河北 陳寶友(特級(jí)教師)

共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用是物理學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，解決平衡問題的研究方法和解題策略幾乎貫穿整個(gè)高中階段，因此對(duì)此類問題必須有足夠的認(rèn)識(shí)。物體平衡遵循的物理規(guī)律是共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件，即F合=0，利用該規(guī)律分析平衡問題時(shí)，首先應(yīng)明確物體所受的力在何處“共點(diǎn)”，即明確研究對(duì)象，在分析出各個(gè)力的大小和方向后，還要正確選定研究方法，建立各力之間的聯(lián)系，進(jìn)而借助平衡條件和數(shù)學(xué)方法確定結(jié)果。

處理共點(diǎn)力作用下物體的平衡問題主要有如下方法，我們分別進(jìn)行討論。

一、正交分解法

這是處理共點(diǎn)力作用下物體平衡問題最基本的方法，這種方法是利用物體所受合外力為零這一條件來求解問題。應(yīng)用正交法解物體平衡問題的基本步驟：

1.選取研究對(duì)象；

2.畫出研究對(duì)象的受力示意圖；

3.選擇適當(dāng)坐標(biāo)系，這里需要注意，互相垂直的兩個(gè)方向即坐標(biāo)系方向的選擇原則是使坐標(biāo)軸盡可能和更多力的方向重合，以免去過多分解力的麻煩，并確定需要分解的力與軸的夾角，并將這些力正交分解在軸上；

4.根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件∑Fx=0、∑Fy=0列出平衡方程組；

5.解方程，代入數(shù)據(jù)，求出結(jié)果。

【例1】(2016·天津卷)如圖1所示，輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點(diǎn)，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)。如果只人為改變一個(gè)條件，當(dāng)衣架靜止時(shí)，下列說法正確的是

( )

圖1

A．繩的右端上移到b′，繩子拉力不變

B．將桿N向右移一些，繩子拉力變大

C．繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小

D．若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣架懸掛點(diǎn)右移

圖2

由以上各式可知，當(dāng)l、d不變時(shí)，θ不變，故換掛質(zhì)量更大的衣服時(shí)，懸掛點(diǎn)不變，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；若衣服質(zhì)量不變，改變b的位置或繩兩端的高度差，繩子拉力不變，選項(xiàng)A正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)N桿向右移一些時(shí)，d變大，則T變大，選項(xiàng)B正確。

【答案】AB

二、利用力的合成與分解

應(yīng)用力的分解法對(duì)力進(jìn)行分解時(shí)不是隨意的，一定要根據(jù)力的實(shí)際作用效果確定力的分解方向。合成法或分解法實(shí)際上都是平行四邊形定則的應(yīng)用，采用這兩種方法的實(shí)質(zhì)是等效替代，即通過兩個(gè)力的等效合成或某個(gè)力的兩個(gè)等效分力建立已知力與被求力之間的聯(lián)系，為利用平衡條件解問題做好鋪墊。

【例2】(2016·全國卷Ⅰ)如圖3，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩OO′懸掛于O點(diǎn)；另一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b。外力F向右上方拉b，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則

( )

圖3

A．繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化

B．物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化

C．連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化

D．物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化

【解析】由于物塊a、b均保持靜止，各繩角度保持不變，對(duì)a受力分析得，繩的拉力FT=mag，所以物塊a受到繩的拉力保持不變，由滑輪性質(zhì)可知，滑輪兩側(cè)繩的拉力相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；a、b受到繩的拉力大小、方向均不變，所以O(shè)O′的張力不變，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)b進(jìn)行受力分析，如圖4所示，由平衡條件得FTcosβ+Ff=Fcosα，F(xiàn)sinα+FN+FTsinβ=mbg，其中FT和mbg始終不變，當(dāng)F大小在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，支持力在一定范圍內(nèi)變化，B選項(xiàng)正確；摩擦力也在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，D選項(xiàng)正確。

【答案】BD

圖4

三、相似三角形法

相似三角形法是解決平衡問題時(shí)常用到的一種方法。物理上的矢量可用有向線段表示，矢量的合成與分解又遵守平行四邊形法則或三角形法則，這樣就構(gòu)成了一個(gè)矢量三角形(平行四邊形可分為兩個(gè)三角形)，如果能找到一個(gè)由已知量構(gòu)成的三角形與之相似，那么“相似三角形的對(duì)應(yīng)線段分別成比例”，這一知識(shí)就可用于處理物理問題。

解決這種類型的問題的對(duì)策：首先利用合成法或分解法作出三力之間的平行四邊形關(guān)系和三角形關(guān)系，再根據(jù)力的三角形尋找與之相似的結(jié)構(gòu)三角形，利用三角形的相似比求解。解題的關(guān)鍵是正確的受力分析，尋找力三角形和結(jié)構(gòu)三角形相似。

( )

【答案】B

圖5

四、隔離法和整體法

整體法是將兩個(gè)或者兩個(gè)以上的物體作為一個(gè)整體進(jìn)行分析的方法，而隔離法是將某個(gè)物體單獨(dú)隔離出來進(jìn)行分析的方法。若研究對(duì)象由多個(gè)物體組成，首先考慮運(yùn)用整體法，這樣受力情況比較簡單；而對(duì)于大多數(shù)靜力學(xué)問題，單純采用某一種方法并不一定能解決，如求系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力時(shí)，整體法便不能解決，故此時(shí)需要使用隔離法，所以通常往往是整體法和隔離法兩者交替使用。

【例4】如圖6所示，質(zhì)量為M的四分之一圓柱體放在粗糙水平地面上，質(zhì)量為m的正方體放在圓柱體和光滑墻壁之間，且不計(jì)圓柱體與正方體之間的摩擦，正方體與圓柱體的接觸點(diǎn)的切線與右側(cè)墻壁成θ角，圓柱體處于靜止?fàn)顟B(tài)，則

( )

圖6

A．地面對(duì)圓柱體的支持力為Mg

B．地面對(duì)圓柱體的摩擦力為mgtanθ

【答案】C

五、三角函數(shù)法

三角函數(shù)在物理問題中的運(yùn)用十分廣泛，物體受同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的力的作用下平衡時(shí)，這三個(gè)力的矢量箭頭首尾相接，構(gòu)成一個(gè)矢量三角形，利用三角形法具有直觀、簡便的特點(diǎn)。但必須注意三角函數(shù)法僅僅適用于三力平衡且出現(xiàn)直角三角形的情況。

【例5】如圖7所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質(zhì)量為m的小滑塊在水平力F的作用下靜止于P點(diǎn)。設(shè)滑塊所受支持力為N，OP與水平方向的夾角為θ。下列關(guān)系正確的是

( )

圖7

【答案】A

圖8

六、正弦定理和余弦定理

物體在三個(gè)互成角度的共點(diǎn)力作用下處于平衡，則這三個(gè)力組成一個(gè)閉合三角形，因而正弦定理在解決三力平衡問題中有廣泛應(yīng)用，它可使解題過程大大簡化。

【例6】如圖9所示，長為l的輕繩一端固定在傾角為θ的光滑斜面上，另一端系著半徑為r，質(zhì)量為m的均勻球，求：繩子對(duì)球的拉力和斜面對(duì)球的支持力的大小各為多大？

圖9

【解析】由于斜面光滑，球不受摩擦力作用，而重力mg和斜面支持力N均過球心，所以，繩子的拉力T也必將過球心。如圖10所示，以N、T為鄰邊作平行四邊形，求得合力為F，F(xiàn)與G等大、反向、共線。在△FTO中，由正弦定理，有

取球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力情況如圖10所示，以平行于和垂直于斜面的方向?yàn)閤和y軸方向建立坐標(biāo)系，于是有

圖10

Tcosα-mgsinθ=0 ，Tsinα+mgcosθ-N=0

七、圖解法

所謂圖解法就是通過平行四邊形的鄰邊和對(duì)角線長短的關(guān)系或變化情況，做一些較為復(fù)雜的定性分析，從圖形上直接就可以看出結(jié)果，進(jìn)而得到問題的結(jié)論。力的圖解法是解決動(dòng)態(tài)平衡類問題的常用分析方法，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀。

【例7】如圖11所示，小球用細(xì)繩系住，細(xì)繩的另一端固定于O點(diǎn)。現(xiàn)用水平力F緩慢推動(dòng)斜面體，小球在斜面上無摩擦地滑動(dòng)，細(xì)繩始終處于直線狀態(tài)，當(dāng)小球升到接近斜面頂端時(shí)細(xì)繩接近水平，此過程中斜面對(duì)小球的支持力FN以及細(xì)繩對(duì)小球的拉力FT的變化情況是

( )

圖11

【解析】本題利用圖解法比較容易求解：由于用水平力F緩慢推動(dòng)斜面體，故小球處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。小球受到大小方向均不變的重力、方向不變的斜面支持力、方向大小均變化的細(xì)繩的拉力，如圖12甲所示，三個(gè)力構(gòu)成封閉的三角形，畫出小球受力示意圖如圖12乙所示；當(dāng)細(xì)繩與斜面平行時(shí)，細(xì)繩拉力FT2與支持力方向垂直，細(xì)繩拉力最小，當(dāng)小球升到接近斜面頂端時(shí)細(xì)繩接近水平，細(xì)繩拉力為FT4，所以FT先減小后增大，而此過程中斜面對(duì)小球的支持力FN一直增大，選項(xiàng)D正確。

【答案】D

圖12

【結(jié)束語】解決平衡問題的基礎(chǔ)是對(duì)物體進(jìn)行受力分析,分析研究對(duì)象的受力情況要注意：①采用隔離法分析其他物體對(duì)研究對(duì)象的作用力，不能隨意增加力，也不能遺漏力，常用的辦法是首先確定重力，其次找接觸面，由于一個(gè)接觸面通常對(duì)應(yīng)一對(duì)彈力和摩擦力，因此找到接觸面后，判定這兩個(gè)力是否存在；最后再加上其他作用力，如拉力、推力等；②準(zhǔn)確畫出受力示意圖。