換成面積序列和坐標(biāo)序列后，對(duì)兩者灰色關(guān)聯(lián)度進(jìn)行融合，最終得出原區(qū)間灰數(shù)的關(guān)聯(lián)度。本文是針對(duì)文獻(xiàn)[1]中有關(guān)的問題而提出的一個(gè)商榷。

文獻(xiàn)[1]中的模型沿用了實(shí)數(shù)序列灰色關(guān)聯(lián)度的思想，能起到計(jì)算區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)度的效果，但是，在對(duì)文章進(jìn)行深入分析后發(fā)現(xiàn)，“面積序列和坐標(biāo)序列含有的信息量與原區(qū)間灰數(shù)序列信息量相等”這一說法并不成立。本文在對(duì)原文模型進(jìn)行簡單介紹的基礎(chǔ)上，逐步分析原文中的證明過程，得出原文證明過程中的公式推導(dǎo)過程是正確的，但隨后的結(jié)論卻難以成立。之后，我們通過列舉反例再次論證了證明過程無法導(dǎo)出原文的結(jié)論。

圖1 區(qū)間灰數(shù)的灰數(shù)帶及灰數(shù)層

2 基于空間映射的區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)度模型簡介

文獻(xiàn)[1]提出的基于空間映射的區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)度模型為：

通過面積轉(zhuǎn)換和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)序列群，面積序列為灰數(shù)層的面積序列，公式如下：

式（1）中：

坐標(biāo)序列為灰數(shù)層梯形中位線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)序列，為：

式（3）中：

在進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，文獻(xiàn)[1]給出了面積序列與坐標(biāo)序列含有的信息量與原區(qū)間灰數(shù)序列相等的性質(zhì)，然后分別用鄧氏關(guān)聯(lián)度計(jì)算面積序列和坐標(biāo)序列的灰色關(guān)聯(lián)度，最后對(duì)兩關(guān)聯(lián)度進(jìn)行融合得到對(duì)應(yīng)區(qū)間灰數(shù)序列的關(guān)聯(lián)度。

3 對(duì)文獻(xiàn)[1]區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)度模型性質(zhì)的商榷

3.1 原模型性質(zhì)的證明過程及商榷所在

3.1.1 原證明過程

為了方便討論問題，下面先對(duì)文獻(xiàn)[1]中所提關(guān)聯(lián)度模型具有“面積序列與坐標(biāo)序列含有的信息量與原區(qū)間灰數(shù)序列相等”的性質(zhì)的證明過程作一簡述。

由式（2）可知：（bi＋1－ai＋1）＝2S（ti）－2S（ti－1）＋…＋（－1）i（b2－a2）＝A.

由式（4）可知：（bi＋1+ai＋1）＝4w（ti）－4w（ti－1）＋…＋（－1）i（b2＋a2）＝B.所以，可得：

即：

基于式（5）、式（6）、式（7），原文給出如下結(jié)論，即“從證明過程中可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)面積序列和坐標(biāo)序列中的元素，可以推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)。因此，面積序列和坐標(biāo)序列含有的信息量與原區(qū)間灰數(shù)序列相等?！?/p>

3.1.2 商榷要點(diǎn)所在

經(jīng)過分析研究，我們認(rèn)為上述證明過程中的公式推導(dǎo)過程是正確的，但隨后的結(jié)論卻難以成立。由式（5）、式（6）可知，ai＋1與bi＋1的值并不能僅由面積序列和坐標(biāo)序列推出，還必須知道a2、b2的值。所以，原文中給出“根據(jù)面積序列和坐標(biāo)序列中的元素就可以推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)”的結(jié)論是不成立的。也就是說，面積序列和坐標(biāo)序列含有的信息量與原區(qū)間灰數(shù)序列并不完全相等。

圖2 灰數(shù)序列與面積序列、坐標(biāo)序列的關(guān)系圖

3.2 原模型性質(zhì)否證的一個(gè)示例

為了進(jìn)一步說明文獻(xiàn)[1]中的模型并不具有“面積序列和坐標(biāo)序列含有的信息量與原區(qū)間灰數(shù)序列相等”的性質(zhì)，現(xiàn)舉一反例予以更直觀的分析說明。如圖2所示，區(qū)間灰數(shù)序1，2，3） ，僅知道面積序列S＝（S（t1），S（t2））和中位線中點(diǎn)坐標(biāo)序列 W＝（w（t1），w（t2）），以線段 w（t1）w（t2）為軸，將圖形a1b1b2b3a3a2旋轉(zhuǎn)180°得到圖形圖a1b1b2b3a3a2的面積序列和中位線中點(diǎn)坐標(biāo)序列相同，但是，對(duì)應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)卻不同，即在已知面積序列和坐標(biāo)序列條件下，并不能推出對(duì)應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)序列。該例驗(yàn)證了文獻(xiàn)[1]中關(guān)于“面積序列和坐標(biāo)序列含有的信息量與原區(qū)間灰數(shù)序列相等”的這一說法并不成立的結(jié)論。

3.3 原文所提性質(zhì)的必要性商榷

考慮到“灰色關(guān)聯(lián)分析的基本思想是，根據(jù)序列曲線幾何狀況的相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密，曲線越接近，相應(yīng)序列之間關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小?！盵4]也就是說，灰色關(guān)聯(lián)度是兩組曲線接近程度的一個(gè)量化值。而曲線的接近程度如何度量沒有客觀、統(tǒng)一的方法，只要符合灰色關(guān)聯(lián)四公理[3]，都應(yīng)是可以接受的度量方法。針對(duì)區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)分析的情形，我們同樣認(rèn)為只要不違背灰色關(guān)聯(lián)四公理，都應(yīng)該是可以接受的。也就是說，如果無特別需要，我們沒有必要強(qiáng)求人工構(gòu)造的灰色關(guān)聯(lián)度模型在四公理之外再一定滿足其他性質(zhì)要求，比如文獻(xiàn)[1]聲稱的性質(zhì)要求。本文的示例也證明了這一點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文從灰色關(guān)聯(lián)分析的基本思想出發(fā)，對(duì)文獻(xiàn)[1]的成果進(jìn)行了分析研究，得出以下結(jié)論：①文獻(xiàn)[1]中所提模型符合實(shí)數(shù)序列灰色關(guān)聯(lián)分析的基本思想，能夠達(dá)到計(jì)算區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)度的目的，模型是科學(xué)可用的。②文獻(xiàn)[1]中對(duì)其聲稱的“面積序列和坐標(biāo)序列含有的信息量與原區(qū)間灰數(shù)序列相等”的性質(zhì)的證明存在瑕疵，其所提模型并不具有該性質(zhì)。③考慮到區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)度的本質(zhì)含義，我們認(rèn)為人工構(gòu)造的區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)度模型并不一定需要具備上述性質(zhì)。此外，在對(duì)文獻(xiàn)[1]商榷的基礎(chǔ)上，我們基于空間映射思想，引入白化權(quán)函數(shù)，建立了一個(gè)全新的區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)度模型[10]。