徐曉惠,　徐　全,　施繼忠,　張繼業(yè),　陳子龍

(1. 西華大學汽車測控與安全四川省重點實驗室，四川 成都 610039; 2. 西華大學流體及動力機械教育部重點實驗室, 四川 成都 610039; 3. 西華大學技術學院, 四川 成都 610039; 4. 浙江師范大學工學院, 浙江 金華 321004; 5. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室, 四川 成都 610031)

Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡[1]一方面在模型上包含了Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡、細胞神經(jīng)網(wǎng)絡、遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡等,另一方面該類型神經(jīng)網(wǎng)絡在聯(lián)想記憶、并行計算、非線性優(yōu)化等領域具有不可取代的優(yōu)勢,因此對Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡的動態(tài)行為的研究引起了學者們的廣泛興趣.由于在神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的硬件實現(xiàn)過程中,信號處理速度和傳輸速度有限使得時間滯后現(xiàn)象不可避免.時間滯后的存在不但影響神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)狀態(tài)的收斂性,甚至導致系統(tǒng)發(fā)生振蕩.文獻[2-5]針對幾類具有時間滯后的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的動態(tài)行為進行了研究,并取得了重要的研究成果.硬件電子網(wǎng)絡在運行過程中容易遭受瞬間干擾,使得系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生突然變化,即出現(xiàn)脈沖效應.文獻[6-8]建立了具有脈沖干擾的連續(xù)-離散型Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡模型,研究了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性,并分析了脈沖干擾對系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度的影響.文獻[2-8]所得到的穩(wěn)定性條件均針對定義在實數(shù)域下的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡.復數(shù)域神經(jīng)網(wǎng)絡在自適應信號處理、醫(yī)學影像、通信工程、優(yōu)化計算等應用領域具有實數(shù)域神經(jīng)網(wǎng)絡不可取代的優(yōu)勢,因此對復數(shù)域神經(jīng)網(wǎng)絡的動態(tài)行為分析成為近年的一個研究熱點[9-12].文獻[13]假設激活函數(shù)分別滿足解析性和Lipschitz條件的情況下,對一類具有時間滯后的離散型復數(shù)域神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的穩(wěn)定性和周期性進行了分析.SONG等[14]利用線性矩陣不等式技術及加權(quán)Lyapunov函數(shù)法,對一類具有可變時滯和脈沖干擾的復數(shù)域Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡的平衡點的存在性、唯一性以及模指數(shù)穩(wěn)定性進行了研究.文獻[15]在假設激活函數(shù)滿足全局Lipschitz條件的前提下,利用矢量Lyapunov函數(shù)法和M矩陣相關原理,分析了一類具有混合時滯和脈沖干擾的復數(shù)域Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的模指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[16]進一步在假設復數(shù)域激活函數(shù)滿足解析性的情況下,將文獻[15]中的復數(shù)域神經(jīng)網(wǎng)絡模型拆分成實部系統(tǒng)和虛部系統(tǒng),利用矢量Lyapunov函數(shù)法得到了確保該系統(tǒng)平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.文獻[17]研究了具有時滯和脈沖干擾的復數(shù)域分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的全局漸近穩(wěn)定性.文獻[9-17]的研究是針對復數(shù)域Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡進行展開的,所取得的研究成果無法直接應用于復數(shù)域Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡.ZHAO等[18]利用同胚映射和M矩陣原理對一類具有時滯的復數(shù)域Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的存在性、唯一性和模指數(shù)穩(wěn)定性進行了分析.文獻[18]假設Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)中的自反饋函數(shù)是線性函數(shù),且沒有在模型中考慮脈沖干擾現(xiàn)象.

基于以上分析,本文將在假設復數(shù)域放大函數(shù)具有下界,并且復數(shù)域自反饋函數(shù)為非線性函數(shù)的情況下,采用同胚映射和M矩陣相關原理,對一類具有變時滯和脈沖干擾的復數(shù)域Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡的平衡點的存在性、唯一性進行研究,并利用矢量Lyapunov函數(shù)法和數(shù)學歸納法,對該系統(tǒng)平衡點的模指數(shù)穩(wěn)定性進行分析.

1　模型描述、基本假設以及引理

對于復數(shù)向量z∈Cn,令

|z|=(|z1|,|z2|,…,|zn|)T,

并定義

假設系統(tǒng)的神經(jīng)元狀態(tài)、關聯(lián)矩陣、自反饋函數(shù)以及激活函數(shù)均定義在復數(shù)域的情況下,本文考慮了如下具有可變時滯和脈沖干擾的復數(shù)域Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡:

(1)

式中:

i,j為神經(jīng)元序號,i,j=1,2,…,n,其中n為神經(jīng)元個數(shù);

zi(t)為第i個神經(jīng)元狀態(tài)，zi(t)∈C,t為時間;

A和B分別為該系統(tǒng)的關聯(lián)矩陣，A=(aij)n×n∈Cn×n，B=(bij)n×n∈Cn×n;

J(t)為系統(tǒng)的外部輸入;

hi(zi(t))為該系統(tǒng)的放大函數(shù)，J(t)=(J1(t),J2(t),…,Jn(t))T∈Cn;

di(zi(t))為該系統(tǒng)的自反饋函數(shù);

fi(zi(t))為該系統(tǒng)的激活函數(shù);

定義1若存在常數(shù)Γ>0和λ>0,對所有J∈Cn及t≥0,有

成立,則稱系統(tǒng)(1)的平衡點z#是全局模指數(shù)穩(wěn)定的.

假設1假設對所有ui(t),vi(t)∈C,存在正數(shù)ωi>0,使得復數(shù)域自反饋函數(shù)di(·)滿足

注1在文獻[14,16]中,令復數(shù)域激活函數(shù)可分解成實部部分和虛部部分,并要求其偏導數(shù)滿足有界性和解析性.根據(jù)Liouville’s定理可知,若選取滿足有界性和光滑性的復數(shù)域激活函數(shù),則復數(shù)域激活函數(shù)只能為復數(shù)域常數(shù),即復數(shù)域激活函數(shù)無法滿足有界性和光滑性.該假設限制了人工神經(jīng)網(wǎng)絡設計時復數(shù)域激活函數(shù)的選取.此外文獻[18]也指出,若復數(shù)域激活函數(shù)滿足上述條件,則必滿足Lipschitz條件,反之則未必成立.

為了便于設計人工神經(jīng)網(wǎng)絡時復數(shù)域激活函數(shù)的選擇,對其作出如下假設.

假設2假設激活函數(shù)fi(·)滿足全局Lipschitz條件,即存在Lipschitz常數(shù)li>0,使得對所有ui,vi∈C,有|fi(ui)-fi(vi)|≤li|ui-vi|成立.令L=diag(l1,l2,…,ln).

假設3假設放大函數(shù)hi(zi(t))具有下界,即假設存在正實數(shù)σi,使得hi(zi(t))滿足hi(zi(t))≥σi>0.

本文所討論的脈沖干擾作為一種外部干擾引入到系統(tǒng)(1)中,該擾動影響系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度,即產(chǎn)生不利影響.因此,在對脈沖強度進行假設時只考慮脈沖強度的上界,具體如下.

注2當系統(tǒng)(1)中自反饋函數(shù)是線性函數(shù)(即di(zi(t))=cizi(t),ci>0),且系統(tǒng)(1)中沒有脈沖干擾時,則系統(tǒng)(1)的模型與文獻[18]所研究的復數(shù)域Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡是相同的.當系統(tǒng)(1)中放大函數(shù)hi(zi(t)=1時,且自反饋函數(shù)是線性函數(shù)時(即di(zi(t))=cizi(t),ci>0),則系統(tǒng)(1)的模型與文獻[14]所研究的復數(shù)域Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型是相同的.以上討論說明本文的模型更具有一般性.

引理1[7]對于矩陣P=(pij)n×n∈Rn×n,如果所有非對角元素pij≤0,i≠j,則以下的陳述是等價成立的:

(1)P為M矩陣;

(2)P的各階順序主子式均為正;

(3) 存在ξ∈Rn>0,使得Pξ>0;

(4)P的所有特征根的實部為正.

引理2[15]如果H(z)是定義在復數(shù)空間Cn上的連續(xù)函數(shù),并滿足如下條件:

(1)H(z)在Cn上是單葉映射，

則H(z)是Cn上的同胚映射.

2　主要結(jié)論

exp(0.5λτ)|bij|)<0,

(2)

那么系統(tǒng)(1)對于任意外部輸入J∈Cn均存在唯一平衡點z#,且該平衡點是全局模指數(shù)穩(wěn)定的,指數(shù)收斂率為0.5(λ-η).

證明該定理結(jié)論的證明分兩個部分,分別為該系統(tǒng)平衡點z#的存在的性和唯一性以及在脈沖干擾下系統(tǒng)平衡點z#的全局模指數(shù)穩(wěn)定性.

步驟Ⅰ首先利用同胚映射和M矩陣的相關原理證明該系統(tǒng)平衡點z#的存在的性和唯一性.

定義H(z)=(H1(z),H2(z),…,Hn(z))T是與系統(tǒng)(1)相關的一個映射,其中

(3)

若H(z)是Cn上的同胚映射,則顯然系統(tǒng)(1)存在唯一平衡點z#.

(1) 首先證明H(z)是定義在Cn上的單葉映射.

由定理中不等式(2)可知不等式(4)是成立的.

(4)

根據(jù)M矩陣的相關引理1知,矩陣Q=(qij)n×n是M矩陣,其中:

此外,由于不等式(4)成立可知,存在一個充分小的正數(shù)δ>0,使得不等式(5)成立.

(5)

若存在u,v∈Cn,u=(u1,u1,…,un)T,v=(v1,v1,…,vn)T,且u≠v,使得Hi(u)=Hi(v),即

(6)

整理式(6)后,兩邊同時取模,有

|di(ui)-di(vi)|=

考慮到假設1和假設2,有

(7)

將式(7)進一步整理,有

lj|uj-vj|≤0,

即Q|u-v|≤0.由于Q是M矩陣,因此detQ>0且Q-1存在,故而有|u-v|=0,即u=v.也就是說Hi(z)是單葉映射,i=1,2,…,n.

即

(8)

(9)

將式(9)兩邊同時取共軛,有

(10)

將式(9)和式(10)相加,并考慮到假設1和假設2,有

(11)

將式(11)兩邊同時乘ξi,并求和得到

考慮到不等式(5),可知

進一步整理上式有

綜合上述(1)和(2)的證明可知,映射H(z)是Cn上的同胚映射,因此系統(tǒng)(1)存在唯一平衡點z#.

步驟Ⅱ下面將利用矢量Lyapunov函數(shù)方法和數(shù)學歸納法證明系統(tǒng)(1)的平衡z#點在脈沖干擾下是全局模指數(shù)穩(wěn)定的.

(12)

顯然若證明系統(tǒng)(1)的平衡點z#是全局模指數(shù)穩(wěn)定的,只需證明系統(tǒng)(12)的零解是全局模指數(shù)穩(wěn)定的.

選擇矢量Lyapunov函數(shù)

當0

(13)

令U=(U1,U2,…,Un)T,

即

D+0Vi(t)=2Ui(t)D+Ui(t).

將其代入到不等式(13)中,有

(14)

進一步可得Ui(t)<ξiχ0,0

tk-1≤t

(15)

t0≤t

其中η0=1.根據(jù)前面的分析可知該式顯然是成立的.

假設不等式(16)成立,

tw-1≤t

(16)

由于ηw≥1,進而不等式(16)變?yōu)?/p>

tw-τ≤t≤tw.

(17)

ηw-1ηwξiχ0,tw≤t≤tw+1.

(18)

ηw-1ηwξm*χ0,tw≤t*

ηw-1ηwξjχ0,tw-τ

(20)

將式(19)和式(20)代入到不等式(14)中,并考慮到不等式(2),有

D+0Um*(t*)≤

η0η1η2…ηw-1ηwχ0<0.

這與假設D+0Um*(t*)≥0是矛盾的,因此不等式(16)是成立的.

tk-1≤t

(21)

ηk≤exp(0.5η(tk-tk-1)),

exp(0.5η(t2-t1))…

exp(0.5η(tk-1-tk-2))ξiχ0exp(-0.5λt)<

tk-1≤t

進一步,有

exp(-0.5(λ-η)(t-t0))=

根據(jù)定義1可知,系統(tǒng)(12)的零解是全局模指數(shù)穩(wěn)定的,即系統(tǒng)(1)的平衡點z#是全局模指數(shù)穩(wěn)定的,即

綜合步驟Ⅰ和步驟Ⅱ可知,系統(tǒng)(1)存在唯一平衡點z#,且該平衡點是在脈沖干擾下是全局模指數(shù)穩(wěn)定的,指數(shù)收斂率為0.5(λ-η).證畢.

注3容易驗證當系統(tǒng)(1)中的神經(jīng)元狀態(tài)、關聯(lián)矩陣以及各函數(shù)定義在實數(shù)域時,本文的研究方法和所建立的判據(jù)對相應的實值神經(jīng)網(wǎng)絡仍適用.

注4若系統(tǒng)(1)中沒有脈沖干擾,此時確保系統(tǒng)(1)平衡點存在性、唯一性和全局模指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件則為:若假設1～3是成立的,并且矩陣Q是M矩陣,其中:

則系統(tǒng)(1)存在唯一平衡點,且該平衡點是全局模指數(shù)穩(wěn)定的.

注5當神經(jīng)網(wǎng)絡實際應用于聯(lián)想記憶時,系統(tǒng)具有多個平衡點,此時需分析確保該系統(tǒng)多平衡點的Lagrange穩(wěn)定性或多穩(wěn)定性,見文獻[19-20].當神經(jīng)網(wǎng)絡實際應用于優(yōu)化計算時,期望系統(tǒng)具有唯一的平衡點,此時需分析確保系統(tǒng)平衡點的存在性和唯一性.本文基于矢量Lyapunov函數(shù)法和M矩陣理論得到了確保系統(tǒng)平衡點存在性、唯一性和Lyapunov意義下的全局模指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.此外,本文放寬了文獻[18]對放大函數(shù)和自反饋函數(shù)的限制,并考慮了脈沖干擾對系統(tǒng)的影響,所得到的結(jié)論更具有一般性.

3　數(shù)值仿真算例

考慮如式(22)復數(shù)域Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng),

(22)

情況1假設已知:

加權(quán)矩陣分別為

激活函數(shù)為

脈沖發(fā)生時刻為

{0.3 s,0.9 s,1.2 s…};

λ=8;

ξ=(0.5,0.7)T.

經(jīng)計算,有ω1=8,ω2=5,σ1=2,σ2=3,l1=0.250,l2=0.375,η=6.86.

令系統(tǒng)(22)中的時延為

τ1j=0.02-0.01sint,

τ2j=0.03-0.01cost,

j=1,2,t≥0.

顯然τ=0.04 s.

令初始條件為

z1(s)=0.3-0.2i,z2(s)=-0.5+0.4i,

s∈[-0.04,0],

J1(t)=0,J2(t)=0.

進一步計算有

exp(0.5λτ)|b1j|)=-0.860<0,

exp(0.5λτ)|b2j|)=-0.591<0.

容易驗證以上條件滿足定理的假設,故根據(jù)定理可得結(jié)論:系統(tǒng)(22)存在唯一零解,且該零解是全局模指數(shù)穩(wěn)定的,指數(shù)收斂率為0.57.關于系統(tǒng)(22)的仿真結(jié)果見圖1和圖2,圖1給出了沒有脈沖干擾時系統(tǒng)(22)的神經(jīng)元狀態(tài)z1(t)和z2(t)的模曲線,圖2給出了在脈沖干擾影響下系統(tǒng)(22)的神經(jīng)元狀態(tài)z1(t)和z2(t)的模曲線.由仿真結(jié)果可知該系統(tǒng)狀態(tài)的模是收斂的.仿真結(jié)果驗證了本文結(jié)論的正確性.

圖1　情況1下無脈沖干擾時系統(tǒng)(22)狀態(tài)的模曲線Fig.1　Module curves of neuro states of Eq.(22) without impulsive disturbances under case 1

圖2　情況1脈沖干擾下系統(tǒng)(22)狀態(tài)的模曲線Fig.2　Module curves of neuro states of Eq.(22) with impulsive disturbances under case 1

圖3　情況2下無脈沖干擾時系統(tǒng)(22)狀態(tài)的模曲線Fig.3　Module curves of neuro states of Eq.(22) without impulsive disturbances under case 2

圖4　情況2下脈沖干擾下系統(tǒng)(22)狀態(tài)的模曲線Fig.4　Module curves of neuro states of Eq.(22) with impulsive disturbances under case 2

4　結(jié)　論

針對一類具有脈沖干擾和可變時滯的復數(shù)域Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡,在假設復數(shù)域放大函數(shù)具有下界且復數(shù)域自反饋函數(shù)為非線性函數(shù)的情況下,采用同胚映射和M矩陣相關原理對該系統(tǒng)平衡點的存在性、唯一性進行了研究,然后利用矢量Lyapunov函數(shù)法和數(shù)學歸納法得到了確保該系統(tǒng)平衡點的全局模指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.本文所得到的判據(jù)同時顯示了時滯和脈沖干擾對系統(tǒng)平衡點動態(tài)行為的影響,即時滯越大,脈沖干擾強度越大,系統(tǒng)神經(jīng)元狀態(tài)的收斂速度則越慢.該研究成果不但推廣了現(xiàn)有結(jié)論,并且具有較低的保守性.最后給出的兩個數(shù)值算例驗證了本文結(jié)論的可行性,同時算例仿真結(jié)果證明了結(jié)論的正確性.

致謝:流體及動力機械教育部重點實驗室研究基金 (szjj2016-007); 汽車測控與安全四川省重點實驗室研究基金(szjj2017-074).