李　波,鄭　晨,王彥本

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院,陜西 西安 710121)

正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)采用相互正交的子載波傳輸信號(hào)，能夠提高數(shù)據(jù)傳輸速率，抵抗無(wú)線(xiàn)信道多徑傳輸帶來(lái)的頻率選擇性衰落[1]。自20世紀(jì)50年代出現(xiàn)至今，OFDM技術(shù)廣泛應(yīng)用于高比特率數(shù)字用戶(hù)線(xiàn)系統(tǒng)，數(shù)字音頻廣播系統(tǒng)和長(zhǎng)期演進(jìn)等系統(tǒng)中[2]。

信號(hào)的高峰均功率比(peak to average power ratio,PAPR)是OFDM技術(shù)應(yīng)用所面臨的難題之一。當(dāng)多個(gè)子載波上的信號(hào)出現(xiàn)同相疊加時(shí)，會(huì)產(chǎn)生超出大功率放大器(high power amplifier,HPA)線(xiàn)性工作范圍的尖峰信號(hào)，引起信號(hào)的畸變和頻譜的擴(kuò)散?，F(xiàn)有的主流的峰均比抑制方法包括削波限幅[3]、選擇映射(selected mapping,SLM)[4]、主動(dòng)星座擴(kuò)展(active constellation extension,ACE)[5]、部分序列傳輸(partial transmit sequences,PTS)[6]、壓擴(kuò)變換(companding)[7]和載波預(yù)留(tone reservation,TR)[8]等。其中預(yù)留子載波技術(shù)只使用一部分子載波傳輸數(shù)據(jù)，其余的子載波被預(yù)留出來(lái)，專(zhuān)門(mén)傳輸用于抑制峰均比的削峰信號(hào)。由于傳輸數(shù)據(jù)的子載波和存放削峰信號(hào)的子載波相互正交，因此削峰信號(hào)不會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)信號(hào)造成干擾。在接收端，削峰信號(hào)可以被直接濾除，而不需要發(fā)送任何邊帶信息。

經(jīng)典的預(yù)留子載波峰均比抑制算法中，限幅噪聲比(signal to clipping noise ratio-tone reservation,SCR-TR)算法通過(guò)使限幅噪聲功率比SCR取值最小，設(shè)立優(yōu)化目標(biāo)，推導(dǎo)PAPR抑制算法的迭代公式；通過(guò)工程優(yōu)化理論，僅選取最大峰值進(jìn)行處理，有效降低了算法復(fù)雜度，并可防止過(guò)度削峰帶來(lái)的帶外譜噪聲，但算法收斂速度緩慢[9]。

本文針對(duì)預(yù)留子載波峰均比抑制技術(shù)算法收斂速度慢、抑制效率低的問(wèn)題，研究PAPR抑制問(wèn)題的凸優(yōu)化建模和迭代過(guò)程的懲罰函數(shù)表達(dá)式；構(gòu)建基于預(yù)留子載波的聯(lián)合峰均功率比迭代過(guò)程；設(shè)計(jì)各懲罰函數(shù)項(xiàng)的加權(quán)組合，分析算法的合理性，并通過(guò)仿真驗(yàn)證該算法的PAPR抑制性能、誤碼率和帶外頻譜擴(kuò)散性能。

1　OFDM系統(tǒng)的預(yù)留子載波技術(shù)

下面給出基于預(yù)留子載波技術(shù)的OFDM發(fā)射系統(tǒng)原理及峰均功率比的定義。

1.1　預(yù)留子載波技術(shù)原理

基于預(yù)留子載波技術(shù)的OFDM系統(tǒng)發(fā)射系統(tǒng)原理，如圖1所示。

圖1　基于預(yù)留子載波技術(shù)的OFDM發(fā)射系統(tǒng)原理

圖1中，輸入的比特流經(jīng)過(guò)正交振幅調(diào)制(quadrature amplitude modulation,QAM)方式調(diào)制后，生成頻域信號(hào)

X=[X0,X1,…,XN-1]T。

數(shù)據(jù)子載波負(fù)責(zé)承載頻域信號(hào)數(shù)據(jù)X，而預(yù)留子載波負(fù)責(zé)承載頻域削峰信號(hào)C。J倍過(guò)采樣后的信號(hào)通過(guò)NJ快速傅里葉逆變換(inverse fast Fourier transform,IFFT)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為時(shí)域信號(hào)

x=[x1,x2,…,xn,…,xNJ]T。

同理，得到時(shí)域消峰信號(hào)

c=[c1,c2,…,cn,…,cNJ]T。

設(shè)OFDM系統(tǒng)的子載波總數(shù)為N，預(yù)留子載波總數(shù)為L(zhǎng)，過(guò)采樣率為J。圖1中經(jīng)過(guò)NJ點(diǎn)IFFT運(yùn)算后的時(shí)域數(shù)據(jù)信號(hào)可以表示為

其中n=1,2,…,NJ,所以上式可以改寫(xiě)為

其中，j表示虛數(shù)單位，xn為n時(shí)刻的OFDM時(shí)域信號(hào)，Xk是QAM調(diào)制后的頻域信號(hào)的第k個(gè)元素(k=1,2,…，NJ)，Q為傅立葉變換矩陣，Q矩陣的第m行n列(m,n=1,2,…，NJ)元素為

其中QJ是將矩陣Q中間的N(J-1)個(gè)全零列去掉后所得到的NJ行n列子陣。

1.2　峰均功率比的定義

OFDM信號(hào)峰均功率比定義為OFDM信號(hào)最大峰值功率與平均功率之比，OFDM信號(hào)的峰均功率比

其中，E[]表示數(shù)學(xué)期望。在衡量各類(lèi)算法抑制OFDM信號(hào)峰均功率比的效果時(shí)，常采用互補(bǔ)累積分布函數(shù)(complementary cumulative distribution function,CCDF)來(lái)刻畫(huà)。CCCDF是OFDM信號(hào)的峰均功率比超過(guò)指定門(mén)限值PPAPR(obj)的概率，定義為

CCCDF(PPAPR(obj))=Pr{PPAPR>PPAPR(obj)}。

2　聯(lián)合峰均功率比抑制算法

下面給出本文所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法的原理和步驟。

2.1　聯(lián)合峰均功率比抑制算法的原理

經(jīng)過(guò)削波限幅算法[9]處理后的信號(hào)可表示為

本文所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法是基于凸優(yōu)化建模構(gòu)建的[10]，聯(lián)合算法J可以通過(guò)3個(gè)變量表示為

其中β為縮放因子，g(·)為階躍函數(shù)，λ為罰因子，NJA為罰函數(shù)。

在限幅噪聲比(SCR-TR)算法[9]中

在最小平方逼近(least square approximation-tone reservation,LSA-TR)算法[11]中，

xm+1=xm+μcm。

其中μ和cm可分別看作是LSA-TR算法的罰因子和罰函數(shù)。cm是第m次迭代后的時(shí)域預(yù)留子載波信號(hào)。罰因子μ是依據(jù)最小平方法計(jì)算得出的，從而使μcm能夠在峰值出現(xiàn)位置盡可能地逼近限幅噪聲的幅度。

聯(lián)合峰均功率比抑制算法的原理，如圖2所示。

圖2　聯(lián)合峰均功率比抑制算法原理

2.2　算法步驟

所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法的主要步驟總結(jié)如下。

步驟1初始化設(shè)置。設(shè)定峰均功率比抑制目標(biāo)值PPAPR(obj)，子載波總數(shù)N，預(yù)留子載波總數(shù)L，最大迭代次數(shù)Mmax和限幅門(mén)限A。時(shí)域信號(hào)的初始值為x0，峰均功率比初始值為PPAPR(0)。

步驟2將輸入信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)X。將預(yù)留子載波上的信號(hào)初始化為零。經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)子載波和預(yù)留子載波的插值操作后，對(duì)X進(jìn)行NJ點(diǎn)的IFFT運(yùn)算生成時(shí)域信號(hào)x。將開(kāi)關(guān)K1置于1，K2置于2，開(kāi)始迭代運(yùn)算，此時(shí)m=1。

步驟4計(jì)算限幅噪聲fm=ym-xm。對(duì)fm做NJ點(diǎn)的傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)運(yùn)算，生成Fm。將Fm數(shù)據(jù)子載波上的信號(hào)置為零，從而得到頻域削峰信號(hào)Cm。Cm經(jīng)NJ點(diǎn)的IFFT運(yùn)算轉(zhuǎn)換為時(shí)域削峰信號(hào)cm，即為L(zhǎng)SA-TR方法中的懲罰函數(shù)。

步驟5計(jì)算LSA-TR方法中的罰因子

步驟6將Fm預(yù)留子載波上的信號(hào)置為0，并將得到的頻域數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行主動(dòng)星座擴(kuò)展修正。

步驟7計(jì)算cm在xm上的投影值，得到投影系數(shù)

其中

步驟8計(jì)算SGP-ACE方法中的罰因子

其中元素表示為

步驟9用LSA-TR和SGP-ACE方法中的罰因子分別乘以各自的罰函數(shù)，并與SCR-TR方法一起加權(quán)組合，構(gòu)成迭代公式，得到xm+1。其中SCR-TR方法的迭代步長(zhǎng)選取LSA-TR方法中的罰因子μm。各算法在加權(quán)迭代過(guò)程中的權(quán)值(縮放因子)可由仿真實(shí)驗(yàn)調(diào)整。

步驟10計(jì)算xm+1的峰均功率比數(shù)值PPAPR(m+1)。若PPAPR(m+1)已經(jīng)達(dá)到或超過(guò)PPAPR(obj)，停止迭代。如果迭代次數(shù)大于Mmax，停止迭代。迭代停止時(shí)，將K2置于1，輸出xm+1。否則，迭代次數(shù)加1，返回第3步，繼續(xù)進(jìn)行迭代運(yùn)算。

3　仿真結(jié)果及分析

通過(guò)Matlab仿真，比較分析所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法的峰均功率比抑制性能、誤碼率及帶外頻譜擴(kuò)散性能。

在以下各種仿真模型中，均設(shè)定OFDM系統(tǒng)中的子載波數(shù)N=1 024，其中預(yù)留子載波數(shù)L=54。OFDM符號(hào)數(shù)為1 000，過(guò)采樣率J=4。針對(duì)過(guò)采樣后的OFDM時(shí)域信號(hào)，設(shè)定削波門(mén)限A=2E{|xm|}。星座調(diào)制方式分別采用正交相移鍵控(quadrature phase shift keyin,QPSK)或正交幅度調(diào)制(quadrature amplitude modulation,16QAM)。無(wú)線(xiàn)信道模型分別選取高斯信道(additive white Gaussian noise,AWGN)模型或萊斯(Rician)信道模型。

3.1　聯(lián)合峰均功率比抑制算法的抑制效果

所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法和其他6種基于預(yù)留子載波技術(shù)的經(jīng)典峰均功率比抑制算法的PAPR抑制性能進(jìn)行了對(duì)比。

這幾種經(jīng)典算法分別是：凸集投影(projections onto convex scts-tone reservation，POCS-TR)算法[13]、削波限幅(clipping-TR)算法[9]、限幅噪聲比(SCR-TR)算法[9]、主動(dòng)星座擴(kuò)展(active-set)算法[14]、最小平方逼近(LSA-TR)算法[11]和智能梯度投影主動(dòng)星座擴(kuò)展(SGP-ACE TR)算法[5]。峰均功率比抑制性能比較，如圖3所示。

圖3　峰均功率比抑制性能比較

如圖3所示，仿真中同時(shí)給出了原始OFDM信號(hào)的峰均功率比互補(bǔ)累積分布函數(shù)(CCDF)曲線(xiàn)，從而可以清晰地觀察不同算法的峰均功率比抑制效果。

如圖3所示，僅經(jīng)過(guò)1次迭代運(yùn)算(m=1)，所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法的峰均功率比的抑制性能已經(jīng)優(yōu)于POCS-TR、Clipping-TR、SCR-TR和active-set這4種算法各自經(jīng)過(guò)6次迭代運(yùn)算(m=6)所達(dá)到的抑制效果。所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法經(jīng)過(guò)2次迭代運(yùn)算(m=2)后的峰均功率比抑制性能優(yōu)于LSA-TR和SGP-ACE TR算法分別經(jīng)過(guò)6次迭代運(yùn)算所能達(dá)到的抑制效果。經(jīng)過(guò)3次迭代運(yùn)算(m=3)后，所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法在CCCDF=10-3時(shí)，峰均功率比抑制能力可以達(dá)到6.359 dB。在相同峰均功率比抑制性能的要求下，所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法需要的迭代次數(shù)明顯小于其他6種經(jīng)典子載波預(yù)留算法。

3.2　聯(lián)合峰均功率比抑制算法的誤碼率比較

所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法與3中經(jīng)典算法的誤比特率(bit error ratio,BER)在高斯信道(additive white Guassian noise，AWGN)和QPSK星座調(diào)制方式下比較，如圖4所示。

圖4　高斯信道下的誤比特率比較

如圖4所示，所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法在分別經(jīng)過(guò)1、2、3次迭代后的BER曲線(xiàn)幾乎重合在一起。迭代次數(shù)的增加并不會(huì)明顯惡化BER性能。當(dāng)比特信噪比小于7 dB時(shí)，所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法的BER性能與SGP-ACE TR和LSA-TR算法經(jīng)過(guò)6次迭代后的BER曲線(xiàn)幾乎重合。當(dāng)比特信噪比大于7 dB小于10 dB時(shí)，所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法的BER性能開(kāi)始下降，但仍然優(yōu)于SCR-TR算法的BER性能。

不同峰均功率比抑制算法在16QAM星座調(diào)制方式下對(duì)比，如圖5所示。

圖5　高斯信道的誤比特率比較(16QAM)

通過(guò)高斯信道(AWGN)后的誤碼率曲線(xiàn)。所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法的誤比特率(BER)隨迭代次數(shù)的增加，沒(méi)有明顯的惡化。第3次迭代后的BER性能甚至略?xún)?yōu)于第2次迭代的BER性能。與其他3種經(jīng)典算法相比，當(dāng)比特信噪比小于9 dB時(shí)，聯(lián)合峰均功率比抑制算法仍?xún)?yōu)于SCR-TR算法的BER性能。對(duì)比圖3可知，聯(lián)合峰均功率比抑制算法能夠用BER性能的略微下降換取峰均功率比抑制效果的顯著提高。

不同峰均功率比抑制算法在QPSK星座調(diào)制方式下，通過(guò)萊斯信道(Rician)后BER特性如圖6所示。

圖6　萊斯信道下的誤比特率比較

當(dāng)信噪比小于11 dB時(shí)，所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法在迭代1、2、3次后的BER性能優(yōu)于SGP-ACE TR和SCR-TR算法各自迭代6次后的BER性能。迭代次數(shù)的增加并不會(huì)造成聯(lián)合峰均功率比抑制算法的BER性能明顯惡化。

3.3　聯(lián)合峰均功率比抑制算法的功率譜密度比較

分別經(jīng)過(guò)所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法和其他3種經(jīng)典PAPR抑制算法優(yōu)化后，OFDM信號(hào)的功率譜密度(power spectral density,PSD)曲線(xiàn)，如圖7所示。

圖7　不同算法在QPSK調(diào)制下的功率譜密度比較

PSD曲線(xiàn)的“帽檐”越高，說(shuō)明該算法的頻譜擴(kuò)散越嚴(yán)重。為了便于比較，同時(shí)給出了原始OFDM信號(hào)的PSD曲線(xiàn)。由圖7可見(jiàn)，SGP-ACE TR算法的帶外頻譜擴(kuò)散性能最差。所提出的聯(lián)合峰均功率比抑制算法經(jīng)過(guò)1、2、3次迭代處理后的PSD性能接近SCR-TR和LSA-TR算法，且明顯優(yōu)于SGP-ACE TR算法。

4　結(jié)語(yǔ)

本文提出基于預(yù)留子載波的聯(lián)合峰均功率比抑制算法，研究該算法的峰均功率比抑制性能與誤碼率、帶外頻譜擴(kuò)散性能的相互折衷。本文的主要貢獻(xiàn)在于：

(1)參照峰均功率比抑制問(wèn)題的凸優(yōu)化建模和懲罰函數(shù)表達(dá)式，對(duì)多種經(jīng)典子載波預(yù)留算法進(jìn)行理論分析，找出每種算法能夠使迭代過(guò)程快速收斂的懲罰函數(shù)。

(2)對(duì)SCR-TR、SGP-ACE TR和LSA-TR的峰均比抑制懲罰函數(shù)進(jìn)行加權(quán)組合，生成聯(lián)合峰均功率比抑制算法的迭代過(guò)程。

(3)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析聯(lián)合峰均功率比抑制算法的峰均功率比抑制效果。評(píng)估該算法高性能的峰均功率比抑制效果與誤碼率和帶外頻譜擴(kuò)散性能之間的折衷。

(4)對(duì)比聯(lián)合峰均功率比抑制算法與其他經(jīng)典峰均功率比抑制算法的各項(xiàng)性能。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，聯(lián)合峰均功率比抑制算法僅需2次迭代，便可以超越其他經(jīng)典算法經(jīng)過(guò)6次迭代才能達(dá)到的峰均功率比抑制效果。由迭代次數(shù)大幅下降所節(jié)省的優(yōu)化時(shí)間較為可觀。聯(lián)合峰均功率比抑制算法的BER性能在比特信噪比相對(duì)較小的信道環(huán)境中更具優(yōu)勢(shì)。該算法的帶外頻譜擴(kuò)散性能沒(méi)有明顯的惡化。