【摘要】針對非等間隔的灰色verhulst模型的病態(tài)性問題，構(gòu)造出新的背景值構(gòu)造公式，將灰色非等間隔模型的白化方程線性化得出模型解的一種新形式。通過實例分析可發(fā)現(xiàn)新提出的方法可從提高模型精度和降低求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面較好的改善了模型的病態(tài)性。針對非等間隔灰色模型的病態(tài)性問題提出了新的且有效的解決方法，首次從模型精度和參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面解決模型的病態(tài)性問題，這也為解決其他類型的灰色模型的病態(tài)性提供了新的參考。

【關(guān)鍵詞】非等間隔 灰色模型 Verhulst模型 病態(tài)性

灰色Verhulst模型與灰色模型是灰色系統(tǒng)[1]預(yù)測中的最常用模型，它們構(gòu)成灰色預(yù)測體系的核心部分。近年來，灰色Verhulst模型在各領(lǐng)域[2-5]的應(yīng)用比較廣泛，但是這些模型多是考慮等時間距數(shù)據(jù)序列建立的，而實際建模中的序列往往是非等間隔序列，此時需要考慮到非等間距建立非等間隔灰色Verhulst模型[6]才能較好的解決實際問題。隨著非等間隔灰色Verhulst模型的研究及應(yīng)用，取得了一些研究成果[6-8]，但也出現(xiàn)了一些問題，如針對部分波動數(shù)據(jù)來建模，模型的解會出現(xiàn)精度較低的現(xiàn)象。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因可以歸結(jié)為非等間隔灰色Verhulst模型存在一定的病態(tài)性，目前還沒有該模型病態(tài)性這方面的研究。本文從模型參數(shù)矩陣條件數(shù)理論出發(fā)，首先將非等間隔灰色Verhulst模型線性化，其次修改模型背景值的公式以降低模型參數(shù)矩陣的條件數(shù)和提高模型精度兩方面來改善模型的病態(tài)性。

一、改進非等間隔灰色Verhulst模型建模機理

（一）原始非等間隔灰色Verhulst模型

根據(jù)非等間隔灰色Verhulst模型的穩(wěn)定性研究中的定義1可知非等間隔灰色Verhulst模型（定義型）■的白化微分方程形式為

■ （1）

其中

■為非負原始非等間隔序列，■，■為間隔；■為■的1-AGO序列，■，其中，■，■為■的背景值序列，傳統(tǒng)上有：■，

■

（二）非等間隔灰色Verhulst模型的線性化

根據(jù)（1）可知，白化模型為非線性模型，據(jù)非線性模型求解來看，若可以將該模型轉(zhuǎn)化為一般線性模型求解，將降低非線性模型直接求解（有的非線性模型求解比較復(fù)雜）的難度，所以本文擬將非等間隔灰色Verhulst模型（1）轉(zhuǎn)化為線性模型在進行模型求解繼而得出模型的解的表達式。

由■為■的1-AGO序列可知，序列■可以近似看作指數(shù)序列，一般情況下都是根據(jù)序列■來進行建模的，所以建模序列的處理變得很重要。本文將非等間隔灰色Verhulst模型（1）線性化即可通過對■序列做如下處理：

■ （2）

則模型（1）可轉(zhuǎn)化為

■ （3）

其中■。至此模型（3）可以變?yōu)轭愃品堑乳g隔GM（1，1）模型的形式即

■ （4）

則可以根據(jù)GM（1，1）模型解的形式推出模型（3）的解（時間響應(yīng)式）如下：

■ （5）

由（2）及■可以推導(dǎo)出

■

進一步還原得出

■ （6）

（三）非等間隔灰色Verhulst模型的背景值改進

在傳統(tǒng)的灰色建模中，多數(shù)采用背景值公式為累加序列的緊鄰均值公式即

■=■ （7）

文獻[9，10]等指出上述背景值的構(gòu)造式（7）存在誤差并提出了改進式，得到較好的預(yù)測效果，本文在文獻[9，11]的背景值構(gòu)造基礎(chǔ)上稍作改進，最終重構(gòu)了非等間隔灰色Verhulst模型線性化后的模型背景值的構(gòu)造式，詳細介紹如下：

由于線性化后模型（3）的解滿足指數(shù)形式，所以■可用如下指數(shù)曲線近似

■ （8）

因曲線（8）經(jīng)過■及■兩點，則有

■ （9）

■ （10）

（10）/（9）得

■ （11）

則可求出B為

■ （12）

將（12）代入（9）中得出A的值為

■ （13）

因此可構(gòu)造出模型（3）的背景值為

■

■

即新的背景值公式為

■■ （14）

同理對■有

■■ （15）

至此可將改進的建模步驟總結(jié)如下：

1）通過對原始序列■的1階累加序列■進行建模，其中背景值公式為本文提出的新形式（15），得出非等間隔灰色Verhulst模型。

2）將得到的非等間隔灰色Verhulst模型的白化模型進行線性化（2）處理得到形如（4）的模型，利用本文重構(gòu)的背景值公式（14）結(jié)合最小二乘法進行模型參數(shù)求解，根據(jù)（5）得出線性化后的模型解■。

3）根據(jù)（2）式子還原得出非等間隔灰色Verhulst模型的解■，進一步還原得出■，其中（■）。

二、模型病態(tài)性研究

（一）模型參數(shù)矩陣條件數(shù)

根據(jù)上述研究，將非等間隔灰色Verhulst模型的白化微分方程（1）線性化后對應(yīng)的灰微分方程記為

■ （16）

那么求解參數(shù)矩陣C及參數(shù)■關(guān)系為：■（17）

其中■，■。

根據(jù)（17）求出模型（16）的參數(shù)■后，可以根據(jù)（5）可以得出模型（16）的解■，最終通過（6）可還原得出模型（1）的解■。從上述分析可知模型（16）的參數(shù)對模型（1）的影響很大，若模型（16）的參數(shù)矩陣■為良態(tài)，那么理論上模型（1）應(yīng)具有較好的模擬效果。

矩陣■的病態(tài)性，可根據(jù)矩陣的條件數(shù)來判斷，此處矩陣條件數(shù)記

■ （18）

其中■，■分別表示矩陣A的最大、最小特征根。

實踐中一般認為：若11000，則矩陣A為嚴重的病態(tài)；

■

根據(jù)（18）可以求出

■ （19）

其中

■

（二）模型精度檢驗

一個模型的精度好壞需通過檢驗才能驗證其正確性與合理性 相對誤差是評判一個模型預(yù)測精度的重要指標，相對誤差越小模型的精度越高，同樣可以通過計算相對誤差的平方和的大小來評判一個模型的精度.文中擬采用相對誤差對預(yù)測結(jié)果進行檢驗，相對誤差式子如下：

■ （20）

三、實例分析

對本文提出的改進背景值公式，我們通過數(shù)據(jù)驗證其效果，結(jié)果會更直觀，假如我們?nèi)∥墨I[6]的實例沉降數(shù)據(jù)如下：

■

此處用（7）這一傳統(tǒng)的背景值公式來建立灰色非等間隔模型記作模型一，用改進的背景值公式（14）來建立灰色非等間隔模型記作模型二。其中模型一的解可用■來表示，其中

■ （21）

模型二的解可根據(jù)（5）、（6）得出。

根據(jù)以上理論，通過MATLAB編程得出各模型參數(shù)如下

模型一的參數(shù)■；

模型二的參數(shù)為■；

模型一、二的精度及求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)見模型效果對比表3-1。

從模型效果對比表3-1可知，本文提出的建模方法大幅度的降低了模型求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)，模型從具有嚴重病態(tài)性到輕度病態(tài)轉(zhuǎn)化，而且模型的精度也有一定提高，從而較好的改善了模型的病態(tài)性。上該實例分析可見本文提出的方法的有效性，可行性。

四、結(jié)論

本文提出了新的背景值構(gòu)造公式，將灰色非等間隔模型的白化方程線性化得出模型的解的一種新形式。通過實例分析可發(fā)現(xiàn)本文的方法可從提高模型精度和降低求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面較好的改善了模型的病態(tài)性，但唯一不足之處就是還需進一步提高預(yù)測模型的精度，以較好的滿足實際問題的模型精度需求。

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作者簡介：范獻勝（1987-），男，助教，研究方向為灰色預(yù)測建模、數(shù)據(jù)分析。