陸愛江　楊沁玉

(東華大學理學院物理系　上?！?01620)

在《量子力學》課程中一維定態(tài)問題是一個教學的重點．它是學習量子化概念的基礎(chǔ)，也是學生初次接觸薛定諤方程，對量子概念有所體會的生動范例．我們在課堂上對很多基本的一維勢阱、勢壘問題做出了細致的講解和計算，也有很多同仁對這些問題進行討論[1，2]．而對這一類問題——一維階梯勢問題[3，4],我們卻較少關(guān)注．此類問題在習題中、考研試卷中偶爾出現(xiàn)[5，6],考查學生求解一維薛定諤方程的基本技能．一維階梯勢的問題不是一個特殊的問題,但是在與學生的討論和教學中我們發(fā)現(xiàn),這是一個值得認真研究的問題．

1　高于零點的階梯勢 且粒子能量E>V0

1.1　粒子從左側(cè)入射

首先我們來看看教材中的習題設(shè)計[7]．首先,一維階梯勢的勢分布以分段函數(shù)形式給出 ，如圖1所示.

圖1　高于零點的一維階梯勢分布

(1)

假設(shè)粒子(能量E>V0)從左側(cè)入射,求解反射系數(shù)和透射系數(shù).

規(guī)范的求解步驟如下.

(1)寫出薛定諤方程

(2)

(2)對不同區(qū)域求解

I區(qū)

(3)

ψI=Aeikx+Re-ikx

(4)

II區(qū)

(5)

ψII=Teik′x

(6)

(7)

進而得到反射系數(shù)為

(8)

對這個結(jié)果我們可以討論兩種極限的情況．β≈0時(幾乎沒有階梯或者粒子能量遠大于階梯勢的高度)，反射系數(shù)趨近于零,粒子完全通過；β≈1時(粒子能量與階梯平齊)，反射系數(shù)趨近于1,粒子被完全反射,即粒子沒有機會進入到右側(cè)區(qū)域(Ⅱ)．

1.2　粒子從右側(cè)入射

如果粒子(能量E>V0)從右側(cè)入射,情況會不會不同呢?

(9)

ψⅡ=Ae-ikx+Reikx

(10)

(11)

ψⅠ=Te-ik′x

(12)

(13)

反射系數(shù)為

(14)

仔細觀察，上述結(jié)果式(14)與粒子從左側(cè)入射的結(jié)果式(8)完全相同．這個結(jié)果是不是令人感到驚奇？

可能很多同學在求解1.2問題之前,會想當然地認為,從左側(cè)入射的情況反射系數(shù)應該大于從右側(cè)入射的反射系數(shù)．這實際上是一個宏觀的印象——人在行走中上下臺階的困難程度是不同的．而實際上嚴格的求解告訴我們,在量子的范疇,階梯勢對粒子的反射幾率是同一的,不論粒子從哪一側(cè)入射．這一結(jié)果恰恰體現(xiàn)了量子世界的與眾不同．通過對這個題目的詳細求解應該會讓同學們對量子力學這門課程的獨特之處有一個更直接的體會．

2　高于零點的階梯勢 且粒子能量E

細心的同學會注意到,我們在解決上面問題時要求粒子的能量E>V0,那么如果粒子能量不滿足這個條件,其結(jié)果又會怎樣呢?我們假設(shè)粒子從左側(cè)入射,V0>E>0,薛定諤方程可以寫為

(15)

ψⅠ=Aeikx+Re-ikx

(16)

(17)

ψⅡ=Te-k′x

(18)

零點處連續(xù),所以

解得

反射系數(shù)為1．

3　低于零點的階梯勢

我們還看到很多習題中的一維階梯勢是這么給出的

(19)

如圖2所示.

圖2　低于零點的一維階梯勢分布

假設(shè)粒子(能量E>0)仍然從左側(cè)入射,求透射系數(shù)和反射系數(shù)．

(20)

ψⅠ=Aeikx+Re-ikx

(21)

(22)

ψⅡ=Teik′x

(23)

所以連續(xù)性條件給出

反射系數(shù)為

(24)

如果V0=βE(0<β<1)，反射系數(shù)即為

(25)

當β≈0時(幾乎沒有階梯或者粒子能量遠大于階梯勢高度)，反射系數(shù)趨近于零,粒子完全通過；E≈0時(相當于β→∞)，反射系數(shù)趨近于1,粒子被完全反射,即粒子沒有機會進入到右側(cè)區(qū)域(Ⅱ)．實際上，當能量E<0，粒子都將被完全反射，情況與2中的例子相同．

有的同學可能會對這一結(jié)果產(chǎn)生疑問．坐標的選擇完全是人為的呀，為什么我們把坐標軸向上移動了V0而已，反射系數(shù)的表達式就有所不同了．粒子能量與勢的關(guān)系均為V0=βE，其散射結(jié)果難道不應該是相同的嗎？這里可能大家忽略了一個細節(jié)——考慮兩種不同情況下粒子以相同能量E入射：從經(jīng)典的觀點考慮，當階梯勢高于零點，粒子的動能在x>0的區(qū)域為E-V0，而在x<0的區(qū)域為E；而當階梯勢與零點平齊，粒子的動能在x>0的區(qū)域為E，在x<0的區(qū)域為E-(-V0)=E+V0．也就是說以相同能量入射的粒子，在這兩種勢分布下，在x>0的區(qū)域其動能分別為E-V0和E，在x<0的區(qū)域，其動能分別為E和E+V0．所以，從能量零點選取的角度考慮，一種情況下入射能量為E對應另一種情況下入射能量為E-V0的情況．當入射粒子能量與階梯勢的相對關(guān)系一致時，所得的結(jié)果才會相同．

由一道簡單的一維階梯勢的問題，我們竟然可以得到這么多有趣的結(jié)果．這也啟發(fā)我們對很多《量子力學》中的問題需要舉一反三．我們傳統(tǒng)的課堂講授內(nèi)容可能更偏向于橫向的比較，比如一維無限深勢阱、一維有限深勢阱、一維諧振子……而對問題的縱向延伸做得不夠．這樣做的結(jié)果是，同學們對老師課堂講的例題能聽懂，但是自己做習題就完全無從下手．此文中這樣的舉一反三既可以增加一點課程的趣味性，也能夠激勵學生思考，對學過的內(nèi)容提出新的問題，這就是培養(yǎng)學生研究能力的一個有益模式．

IssueofOneDimensionalStaircasePotentialWorthyofInferingOtherThingsfromOneFact

Lu AijiangYang Qinyu

(Science College,Donghua University,Shanghai201620)

Abstract:Based on the quantum mechanics problem with one dimensional (1D) step-like potential, many an interesting results have been obtained.The moving directions of the injected particles and the position of the step-like potential are attributed to the main facets of this problem.It is a good exercise about 1D stationary state,and is a typical problem to show the specialty of quantum mechanics.

Keywords:step-like potential；potential function；transmission coefficient；reflectance

猜你喜歡

勢阱薛定諤反射系數(shù)

薛定諤：跟貓較勁兒的量子力學家

課堂內(nèi)外·初中版(科學少年)(2024年12期)2024-12-02 00:00:00

含有陡峭勢阱和凹凸非線性項的Kirchhoff型問題的多重正解

數(shù)學年刊A輯(中文版)(2022年3期)2023-01-05 10:03:50

分數(shù)階量子力學下的二維無限深方勢阱

數(shù)學物理學報(2022年4期)2022-08-22 04:07:08

Chern-Simons-Higgs薛定諤方程組解的存在性

數(shù)學物理學報(2021年6期)2021-12-21 06:24:22

時空分數(shù)階量子力學下的δ勢阱

數(shù)學物理學報(2021年6期)2021-12-21 06:24:02

對稱三勢阱玻色—愛因斯坦凝聚體的非線性效應

山西大同大學學報(自然科學版)(2021年4期)2021-08-24 08:38:30

多道隨機稀疏反射系數(shù)反演

石油物探(2020年6期)2020-11-25 02:38:46

一類相對非線性薛定諤方程解的存在性

數(shù)學物理學報(2019年1期)2019-03-21 05:26:28

薛定諤的餡

幽默大師(2019年6期)2019-01-14 10:38:13

球面波PP反射系數(shù)的頻變特征研究

地球物理學報(2016年10期)2016-11-08 03:04:04

物理通報2018年7期

物理通報的其它文章

設(shè)計型實驗教學實例

翻轉(zhuǎn)課堂教學模式下的大學物理實驗微課探究
——以光學實驗“牛頓環(huán)”為例

“彈力”課堂實驗教學觀察報告

基于高中生物理基礎(chǔ)差異的分層次大學物理教學研究與實踐*

物理教學中促進學生深度學習的策略探索

由相關(guān)變化率求相關(guān)速度