鄧嘉鳴 許 可 趙迎春 沈惠平 張 震 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

0 引言

三自由度的三維純平移和三維純轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)已得到了較多的研究與應(yīng)用[1-4]，而具有轉(zhuǎn)動和移動混合輸出的三自由度并聯(lián)機構(gòu)同樣具有較好的研究價值。有關(guān)一平移兩轉(zhuǎn)動(1T2R)并聯(lián)機構(gòu)的研究，已有3-PRRU并聯(lián)機構(gòu)[5]，Exechon機器人[6-7]中的2-UPR-SPR并聯(lián)機構(gòu)，Tricept和TriVariant機器人[8-10]中的3-UPS-UP和2-UPS-UP并聯(lián)機構(gòu)。王飛博等[11]運用基于螺旋理論的運動/力傳遞性能指標(biāo)對3-PRRU、2-PRU-PRRU和2-PRS-PRRU 3種1T2R并聯(lián)機構(gòu)進行構(gòu)型優(yōu)選。汪滿新等[12]運用虛擬鏈法對1T2R型并聯(lián)機構(gòu)進行型綜合，得到多種含冗余驅(qū)動/過約束的新構(gòu)型。HUNT[13]提出一種動平臺包含寄生運動的3-PRS并聯(lián)機構(gòu)，JOSHI等[14]對此機構(gòu)進行了奇異分析。

目前，對兩平移一轉(zhuǎn)動(2T1R)機構(gòu)研究相對較少，但這類機構(gòu)可用作空間抓放定位操作、娛樂設(shè)備、調(diào)姿裝備等，例：KONG等[15]、楊寧等[16]分別基于螺旋理論對2T1R型并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)綜合進行了研究；REFAAT等[17]根據(jù)位移李群理論對三自由度混合運動并聯(lián)機構(gòu)進行型綜合研究；張彥斌等[18]根據(jù)線性變換理論，對無奇異完全各向同性2T1R型空間并聯(lián)機構(gòu)進行了結(jié)構(gòu)綜合，楊廷力等[19-21]基于單開鏈單元理論對2T1R型并聯(lián)機構(gòu)進行了型綜合，得到多種含有平面閉回路結(jié)構(gòu)的新型機構(gòu)。

寄生運動，即伴隨運動、派生運動、衍生運動，是指并聯(lián)機構(gòu)動平臺的運動輸出量數(shù)目大于機構(gòu)的自由度(或驅(qū)動副數(shù)目)的那一部分運動，它是由獨立運動派生(或衍生)的。一般情況下不希望產(chǎn)生寄生運動，因為對需要精確輸出運動的機構(gòu)來說，其運動規(guī)劃與控制比較復(fù)雜；但文獻[22-23]卻逆向思考，提出了“少輸入-多輸出并聯(lián)機構(gòu)”的研究對象、設(shè)計理論和方法，設(shè)計的系列含寄生運動的并聯(lián)機構(gòu)，并應(yīng)用于篩分[24-25]、康復(fù)[26-27]混合、娛樂等不需要精確運動的裝備上。

本文研究無寄生運動的2T1R機構(gòu)。根據(jù)基于方位特征(POC)的并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計理論與方法[19-21]，設(shè)計一種能實現(xiàn)空間兩平移一轉(zhuǎn)動(2T1R)的并聯(lián)機構(gòu)(RPa‖3R)-R+RSS；對該機構(gòu)進行拓撲特征、位置正反解求解、動平臺工作空間及其轉(zhuǎn)動能力、奇異位形，以及速度與加速度的分析。

1 2T1R并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計及拓撲分析

1.1 機構(gòu)設(shè)計

根據(jù)基于方位特征(POC)方程的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論和方法[20-21]，本文提出的2T1R并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示，靜平臺0與動平臺1用一條無約束支鏈(SOC)和一條混合支鏈HSOC聯(lián)接。

圖1 非對稱零耦合度(RPa‖3R)-R+RSS機構(gòu)Fig.1 Asymmetric and zero coupling degree mechanism (RPa‖3R)-R+RSS

因此，整個并聯(lián)機構(gòu)記為(RPa‖3R)-R+RSS。

1.2 機構(gòu)拓撲特性分析

1.2.1機構(gòu)的POC計算

1.2.1.1并聯(lián)機構(gòu)的POC方程[22]為

(1)

(2)

式中MPa——機構(gòu)動平臺的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

Msj——支鏈中第j個子SOC的POC集

1.2.1.2動平臺的POC集

(1)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)

組成子并聯(lián)機構(gòu)的Ⅰ、Ⅱ支鏈的拓撲結(jié)構(gòu)分別為

SOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-}
SOC2{-R21‖R22‖R23-}

靜平臺0上R11與R21為垂直布置，即R21⊥R11；R31可任意布置，取R31‖R11。選定動平臺1上的任一點為基點O′。

(2)確定混合支鏈HSOC末端構(gòu)件的POC集

設(shè)H為子并聯(lián)機構(gòu)子平臺上的任一點，則子平臺產(chǎn)生的POC集為

表明子平臺1′僅產(chǎn)生oyz平面內(nèi)的二維平移。

而混合支鏈未端產(chǎn)生的POC集為

(3)確定動平臺POC集

因無約束支鏈RSS的POC集為3T3R，因此，動平臺1的POC集為

表明動平臺1僅產(chǎn)生在垂直于R23軸線平面(即oyz平面)內(nèi)的二維平移，以及繞R4軸線的轉(zhuǎn)動，而沒有其他的寄生運動或伴隨運動。

1.2.2機構(gòu)自由度計算

1.2.2.1并聯(lián)機構(gòu)全周性自由度公式[24]為

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機構(gòu)自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數(shù)n——構(gòu)件數(shù)

v——獨立回路數(shù)

ξLj——第j個回路的獨立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——j+1條支鏈末端構(gòu)件的POC集

1.2.2.2機構(gòu)的DOF計算

(1)確定獨立回路的位移方程數(shù)

該機構(gòu)可分解為2個獨立回路，其組成分別為

HSOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-
R23‖R22‖R21-}
SOC3{-R4-S32-S31-R31-}

它們的獨立位移方程數(shù)計算如下：

①支鏈Ⅰ、Ⅱ組成的子并聯(lián)機構(gòu)為第1個獨立回路，可得

該子并聯(lián)機構(gòu)的POC集為

可得該子并聯(lián)機構(gòu)的自由度為

此即表明，子平臺1′在oyz平面內(nèi)產(chǎn)生的二維平移，僅由該回路內(nèi)的驅(qū)動副R11、R21決定，因此，該機構(gòu)具有部分輸入-輸出運動解耦性。

②上述子并聯(lián)機構(gòu)與單開鏈SOC3組成第2個回路，可得

(2)確定該并聯(lián)機構(gòu)的自由度

因此，該機構(gòu)的自由度為3，可取靜平臺上的R11、R21、R31為驅(qū)動副。

注：若將該機構(gòu)視為僅由產(chǎn)生2T1R的等效混合支鏈和一條簡單支鏈組成的一個獨立回路，即

SOC{-P*-P*-R4-S32-S31-R31-}

則其獨立位移方程數(shù)為

則機構(gòu)自由度為

顯然，自由度計算時，如將含回路的子并聯(lián)機構(gòu)用等效支鏈替代，則計算過程比較方便。

1.2.3機構(gòu)耦合度κ計算

(1)耦合度定義

由基于序單開鏈(SOC)單元的機構(gòu)組成原理[22]知，任意機構(gòu)可分解為若干個基本運動鏈(Basic kinematics chain，BKC)；而獨立回路為v的BKC可進一步分解為v個單開鏈SOC(Δj)(j=1,2，…,v)，而第j個單開鏈(SOCj)的約束度定義為

(5)

其中

式中mj——第j個SOCj的運動副數(shù)

Ij——第j個SOCj的驅(qū)動副數(shù)

Δj有正、零、負3種形式，但須滿足∑Δj=0。

因此，BKC的耦合度к定義為

(6)

耦合度к的物理意義：①к反映了BKC內(nèi)各回路變量之間的關(guān)聯(lián)、依賴程度，且已證明：к值越大，機構(gòu)運動學(xué)、動力學(xué)問題求解的復(fù)雜度越高。②機構(gòu)的位置正解求解可轉(zhuǎn)換為其各個BKC的位置求解。③對于к=0的BKC，其每個回路的運動量解析解都能獨立求出；若к>0，意味著BKC的運動量需多個回路方程聯(lián)立求解，可用к維搜索法或代數(shù)法求得其位置正解或動力學(xué)逆解。

(2)機構(gòu)耦合度к計算

1.2.2節(jié)已計算出2個回路的獨立位移方程數(shù)，分別為ξL1=5，ξL2=6，因此，它們的約束度Δ1、Δ2為

因此，該機構(gòu)包含2個BKC，即第1個獨立回路為BKC1，第2個獨立回路為BKC2。由式(6)得，耦合度分別為：к1=0、к2=0；因此，它們運動學(xué)正解可分別直接求出解析式。

2 機構(gòu)的位置分析

2.1 位置正解求解

2.1.1坐標(biāo)系的建立與參數(shù)標(biāo)注

2T1R機構(gòu)的運動學(xué)建模如圖2所示，靜坐標(biāo)系oxyz建立在靜平臺0的幾何中心，且x軸與A1A3連線重合，y軸與A1A3連線垂直，z軸由右手法則確定；動坐標(biāo)系puvw的原點p位于直線C3D3中點，v、u軸分別重合、垂直于直線C3D3，w軸同樣由右手法則確定。

圖2 (RPa‖3R)-R+RSS機構(gòu)的運動學(xué)建模Fig.2 Kinematics model of mechanism(RPa‖3R)-R+RSS

該機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：靜平臺0上點A1、A2和A3到原點O的距離均為l，即OAi=l(i=1,2,3)；C3D3=l8；桿2、3、4的長均為l1，即AiBi=l1(i=1,2,3)；桿6的長為l2，即B1C1=l2；桿7、8的長分別為l3、l5，即B2C2=l3，B3C3=l5；其余參數(shù)分別為C1D1=l4；D1E=EC2=l6；HD3=l7。

設(shè)A1B1、A3B3與x軸正向的夾角為θ1、θ3；A2B2與y軸正向的夾角為θ2；求動平臺1上p的坐標(biāo)(x,y,z)及其姿態(tài)角θ。

2.1.2BKC1的位置分析

在靜坐標(biāo)系oxyz中，點Ai(i=1,2,3)、Bi(i=1,2)的坐標(biāo)分別為A1=(l,0,0)、A2=(0,l,0)、A3=(-l,0,0)；B1=(l+l1cosθ1,0,l1sinθ1)、B2=(0,l+l1cosθ2,l1sinθ2)。

由1.2.1節(jié)可知：機構(gòu)運動過程中，子平臺1′僅產(chǎn)生沿z、y軸的平移，即xC2=0；則C1、C2的坐標(biāo)分別為C1=(l-l6,yC2-l6,zC2-l4)、C2=(0,yC2,zC2)。

于是，由桿長約束B1C1=l2，B2C2=l3，有位置約束方程

(7)

簡化式(7)得

ayC2+bzC2=c

(8)

其中a=2(yB2-2l6)b=2(zB2-l4-xB1)

若a=0且b=0，則

但因l2

(1)當(dāng)a=0時

(9)

(2)當(dāng)a≠0時

(10)

其中d=a2+b2e=2(bc+zB2a2-abyB2)

2.1.3BKC2的位置求解

(11)

而C3點的坐標(biāo)為

(12)

因此，由D3、C3點坐標(biāo)，易求解p點的坐標(biāo)(x,y,z)。

進一步，由桿長約束B3C3=l5，得位置方程

(13)

將式(13)整理化簡得

a1sinθ+b1cosθ+c1=0

(14)

其中a1=2c2l8b1=2b2l8

b2=(yB3-y)2c2=(zB3-z)2

(15)

從而求得該機構(gòu)動平臺1的姿態(tài)角。

2.2 位置逆解求解

已知：動平臺1上p的坐標(biāo)(x,y,z)和姿態(tài)角θ，求輸入角θ1、θ2、θ3。

C3、D3、H點的坐標(biāo)分別為

而C1、C2點的坐標(biāo)分別為

C1=(l6,yH,zH-l4)C2=(0,yH+l6,zH)

由桿6、7、8的3個桿長約束，可建立方程

(16)

(17)

(18)

由式(16)～(18)可得

(19)

其中z1=zC1z2=zC2z3=zC3

綜上可知，當(dāng)動平臺p(x,y,z)已知時，輸入角θ1、θ2、θ3各有兩組解，即C1、C2、C3點的坐標(biāo)各有兩組解，故逆解數(shù)為8，因此，動平臺有8種構(gòu)型。

2.3 正逆解驗算

參考ABB機器人I4R的尺寸參數(shù)，輸入桿和平行四邊形的尺寸參數(shù)與之相同[28]，即l1=350 mm、l2=750 mm；其他結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為l=300 mm、l3=l5=800 mm、l4=40 mm、l6=150 mm、l7=70 mm、l8=390 mm。

取3個輸入角θ1、θ2、θ3分別為36.08°、66.74°、161.86°。由Matlab計算得該機構(gòu)的位置正解，如表1所示。

表1 位置正解數(shù)值Tab.1 Numerical values of direct kinematics

對應(yīng)1組解的機構(gòu)三維構(gòu)型如圖3所示。

圖3 對應(yīng)1組解的機構(gòu)構(gòu)型Fig.3 Configuration of solution 1

取表1中的1組解的數(shù)據(jù)，代入逆解式(19)，計算求得8組逆解數(shù)值，如表2所示。

由表2知，第1組逆解數(shù)值，與正解求解時3個設(shè)定的輸入角一致，因此，正逆解公式推導(dǎo)正確。

表2位置逆解數(shù)值

Tab.2 Numerical values of inverse kinematic (°)

3 機構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動能力分析

3.1 工作空間分析

圖5 機構(gòu)工作空間各點的轉(zhuǎn)角范圍Fig.5 Range of rotational angle of any point in workspace

采用極坐標(biāo)空間三位搜索法，基于機構(gòu)的位置逆解，查找該機構(gòu)工作空間內(nèi)所有滿足桿長約束、轉(zhuǎn)角約束、干涉約束的點，即預(yù)先設(shè)定該機構(gòu)工作空間的z向高度范圍，通過改變搜索半徑以及搜索角度，找到工作空間的邊界。

設(shè)定搜索范圍為：0≤z≤1 200 mm， -π≤θ≤π，0≤ρ≤300 mm；基于位置逆解式(19)，由Matlab軟件編程，得到機構(gòu)可達工作空間如圖4所示。

圖4 機構(gòu)的工作空間Fig.4 Workspace of PM

由圖4可知：

(1)機構(gòu)的工作空間為平行于yoz面的一個“橋孔型”平面區(qū)域，且相對于x軸(T-T直線)具有良好的對稱性，這與實際結(jié)構(gòu)關(guān)于T-T對稱一致。

(2)當(dāng)z≤400 mm時，該機構(gòu)的工作空間不連續(xù)，存在空洞。

(3)當(dāng)410 mm≤z≤1 500 mm時，“橋孔型”平面型工作空間連續(xù)，為可達工作空間；在可達空間內(nèi)會存在運動奇異現(xiàn)象，具體分析詳見第4節(jié)。

3.2 轉(zhuǎn)動能力分析

機構(gòu)的動平臺轉(zhuǎn)角分析是評估并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)動角度能夠到達的范圍。同樣，基于機構(gòu)的位置逆解方程，采用極限邊界搜索法，可以求出機構(gòu)動平臺基點在工作空間內(nèi)任意位置時的轉(zhuǎn)角范圍。

由1.2.1節(jié)機構(gòu)的POC分析可知，動平臺1的運動輸出為oyz平面內(nèi)的兩維平移2T；當(dāng)400 mm≤z≤1 200 mm時，由Matlab計算出基點在oyz平面上各點時，則轉(zhuǎn)角θ的運動范圍如圖5所示。

由圖5可知，機構(gòu)工作空間內(nèi)各點的轉(zhuǎn)角θ的范圍較大，由圖5可看出：

(1)動平臺處于點A(0,900)、B(-600,700)時，其轉(zhuǎn)角范圍分別為[-180°,180°]、[-120°,90°]。

(2)A點分別處于紅色、藍色區(qū)域內(nèi)，機構(gòu)的轉(zhuǎn)角能達到[-180°,180°]，約占總區(qū)域面積的70%，表明機構(gòu)的動平臺1具有較大的轉(zhuǎn)動能力。

4 機構(gòu)的奇異性分析

4.1 機構(gòu)奇異性原理

JpV=Jqω

(20)

其中

u11=2(zC1-zB1)l1cosθ1+2(xC1-xB1)l1sinθ1
u22=2(zB2-zC2)l1cosθ2+2(yC2-yB2)l1sinθ2
u33=2(zB3-zC)l1cosθ3+2(xC3-xB3)l1sinθ3
v11=2yC1v21=2(yC2-yB2)v31=2yC3
v12=2(zC1-zB1)v22=2(zC2-zB2)
v32=2(zC3-zB3)
v13=l8yC1sinθv23=l8(yC2-yB2)sinθ
v33=2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ

依據(jù)Jp、Jq矩陣是否奇異，將機構(gòu)的奇異位形分為如下3類:①當(dāng)det(Jq)=0時，機構(gòu)發(fā)生輸入奇異。②當(dāng)det(Jp)=0時，機構(gòu)發(fā)生輸出奇異。③當(dāng)det(Jq)=det(Jp)=0時，機構(gòu)發(fā)生綜合奇異。

4.2 奇異位形分析

4.2.1輸入奇異

機構(gòu)發(fā)生輸入奇異，意味著每條支鏈靠近驅(qū)動桿的兩根桿處于折疊在一起或完全展開狀態(tài)。這時，動平臺的自由度數(shù)減少。此時，det(Jq)=0，該行列式方程解的集合K為

K={K1∪K2∪K3}

(21)

且3種情況分別為：①K1={(xC1-xB1)sinθ1+(zB1-zC1)cosθ1=0}，即A1、B1、C1三點在oxz平面上的投影共線。②K2={(yC2-yB2)sinθ2+(zB2-zC2)·cosθ2=0}，即A2、B2、C2三點共線。③K3={(zB3-zC3)cosθ3+(xC3-xB3)sinθ3=0}，即A3、B3、C3三點在oxz平面上的投影共線。

滿足K1的三維構(gòu)型如圖6所示。

圖6 輸入奇異位形Fig.6 Structure of input singularity

4.2.2輸出奇異

機構(gòu)發(fā)生輸出奇異，意味著每條支鏈靠近動平臺的桿處于折疊在一起或完全展開的狀態(tài)，此時的動平臺自由度數(shù)增多，即使鎖住輸入，動平臺也可能存在自由度輸出。設(shè)

(wi1,wi2,wi3)=ei(i=1,2,3)

(22)

(wk1,wk2,wk3,wk4)=Ek(k=1,2,3)

(23)

若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有如下2種情況：

(1)存在2個向量線性相關(guān)

①若e1=ke2，取w12=kw22，則

kw23=kl8(yC2-yB2)sinθ≡w13

即E1≡kE2，其三維構(gòu)型為向量lB1C1、lB2C2在oyz平面上的投影相互平行，如圖7所示。

圖7 輸出奇異位形(例1)Fig.7 Structure of output singularity (example 1)

②若e2=ke3，取w21=kw31，則

kw33=k[2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ]

圖8 輸出奇異位形(例2)Fig.8 Structure of output singularity (example 2)

同理可得：e1=ke3，E1≡kE3。

(2)存在3個向量線性相關(guān)

若e1=k1e2+k2e3(k1k2≠0)，即

w1i=k1w2i+k2w3i(i=1,2,3)
k1w23+k2w33=k1l8(yC2-yB2)sinθ+
k2[2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ]≠w13

同理，可得：任意3個向量(k1k2≠0)均線性無關(guān)則第2種情況都不成立。

4.2.3綜合奇異

此時，det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發(fā)生。在此位形下，動平臺將失去原有的運動特性。因此，取滿足輸入奇異中的K1、K2、K3的條件，代入輸出奇異分析中，此時，輸出奇異不成立，故該機構(gòu)不存在綜合奇異。

5 機構(gòu)速度和加速度分析

5.1 速度公式推導(dǎo)

當(dāng)機構(gòu)非奇異時，Jp可逆，可得

(24)

式(24)即為動平臺原點的輸出速度。

5.2 加速度公式推導(dǎo)

進一步，對式(24)求導(dǎo)得到

(25)

當(dāng)機構(gòu)不存在奇異性時，Jp可逆，則

(26)

式(26)即為動平臺原點的加速度公式。

5.3 速度和加速度算例驗證

表3 動平臺的速度分析Tab.3 Velocity of moving platform

表4 動平臺的加速度分析Tab.4 Acceleration of moving platform

將該并聯(lián)機構(gòu)的三維模型，通過Solidworks導(dǎo)入到ADAMS軟件中進行仿真，得到動平臺的速度與加速度曲線分別如圖9、10所示。

圖9 動平臺的速度曲線Fig.9 Curves of velocity of moving platform

圖10 動平臺的加速度曲線Fig.10 Curves of acceleration of moving platform

由表4及圖10可知：

(1)由Matlab計算得到加速度(表4，t=2 s時，ay=0.642 mm/s2，az=0.455 mm/s2，aw=-0.982(°)/s2與運用ADAMS仿真得到的加速度(圖10，t=2 s時ay=0.64 mm/s2，az=0.45 mm/s2，aw=-0.98(°)/s2)完全一致，從而驗證了推導(dǎo)的速度與加速度公式的正確性。

(2)機構(gòu)動平臺的速度、加速度曲線，變化較平

穩(wěn)、連續(xù)，表明機構(gòu)的動力學(xué)性能較好。

6 結(jié)論

(1)提出了一種空間2T1R無寄生運動的非全對稱并聯(lián)機構(gòu)(RPa‖3R)-R+RSS；該機構(gòu)耦合度為零且具有部分運動解耦性；給出了該機構(gòu)位置正、反解的解析式。

(2)當(dāng)410 mm≤z≤1 500 mm時，平行于yoz面的“橋孔型”平面型工作空間連續(xù)，為有效作業(yè)區(qū)域，且具有較好的對稱性。

(3)機構(gòu)平臺轉(zhuǎn)動能力分析表明：動平臺轉(zhuǎn)角θ的范圍較大，能達到[-180°，180°]的區(qū)域約占總區(qū)域70%，動平臺具有較大的轉(zhuǎn)動能力。

(4)機構(gòu)速度與加速度仿真曲線表明，機構(gòu)動平臺加速度變化較平穩(wěn)，具有較好的動力學(xué)性能。

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