蔡杰鋒

(閩南理工學(xué)院，福建 石獅 362700)

1 Pascal矩陣與Pascal函數(shù)矩陣的基本概念

Pascal三角形(又稱楊輝三角形)最早是由中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，用以描述二項(xiàng)式展開的系數(shù)，其形式是一個(gè)n層的三角形，第k層有k個(gè)正整數(shù)，分別對(duì)應(yīng)二元多項(xiàng)式(a+b)k-1的展開式的k個(gè)項(xiàng)的系數(shù)，即：

為了方便利用矩陣工具來研究Pascal矩陣，將其寫成下三角的形式，就得出所謂的Pascal矩陣：

用嚴(yán)格的符號(hào)表示就是：

其中，Pn是n+1階方陣，Pn(i,j)表示其(i,j)元.

Pascal矩陣Pn(i,j)有很奇妙的性質(zhì)[1]，其中，有兩個(gè)性質(zhì)較為重要：

(1)Pn是下三角的可逆矩陣；

(2)Pn的對(duì)角元都是1，所以特征值都是1.

Pascal函數(shù)矩陣是Pascal矩陣的推廣，其引入了一個(gè)自變量，基本形式為：

其中，Pn[x]是以x為自變量的n+1階函數(shù)矩陣，Pn[x](i,j)表示Pn[x]的(i,j)元.

顯然，當(dāng)x=1時(shí)，Pn[x]就是Pn.

關(guān)于Pascal函數(shù)矩陣的性質(zhì)詳見文獻(xiàn)[1～3]，其中，有兩條性質(zhì)較為重要：

(1)Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R)；

(2)Pn[x]-1=Pn[-x](x∈R).

2 Pascal函數(shù)矩陣的推廣

為了方便起見，先約定以下矩陣運(yùn)算的符號(hào)：

對(duì)m×n階矩陣A，A(i,j),A(i,:),A(:,j)分別表示矩陣A的(i,j)元，第i行，第j列，其中1≤i≤m,1≤j≤n.

至今，Pascal已有多種類型的推廣形式，具體可參見文獻(xiàn)[4～6].

縱觀其多種推廣形式，不外乎是將未知函數(shù)項(xiàng)xi-j推廣為其它類型的函數(shù).因此，可以用任意類型的函數(shù)代替xi-j，得到新的推廣形式.但是這樣得出的函數(shù)矩陣的范圍就太大了，研究價(jià)值不大.因此我們要找到Pascal函數(shù)矩陣的某些絕妙的性質(zhì)，然后試圖在不改變這些性質(zhì)的情況下對(duì)其進(jìn)行推廣，這樣得出的推廣形式才會(huì)有研究價(jià)值.

縱觀其多種已有的推廣形式，都保持Pascal函數(shù)矩陣的一條絕妙的性質(zhì)：

定理1Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R).

證明上式等價(jià)于：

Pn[x+y](i,j)=Pn[x](i,:)·Pn[y](:,j)，

對(duì)1≤i

Pn[x](i,:)·Pn[y](:,j)=0=Pn[x+y](i,j).

對(duì)1≤j≤i≤n+1，

證畢.

現(xiàn)在再考慮一下如何推廣Pascal函數(shù)矩陣的定義，使得推廣后仍然保持與定理1類似的性質(zhì).

首先，先將Pn[x]定義中的某些概念一般化：Pn[x]的定義中，所需的未知因子是xk(0≤k≤n)，可以將未知數(shù)x的取值空間換為一個(gè)半群(M,*)，并且將冪次方函數(shù)換作M上的可列個(gè)實(shí)算子：Δk(k=0,1,2,...)，類似地給出廣義的Pascal函數(shù)矩陣的定義：

如上定義的廣義Pascal函數(shù)矩陣不一定有跟定理1類似的性質(zhì).因此，就需要找出滿足類似性質(zhì)的某些充分條件.而在這之前，先要考慮一下怎樣闡述定理1的推廣形式：

Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R).

這個(gè)式子的右邊是矩陣乘法，不需改變，左邊式子中x+y的加法運(yùn)算可以推廣為半群(M,*)上的二元運(yùn)算*，所以定理1的推廣形式應(yīng)該是：

(1)

尋找使式(1)成立的充分條件，模仿定理1的證明：

式(1)等價(jià)于：

(2)

(f*g).

因此，可以得出式(1)成立的一個(gè)充分必要條件：

結(jié)合以上的論述，就得出一種較為廣泛的有研究價(jià)值的Pascal函數(shù)矩陣的推廣：

定義1給定一個(gè)半群(M,*)，再給定滿足以下條件的實(shí)算子{Δk|k=0,1,...}：

對(duì)每個(gè)f∈M及正整數(shù)n，定義一個(gè)n+1階的函數(shù)矩陣

稱其為半群(M,*)上的廣義Pascal矩陣.

顯然，由定理2，直接有：

利用抽象代數(shù)的理論，可以得出：

3 推廣的Pascal函數(shù)矩陣的應(yīng)用

本節(jié)將上節(jié)推廣的廣義Pascal函數(shù)矩陣特殊化，構(gòu)造幾種特殊的推廣形式，并給出其應(yīng)用實(shí)例.

例1當(dāng)半群(M,*)為實(shí)數(shù)加法群(R,+)，實(shí)算子Δk是k階冪算子xk時(shí)，所定義的廣義Pascal函數(shù)矩陣就是一般的Pascal函數(shù)矩陣Pn[x].因此，上節(jié)定義的廣義Pascal函數(shù)矩陣的確是一般Pascal函數(shù)矩陣的推廣.此時(shí)，推論1就變成了定理1.又由于Pn[0]=In+1，根據(jù)推論2，有以下結(jié)論：

推論3Pn[-x]=(Pn[x])-1.

例如，

例2當(dāng)半群(M,*)為n元實(shí)函數(shù)加法群，實(shí)算子Δk是k階冪算子xk時(shí)，所定義的廣義Pascal函數(shù)矩陣就是一般的Pascal函數(shù)矩陣的簡單推廣：Pn[f(X)]，同樣也有：Pn[0]=In+1(注意：這里的0表示零函數(shù)，而不是數(shù)字零)，根據(jù)推論2，有：

推論4Pn[-f(X)]=(Pn[f(X)])-1.

例如，

例3當(dāng)半群(M,*)為一元光滑實(shí)函數(shù)乘法半群(C(R),*)，實(shí)算子Δk表示k次求導(dǎo)算子時(shí)，根據(jù)求導(dǎo)公式：下列式子成立：

從而，就可以定義特殊的廣義Pascal函數(shù)矩陣：

又注意到半群(C(R),*)的單位元是恒等于1的函數(shù)f0(x)≡1，且再根據(jù)推論2，有：

根據(jù)上式，有以下關(guān)于數(shù)列的二項(xiàng)式反演關(guān)系：

推論6{an}和{bn}為兩個(gè)實(shí)數(shù)列，則下列兩種遞推關(guān)系等價(jià)：

就等價(jià)于

再令上式的未知數(shù)x等于0，以及未知變量X,Y分別為(a1,...,an)T,(b1,...,bn)T，那么就可以得出以上兩種遞推關(guān)系等價(jià)的結(jié)論.

4 結(jié)論

本文通過分析多種推廣Pascal函數(shù)矩陣的形式和性質(zhì)，得出了推廣過程中始終保持的一個(gè)絕妙的性質(zhì)(定理1)；然后，在一個(gè)較為廣泛的框架下給出了保持這個(gè)性質(zhì)的充要條件(定理2)；緊接著，根據(jù)這個(gè)充要條件給出了一種較為廣泛的保持絕妙性質(zhì)的廣義Pascal函數(shù)矩陣；并且在最后給出了幾種基于這種廣義形式的特殊形式和應(yīng)用.

本文所推廣的廣義Pascal函數(shù)矩陣是具有廣泛研究價(jià)值的，對(duì)其進(jìn)行更深入研究深有裨益.

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[6] 趙熙強(qiáng),李琳.函數(shù)矩陣的進(jìn)一步推廣及應(yīng)用[J].中國海洋大學(xué)學(xué)報(bào),2015(3)：136-140.