白雪寒,徐玉華,杜明娟(南京審計(jì)大學(xué)金融學(xué)院, 江蘇 南京 211815)

寡頭競爭是市場競爭的重要形式，價(jià)格競爭也是目前營銷活動(dòng)中經(jīng)常選擇的策略。Cournot模型是博弈論中經(jīng)典的同質(zhì)產(chǎn)品以產(chǎn)量競爭的模型，伯川德(Bertrand)[1]認(rèn)為日常情況下企業(yè)更偏向于運(yùn)用價(jià)格競爭的策略。然而，伯川德模型中價(jià)格決策機(jī)制會(huì)造成均衡價(jià)格和邊際成本相等的利潤為零的狀況，這就是所謂的“伯川德悖論”。豪泰林(Hotelling)[2]之后合理地解開了這一悖論，他表明有差異的商品之間的替代彈性變小，因此消費(fèi)者對(duì)有差異商品的偏好不同，此時(shí)均衡價(jià)格也就可以大于邊際成本。Agliari[3]在不斷的調(diào)整策略中證實(shí)了產(chǎn)品的差異性越大，納什均衡越不穩(wěn)定；楊曉花等[4]側(cè)重研究了行動(dòng)時(shí)機(jī)和策略變量類型即選擇價(jià)格還是產(chǎn)量競爭的雙重內(nèi)生選擇下雙寡頭博弈的均衡；Frisch[5]提出了推測變差模型,因?yàn)橥茰y變差的不同，所以產(chǎn)生的推測變差均衡也不同；Kopel等[6]的研究把雙寡頭推向多寡頭。實(shí)現(xiàn)古諾均衡、伯川德均衡的前提條件是競爭參與者可以獲得市場的完全信息并且是完全理性的決策，在現(xiàn)實(shí)生活中該類條件很難滿足。Agiza和Elsadany[7]對(duì)古諾模型進(jìn)行了改進(jìn)，有限理性、天真理性和適應(yīng)性假設(shè)等混合理性假設(shè)被嵌入到模型中，并證明了均衡點(diǎn)的存在性；董文波等[8]在有限理性的基礎(chǔ)上構(gòu)建了具有溢出效應(yīng)的雙寡頭價(jià)格博弈模型；趙德余等[9]將市場價(jià)格競爭、產(chǎn)品差異化定位策略以及相關(guān)的消費(fèi)者需求分布和邊際成本優(yōu)勢等被孤立的問題綜合考慮進(jìn)行研究；郭軍華等[10]將研究深入到了外部因素的政府補(bǔ)貼，得出適當(dāng)?shù)恼a(bǔ)貼機(jī)制可促使博弈系統(tǒng)演化至制造商均選擇進(jìn)入再制造策略的均衡。

現(xiàn)實(shí)中的寡頭企業(yè)在決策中不僅受自身?xiàng)l件的限制也受到外部因素的影響，如政府的重大決策、經(jīng)濟(jì)危機(jī)等。文獻(xiàn)[1～10]對(duì)寡頭博弈做了很多有價(jià)值的探討，然而關(guān)于外部擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)寡頭決策的影響的文獻(xiàn)并不多。下面，筆者基于決策過程中的擾動(dòng)項(xiàng)建立決策模型，分析了擾動(dòng)后的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)混沌行為，旨在為企業(yè)提供適時(shí)調(diào)整競爭決策的科學(xué)依據(jù)。

1 博弈模型

假設(shè)企業(yè)1和企業(yè)2為國內(nèi)某一產(chǎn)業(yè)的2家寡頭企業(yè)且分別為領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者角色，即企業(yè)2傾向于模仿企業(yè)1的決策行為，2家企業(yè)的需求函數(shù)為：

qi(pi,pj)=ai-dipi+bipji,j=1,2且i≠j

(1)

其中，ai,di>0,0≤bi≤1；ai為公司1和公司2的潛在需求量；p1，p2分別表示公司1和公司2的產(chǎn)品價(jià)格；bi代表2種商品的替代性，bi越大商品的替代性越強(qiáng)，bi=1時(shí)2種商品具有完全替代性。

假設(shè)2個(gè)企業(yè)的二次成本函數(shù)為：

(2)

其中，ci>0，即認(rèn)為隨著產(chǎn)量達(dá)到了一定的程度，由于人工和原材料的供應(yīng)的緊張而造成生產(chǎn)成本快速上漲。

在博弈的市場結(jié)構(gòu)下，2家企業(yè)的利潤函數(shù)為:

(3)

計(jì)算式(3)的邊際利潤函數(shù)可得：

(4)

設(shè)Ai=ai(1+2cidi)，Bi=2di(1+cidi)，Di=bi(1+2cidi)， 則式(4)變?yōu)椋?/p>

(5)

(6)

(7)

將式(5)代入式(6)和式(7)，得到如下動(dòng)態(tài)博弈系統(tǒng)公式：

p1(t+1)=p1(t)+α1p1(t)[A1-B1p1(t)+D1p2(t)]+αp1(t)

(8)

p2(t+1)=p2(t)+α2p2(t)[A2-B2p2(t)+D2p1(t)]

(9)

式(8)和式(9)的4個(gè)均衡解為：

可以看出，均衡解中α2沒有出現(xiàn)，說明α1和α間接地影響企業(yè)2達(dá)到?jīng)Q策均衡狀態(tài)。

2 局部穩(wěn)定性分析

為了分析以上平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，獲得動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的雅可比矩陣如下：

(10)

根據(jù)均衡點(diǎn)的特征可知E0、E1、E2均為邊界均衡點(diǎn)，其中,E0為不穩(wěn)定點(diǎn)，E1、E2為鞍點(diǎn)，E3是唯一的納什均衡點(diǎn)。E3的雅可比矩陣為：

(11)

J3的特征多項(xiàng)式為：

f(λ)=λ2-Tr(J3)λ+Det(J3)

式中， Tr(J3)為雅可比矩陣J3的跡；Det(J3)為雅可比矩陣J3的行列式。

又：

這說明納什均衡的特征值是實(shí)的。下面給出納什均衡E3的充分必要條件。納什均衡的局部穩(wěn)定性可以由Jury條件給出，即：

(12)

在式(12)中，確定除參數(shù)α1，α2，α外其他參數(shù)后，滿足不等式(12)的全體(α1，α2，α)的值即為納什均衡點(diǎn)E3穩(wěn)定區(qū)域。如果(α1，α2，α)在穩(wěn)定域中，則在經(jīng)歷一系列輪次的博弈后，(p1(t),p2(t))穩(wěn)定于E3，如果(α1,α2,α)不在穩(wěn)定域中，經(jīng)過多次博弈之后，系統(tǒng)會(huì)逐漸失去穩(wěn)定。

3 數(shù)值模擬分析

筆者借助Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，取a1=a2=3.5，b1=b2=0.25，c1=c2=0.5，d1=d2=1,α1=0.23。因?yàn)棣潦歉蓴_項(xiàng)系數(shù)，所以在仿真中對(duì)其取不同的值來進(jìn)行對(duì)比。

圖1 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=0)

圖1～圖5是α=0、0.01、0.1、-0.03、-0.1時(shí)的價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖，在分叉圖中可以看出α對(duì)企業(yè)1的影響以及間接對(duì)企業(yè)2的影響。由圖1可以看出，當(dāng)假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)不存在時(shí)，在固定α1的條件下，第1次價(jià)格分叉在Lyapunov指數(shù)圖中對(duì)應(yīng)α2=0.1320，第2次分叉對(duì)應(yīng)α2=0.2763。從雙寡頭價(jià)格博弈模型的演化路徑可以看出，隨著α2的取值變化，價(jià)格模型呈現(xiàn)出倍周期分叉并最終處于混沌狀態(tài)。寡頭雙方價(jià)格的混沌狀態(tài)對(duì)企業(yè)的經(jīng)營十分不利，價(jià)格的過大波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致企業(yè)無法制定合理有效的生產(chǎn)計(jì)劃。

當(dāng)α=0.01時(shí)，價(jià)格博弈演化中的第1次和第2次分叉在Lyapunov指數(shù)圖中分別對(duì)應(yīng)α2=0.1286和0.2694(見圖2)。此時(shí)α取正數(shù)意味著外界有利的擾動(dòng)促使企業(yè)提高商品價(jià)格，當(dāng)企業(yè)因?yàn)榈玫酵獠坷孟⑻岣呱唐穬r(jià)格時(shí)，從演化路徑中可以看出分叉和進(jìn)入混沌狀態(tài)的點(diǎn)均比不考慮擾動(dòng)時(shí)提前。

當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)α=0.1時(shí)，領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)1的價(jià)格分叉更早提前，隨著企業(yè)2對(duì)企業(yè)1的追隨模仿，不久企業(yè)2的價(jià)格也出現(xiàn)分叉，經(jīng)過一段時(shí)間2家企業(yè)在對(duì)應(yīng)幾乎相同的Lyapunov指數(shù)圖中的點(diǎn)處再次分叉進(jìn)入混沌狀態(tài)(見圖3)。因此，當(dāng)外部出現(xiàn)利好因素企業(yè)不可盲目大幅提高商品價(jià)格，應(yīng)權(quán)衡多種因素做出決策。

圖2 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=0.01) 圖3 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=0.1)

當(dāng)α=-0.03時(shí)，由圖4可以看出第1個(gè)分叉點(diǎn)α2=0.1521和第2個(gè)分叉點(diǎn)α2=0.2815相比于圖1的分叉點(diǎn)均有推遲。α小于零意味著外部出現(xiàn)不利因素的擾動(dòng)，企業(yè)對(duì)商品進(jìn)行降價(jià)，此時(shí)對(duì)價(jià)格的微調(diào)便可推遲價(jià)格博弈系統(tǒng)的分叉和混沌。

當(dāng)α=-0.1時(shí)，由圖5可以看出第1個(gè)分叉點(diǎn)α1=0.2513和第2個(gè)分叉點(diǎn)α2=0.3258相比于圖4的分叉點(diǎn)有進(jìn)一步的推遲，這說明企業(yè)依據(jù)外部不利擾動(dòng)的程度在競爭決策中對(duì)商品降價(jià)有利于維持系統(tǒng)的穩(wěn)定。但是當(dāng)取負(fù)數(shù)的α過小將失去研究的意義。

從以上分叉圖中可以看出，α不同的取值對(duì)2個(gè)企業(yè)在采取價(jià)格決策競爭中的影響十分顯著，企業(yè)在決策中應(yīng)充分考慮外界擾動(dòng)因素，并采取適當(dāng)措施來穩(wěn)定經(jīng)營狀態(tài)。

圖4 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=-0.03) 圖5 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=-0.1)

4 結(jié)論

在假設(shè)2個(gè)寡頭企業(yè)分別為領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者的角色且具有有限理性的前提下，基于差異化產(chǎn)品的寡頭模型，并結(jié)合擾動(dòng)項(xiàng)構(gòu)建價(jià)格競爭模型的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)研究外界干擾因素下該模型的穩(wěn)定性和分叉行為的演化，得出如下結(jié)論：

1)外在擾動(dòng)會(huì)加劇價(jià)格決策系統(tǒng)的不穩(wěn)定性；

2)當(dāng)存在有利的外部因素時(shí)，企業(yè)在有限理性下會(huì)在價(jià)格決策機(jī)制中使擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)為正即提高商品價(jià)格，此時(shí)擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)微小的變化即可造成競爭中價(jià)格決策系統(tǒng)分叉的提前，當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)大到一定程度極有可能使系統(tǒng)直接進(jìn)入混沌狀態(tài)；

3)當(dāng)外界擾動(dòng)因素產(chǎn)生負(fù)影響時(shí)，結(jié)合心理學(xué)來分析，基于有限理性的寡頭企業(yè)并不愿意在下期價(jià)格決策中降低價(jià)格，通過分叉圖可以看出此時(shí)稍微降低價(jià)格反而會(huì)增加系統(tǒng)的穩(wěn)定，推遲價(jià)格決策系統(tǒng)的分叉及混沌現(xiàn)象，因此，企業(yè)在競爭決策中應(yīng)考慮外部擾動(dòng)因素，審慎行動(dòng)。

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